Why Undecidable Problems Must Exist

Why Undecidable Problems Must Exist
While it is tricky to prove that a specific problem, such as the “hello- world problem” discussed here, must be undecidable, it is quite easy to see why almost all problems must be undecidable by any system that involves programming. Recall that a “problem” is really membership of a string in a language. The number of different languages over any alphabet of more than one symbol is not countable. That is, there is no way to assign integers to the languages such that every language has an integer, and every integer is assigned to one language.
On the other hand programs, being finite strings over a finite alphabet (typically a subset of the ASCII alphabet), are countable. That is, we can order them by length, and for programs of the same length, order them lexicographically. Thus, we can speak of the first program, the second program, and in general, the ¿th program for any integer i.
As a result, we know there are infinitely fewer programs than there are problems. If we picked a language at random, almost certainly it would be an undecidable problem. The only reason that most problems appear to be decidable is that we rarely are interested in random problems. Rather, we tend to look at fairly simple, well-structured problems, and indeed these are often decidable. However, even among the problems we are interested in and can state clearly and succinctly, we find many that are undecidable; the hello-world problem is a case in point.
about a single, 22-line program, then the general problem of telling whether a given program, on a given input, prints hello, world must be hard indeed. In fact, any of the problems that mathematicians have not yet been able to resolve can be turned into a question of the form “does this program, with this input, print hello, world? Thus, it would be remarkable indeed if we could write a program that could examine any program P and input I for P, and tell whether P, run with I as its input, would print hello, world. We shall prove that no such program exists.

Tại sao vấn đề không thể quyết định phải tồn tại
khi nó là khó khăn để chứng minh rằng một vấn đề cụ thể, chẳng hạn như "vấn đề thế giới hello-" thảo luận ở đây, phải không thể quyết định, nó là khá dễ dàng để xem lý do tại sao hầu như tất cả các vấn đề phải không thể quyết định bởi bất kỳ hệ thống có liên quan đến lập trình. Nhớ lại rằng một "vấn đề" thực sự là thành viên của một chuỗi trong một ngôn ngữ. Số lượng các ngôn ngữ khác nhau trên bất kỳ bảng chữ cái của nhiều hơn một biểu tượng là không đếm được. Đó là, không có cách nào để gán các số nguyên với những ngôn ngữ như vậy mà mỗi ngôn ngữ có một số nguyên, và mỗi số nguyên được gán cho một ngôn ngữ.
Trên chương trình Mặt khác, là các chuỗi hữu hạn trong một bảng chữ cái hữu hạn (thường là một tập hợp con của ASCII bảng chữ cái), là đếm được. Đó là, chúng ta có thể ra lệnh cho họ theo chiều dài, và cho các chương trình có cùng chiều dài, ra lệnh cho họ tự từ điển. Như vậy, chúng ta có thể nói về các chương trình đầu tiên, chương trình thứ hai, và nói chung, các chương trình ¿thứ cho bất kỳ số nguyên i.
Kết quả là, chúng ta đã biết, có vô hạn ít chương trình hơn là có vấn đề. Nếu chúng tôi đã chọn một ngôn ngữ một cách ngẫu nhiên, gần như chắc chắn nó sẽ là một vấn đề không thể quyết định. Lý do duy nhất mà hầu hết các vấn đề xuất hiện để được decidable là chúng ta ít khi quan tâm đến vấn đề ngẫu nhiên. Thay vào đó, chúng ta có xu hướng nhìn vào khá đơn giản, các vấn đề cấu trúc tốt, và thực sự đây là những thường decidable. Tuy nhiên, ngay cả trong số những vấn đề chúng ta quan tâm và có thể nêu rõ ràng và ngắn gọn, chúng ta tìm thấy nhiều mà là không thể quyết định; vấn đề hello-thế giới là một trường hợp điển hình.
về một chương trình 22-đường duy nhất, sau đó các vấn đề chung của nói cho dù một chương trình nào đó, trên một đầu vào được, in hello, thế giới phải thực sự cố. Trong thực tế, bất kỳ những vấn đề mà các nhà toán học chưa thể giải quyết có thể được biến thành một câu hỏi dạng "hiện chương trình này, với đầu vào này, in hello, thế giới? Vì vậy, nó sẽ là đáng kể nếu ta có thể viết một chương trình mà có thể kiểm tra bất kỳ chương trình P và đầu vào tôi cho P, và nói cho dù P, chạy với tôi như là đầu vào của nó, sẽ in hello, thế giới. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng không có chương trình như vậy tồn tại.