Type 3: Analogy. A conjecture can b

Type 3: Analogy. A conjecture can be made by analogy to something already known fact. A general rule can be conjectured on the basis of another known general rule, or a specific fact conjectured on the basis of another known fact.

Problem 2

Given a triangle ABC and a point P inside the triangle construct the three lines from each vertex A, B, C to the point P. What can you say about the relationships between the lines and the sides of the triangle?

For example, given Problem 2, one might think:

“I know that if two lines cut the sides at the midpoint, then the third one will too, because the medians meet in one point. I bet that if two lines cut the sides in a 2:1 ratio, the third one will, too”.

Although the conjecture is false in this case, it should not be assumed that such conjectures are not productive. Conjectures made by analogy are very important from a problem solving point of view, as they relate to common strategies, such as reducing the problem to a simpler one, distinguishing cases, and observing symmetries and other geometrical properties.
The importance, or even relevance, of analogy to a discussion of conjecturing from the point of view of mathematics education might be questioned. However it is clear that conjectures involving analogy, and analogy in general, are important in professional mathematics. Polya (1954) pointed this out, and Banach (1932) wrote:

A mathematician is a person who can find analogies between theorems; a better mathematician is one who can see analogies between proofs and the best mathematician can notice analogies between theories; and one can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies. (Quoted in Morrison, 2001, p. ix)

Given the centrality of analogy to mathematics, we believe it is important to pay adequate attention to it in research in mathematics education. Of course the role of analogy in mathematics is not the same as the role of analogy in learning mathematics, no more than conjecturing itself plays the same role in these two domains. We will not discuss these differences in detail here, though it is worth remembering that quite often in the mathematics education literature questions are raised concerning the compatibility or appropriate usage of similar concepts described by the same names in the domain of mathematics education on the one hand, and mathematicians’ research practice on the other. Though these differences exist, there are also important similarities that lead us to consider analogy as a type of conjecturing here.
pulations one might conjecture that the point X can never be outside the triangle.

Kết quả (Việt) 1:

Loại 3: tương tự. Một giả thuyết có thể được thực hiện tương tự như một cái gì đó đã được biết đến thực tế. Một quy luật chung có thể được phỏng đoán trên cơ sở một quy tắc được biết đến chung, hoặc một thực tế cụ thể phỏng đoán trên cơ sở một thực tế được biết.Vấn đề 2Cho một tam giác ABC và một điểm P bên trong khu vực tam giác xây dựng ba dòng từ mỗi đỉnh A, B, C để trang điểm Bạn có thể nói gì về các mối quan hệ giữa các dòng và hai bên của tam giác? Ví dụ, cho vấn đề 2, người ta có thể nghĩ:"Tôi biết rằng nếu hai đường cắt cạnh các trung điểm, sau đó một phần ba sẽ quá, bởi vì các số trung vị đáp ứng trong một thời điểm. Tôi đặt cược rằng nếu hai đường cắt bên trong một tỷ lệ 2:1, 3 sẽ, quá".Mặc dù phỏng đoán là sai trong trường hợp này, nó sẽ không được giả định rằng phỏng đoán như vậy là không hiệu quả. Phỏng đoán được thực hiện bằng cách tương tự là rất quan trọng từ một quan điểm, giải quyết vấn đề vì họ liên quan đến chiến lược phổ biến, chẳng hạn như giảm vấn đề sang một đơn giản, phân biệt các trường hợp, và quan sát sự và tài sản hình học khác.Tầm quan trọng, hoặc thậm chí liên quan, của tương tự để thảo luận về conjecturing từ điểm nhìn của toán học giáo dục có thể được hỏi. Tuy nhiên, nó là rõ ràng rằng phỏng đoán liên quan đến tương tự, và tương tự nói chung, rất quan trọng trong toán học chuyên nghiệp. Polya (1954) chỉ ra, và Banach (1932) đã viết:Một nhà toán học là một người có thể tìm thấy suy giữa định lý; một nhà toán học tốt hơn là một trong những người có thể nhìn thấy suy giữa chứng minh và nhà toán học người tốt nhất có thể nhận thấy suy giữa lý thuyết; và người ta có thể tưởng tượng rằng nhà toán học người cuối cùng là một trong những người có thể nhìn thấy suy giữa suy. (Trích dẫn trong Morrison, năm 2001, p. ix)Đưa ra trí trung tâm của tương tự để toán học, chúng tôi tin rằng nó là quan trọng để trả tiền đầy đủ quan tâm đến nó trong nghiên cứu trong toán học giáo dục. Tất nhiên, vai trò tương tự trong toán học là không giống như vai trò tương tự học toán học, không có nhiều hơn conjecturing chính nó đóng vai trò tương tự trong các tên miền hai. Chúng tôi sẽ không thảo luận về những khác biệt trong chi tiết ở đây, mặc dù nó là giá trị ghi nhớ rằng khá thường xuyên trong các tài liệu giáo dục toán học câu hỏi được nêu ra đề cập nào về tính tương thích sử dụng thích hợp của khái niệm tương tự như được mô tả bởi cùng một tên miền của toán học giáo dục một mặt, và nhà toán học nghiên cứu thực hành khác. Mặc dù những khác biệt này tồn tại, có cũng là tương quan trọng mà dẫn chúng tôi để xem xét tương tự như là một loại của conjecturing ở đây.pulations một trong những có thể phỏng đoán rằng điểm X có thể không bao giờ ở bên ngoài Tam giác.

