SSP time discretization methods wer

SSP time discretization methods were first developed by Shu in [91] and
by Shu and Osher in [92], and were called TVD time discretizations. The
terminology was adopted because the method of lines ODE (1.2) and its
forward Euler time-discretized version (1.4) both satisfy the total variation
diminishing property when applied to scalar one dimensional nonlinear hyperbolic
conservation laws (1.1). Shu and Osher also proposed the idea of
using downwind-biased discretizations in order to preserve strong stability;
see Chapter 10. In [92], a class of second to fifth order Runge–Kutta time
discretizations are proven to be SSP. In [91], a class of high order multistep
SSP methods are given, as well as a class of first order SSP Runge–Kutta
methods that have very large SSP coefficients. Later, Gottlieb and Shu
[26] performed a systematic study of Runge–Kutta SSP methods, proving
the optimality of the two-stage, second order and three-stage, third order
SSP Runge–Kutta methods as well as finding low storage three-stage, third
order SSP Runge–Kutta methods, and proving that four-stage, fourth order
SSP Runge–Kutta methods with non-negative coefficients cannot exist.
In [27], Gottlieb, Shu and Tadmor reviewed and further developed SSP
Runge–Kutta and multistep methods. It was in this paper that the term
“strong stability preserving”, or SSP, was first used. In later literature the
terms SSP time discretizations and TVD time discretizations have been
used simultaneously. The new results in [27] include the optimal explicit
SSP linear Runge–Kutta methods, their application to the strong stability
of coercive approximations, a systematic study of explicit SSP multistep
methods, and the study of the strong stability preserving property of implicit
Runge–Kutta and multistep methods. Spiteri and Ruuth [97] found
a new class of SSP Runge–Kutta methods with larger SSP coefficient by
allowing the number of stages to be greater than the order of accuracy.
The same authors also proved that luck runs out in this approach starting
from fifth order: there is no SSP fifth order Runge–Kutta method with
non-negative coefficients [86]. Gottlieb and Gottlieb in [28] obtained optimal
linear SSP Runge–Kutta methods when the number of stages is larger
than the order of accuracy. They have also made an interesting application
of these methods to certain special variable coefficient ODEs, such
as those coming from spatial discretizations of linear, constant coefficient
PDEs (e.g. Maxwell’s equations) with time dependent boundary conditions.
Ruuth and Spiteri used the Shu-Osher theory and numerical optimization
to develop optimal methods over many classes, including downwind methods
[97, 87, 84]. In [71], Liu, Shu and Zhang studied SSP properties for
the deferred correction methods, which can be considered as a special class

Kết quả (Việt) 1:

SSP thời gian discretization phương pháp đầu tiên được phát triển bởi Thục [91] vàby Thục và Osher trong [92], và được gọi là TVD thời gian discretizations. Cácthuật ngữ được chấp nhận bởi vì các phương pháp của dòng thơ ca NGỢI (1,2) và của nóchuyển tiếp Euler discretized thời gian phiên bản (1.4) đều đáp ứng tất cả biến thểviệc giảm bớt tài sản khi áp dụng vô hướng một chiều phi tuyến hyperbolbảo tồn các điều luật (1,1). Thục và Osher cũng đề xuất ý tưởngbằng cách sử dụng discretizations downwind thiên vị để duy trì ổn định;xem chương 10. Trong [92], một lớp thứ hai đến thứ tự thời gian Runge-Kuttadiscretizations được chứng minh là SSP. [91], một lớp cao đặt hàng multistepSSP phương pháp được đưa ra, cũng như một lớp học đầu tiên đặt hàng SSP Runge-Kuttaphương pháp có hệ số SSP rất lớn. Sau đó, Gottlieb và Thục[26] thực hiện một nghiên cứu có hệ thống các phương pháp Runge-Kutta SSP, chứng minhđiều hai tầng, trật tự thứ hai và ba giai đoạn, đặt hàng thứ baSSP Runge-Kutta phương pháp cũng như tìm kiếm thấp lí ba giai đoạn thứ baĐặt hàng SSP Runge-Kutta phương pháp, và chứng minh rằng bốn giai đoạn, thứ tư lệnhSSP Runge-Kutta phương pháp với các hệ số không âm không thể tồn tại.[27], Gottlieb, Shu và Tadmor được nhận xét và tiếp tục phát triển SSPPhương pháp Runge-Kutta và multistep. Nó đã ở đây giấy mà thuật ngữ"giữ gìn ổn định", hoặc SSP, lần đầu tiên được sử dụng. Trong văn học sau này cácđiều khoản SSP thời gian discretizations và TVD thời gian discretizations đãsử dụng cùng một lúc. Kết quả mới trong [27] bao gồm sự tối ưu rõ ràngSSP phương pháp Runge-Kutta tuyến tính, ứng dụng của họ với sự ổn định mạnh mẽsố xấp xỉ cưỡng chế, một nghiên cứu có hệ thống rõ ràng SSP multistepphương pháp, và các nghiên cứu về sự ổn định mạnh mẽ, bảo quản tài sản của tiềm ẩnPhương pháp Runge-Kutta và multistep. Spiteri và Ruuth [97] tìm thấymột lớp mới của phương pháp SSP Runge-Kutta với lớn hơn hệ số SSP bởicho phép số lượng các giai đoạn phải lớn hơn để tính chính xác.Cùng một tác giả cũng đã chứng minh rằng may mắn chạy ra ngoài bắt đầu từ cách tiếp cận nàytừ thứ tự: đó là không có phương pháp lệnh Runge-Kutta SSP thứ 5 vớikhông âm các hệ số [86]. Gottlieb và Gottlieb trong [28] thu được tối ưuphương pháp SSP Runge-Kutta tuyến tính khi số lượng các giai đoạn lớnso với thứ tự chính xác. Họ cũng đã thực hiện một ứng dụng thú vịnhững phương pháp này để chắc chắn, đặc biệt hệ biến soạn, như vậynhư những người đến từ không gian discretizations hệ số tuyến tính, hằng sốPDEs (ví dụ như các phương trình Maxwell) với thời gian phụ thuộc vào điều kiện biên.Ruuth và Spiteri sử dụng lý thuyết Thục-Osher và số tối ưu hóađể phát triển các phương pháp tối ưu hơn nhiều lớp học, bao gồm cả phương pháp downwind[97, 87, 84]. Trong [71], Liu, Shu và trương nghiên cứu thuộc tính SSPCác phương pháp sửa chữa chậm, có thể được coi như là một lớp học đặc biệt

Kết quả (Việt) 2:

SSP thời gian phương pháp rời rạc hóa được phát triển đầu tiên bởi Shu trong [91] và
bởi Shu và Osher trong [92], và được gọi là thời gian discretizations TVD. Các
thuật ngữ đã được thông qua bởi vì phương pháp của dòng ODE (1.2) và nó
mong Euler thời gian rời rạc phiên bản (1.4) cả hai đáp ứng sự thay đổi tổng số
giảm bớt tài sản khi áp dụng để vô hướng một chiều phi tuyến hyperbolic
định luật bảo toàn (1.1). Shu và Osher cũng đề xuất ý tưởng
sử dụng discretizations theo hướng gió thiên nhằm giữ gìn sự ổn định vững chắc;
xem chương 10. Trong [92], một lớp thứ hai đến thứ năm hàng Runge-Kutta thời gian
discretizations được chứng minh là SSP. Trong [91], một lớp học của bậc cao nhiều bước
phương pháp SSP được đưa ra, cũng như một lớp học của lệnh đầu tiên SSP Runge-Kutta
phương pháp có hệ số SSP rất lớn. Sau đó, Gottlieb và Shu
[26] thực hiện một nghiên cứu có hệ thống các phương pháp Runge-Kutta SSP, chứng minh
sự tối ưu của hai giai đoạn, trật tự thứ hai và ba giai đoạn, thứ ba
phương pháp SSP Runge-Kutta cũng như việc tìm kiếm lưu trữ thấp ba giai đoạn, thứ ba
để phương pháp SSP Runge-Kutta, và chứng minh rằng bốn giai đoạn, trật tự thứ tư
phương pháp với hệ số không âm SSP Runge-Kutta không thể tồn tại.
Trong [27], Gottlieb, Shu và Tadmor xem xét và tiếp tục phát triển SSP
Runge-Kutta và phương pháp nhiều bước. Đó là trong bài báo này rằng thuật ngữ
"sự ổn định mạnh mẽ bảo quản", hoặc SSP, lần đầu tiên được sử dụng. Trong văn học sau này
discretizations thời gian về SSP và discretizations thời gian TVD đã được
sử dụng đồng thời. Những kết quả mới trong [27] bao gồm rõ ràng tối ưu
phương pháp tuyến tính SSP Runge-Kutta, ứng dụng của họ vào sự ổn định mạnh
xấp xỉ cưỡng chế, một nghiên cứu có hệ thống của nhiều bước SSP rõ ràng
phương pháp, và các nghiên cứu về sự ổn định mạnh tài sản bảo quản ngầm
Runge- Kutta và phương pháp nhiều bước. Spiteri và Ruuth [97] đã cho thấy
một lớp học mới của phương pháp có hệ số SSP lớn SSP Runge-Kutta bởi
cho phép số lượng các giai đoạn để được lớn hơn các thứ tự chính xác.
Các tác giả này cũng đã chứng minh rằng may mắn chạy ra ngoài trong phương pháp này bắt đầu
từ thứ năm thứ tự: không có SSP trật tự thứ năm Runge-Kutta phương thức với
hệ số không âm [86]. Gottlieb và Gottlieb trong [28] thu được tối ưu
tuyến tính phương pháp SSP Runge-Kutta khi số lượng các giai đoạn là lớn hơn
so với thứ tự chính xác. Họ cũng đã thực hiện một ứng dụng thú vị
của các phương pháp này để chắc chắn ODEs hệ số biến đặc biệt, chẳng hạn
như những người đến từ discretizations không gian tuyến tính, hệ số hằng
PDEs (ví dụ như phương trình Maxwell) với thời gian điều kiện biên phụ thuộc.
Ruuth và Spiteri sử dụng các lý thuyết Shu-Osher và số tối ưu hóa
để phát triển các phương pháp tối ưu trong nhiều lớp học, bao gồm các phương pháp theo hướng gió
[97, 87, 84]. Trong [71], Liu, Shu và Zhang đã nghiên cứu tính SSP cho
các phương pháp điều chỉnh chậm, có thể được coi như là một lớp học đặc biệt