Kết quả (Việt) 2:

Loại 3: Tương tự. Một giả thuyết có thể được thực hiện bằng cách tương tự để một cái gì đó đã được biết đến thực tế. Một nguyên tắc chung có thể được phỏng đoán trên cơ sở một quy tắc chung được biết đến, hoặc một sự kiện cụ thể phỏng đoán trên cơ sở một thực tế được biết. Vấn đề 2 Cho một tam giác ABC và một điểm P trong tam giác xây dựng ba dòng từ mỗi đỉnh A, ? B, C đến điểm P. Những gì bạn có thể nói về các mối quan hệ giữa các dòng và các cạnh của tam giác Ví dụ, với 2 vấn đề, ​​người ta có thể nghĩ rằng: "Tôi biết rằng nếu hai dòng cắt mặt ở trung điểm, sau đó là một thứ ba sẽ quá, bởi vì trung vị gặp nhau ở một điểm. Tôi đặt cược rằng nếu hai đường cắt bên trong một 2:. Tỷ lệ 1, một phần ba sẽ, quá " Mặc dù giả thuyết đó sai trong trường hợp này, nó không nên được cho rằng phỏng đoán như vậy là không hiệu quả. Phỏng đoán được thực hiện bằng cách tương tự là rất quan trọng từ một vấn đề giải quyết các quan điểm trên, có liên quan đến chiến lược phổ biến, chẳng hạn như giảm vấn đề với một đơn giản một, phân biệt các trường hợp, và quan sát đối xứng và tính chất hình học khác. Tầm quan trọng, hoặc thậm chí liên quan, của tương tự với một cuộc thảo luận về suy đoán từ quan điểm của giáo dục toán học có thể được đặt câu hỏi. Tuy nhiên rõ ràng là phỏng đoán liên quan đến tương tự, và tương tự nói chung, rất quan trọng trong toán học chuyên nghiệp. Polya (1954) chỉ ra điều này, và Banach (1932) đã viết: Một nhà toán học là một người có thể tìm thấy sự giống nhau giữa lý; một nhà toán học tốt hơn là một trong những người có thể nhìn thấy sự giống nhau giữa bằng chứng và các nhà toán học tốt nhất có thể nhận thấy sự giống nhau giữa lý thuyết; và người ta có thể tưởng tượng rằng các nhà toán học cuối cùng là một trong những người có thể nhìn thấy sự giống nhau giữa suy. (Trích trong Morrison, 2001, p ix.) Với vị trí trung tâm của tương tự với toán học, chúng tôi tin rằng điều quan trọng là phải chú ý đầy đủ đến nó trong nghiên cứu trong giáo dục toán học. Tất nhiên vai trò của sự tương tự trong toán học là không giống như vai trò của toán học tương tự trong học tập, không quá suy đoán riêng của mình đóng vai trò tương tự trong hai lĩnh vực này. Chúng tôi sẽ không thảo luận về những khác biệt trong chi tiết ở đây, mặc dù nó là giá trị ghi nhớ rằng khá thường xuyên trong các câu hỏi văn học giáo dục toán học được nêu lên liên quan đến tính tương thích hoặc sử dụng thích hợp các khái niệm tương tự như mô tả bởi tên trong cùng một lĩnh vực giáo dục toán học trên một mặt và thực hành nghiên cứu toán học 'trên khác. Mặc dù những khác biệt tồn tại, cũng có những điểm tương đồng quan trọng là dẫn dắt chúng ta phải xem xét tương tự như là một loại suy đoán ở đây. pulations người ta có thể phỏng đoán rằng các điểm X không bao giờ có thể bên ngoài tam giác.