239K(t) being a symmetric matrix, (

239
K(t) being a symmetric matrix, (20) consists of n(n+l)/2 different
terms representing n(n+l)/2 first order non-linear time-varying
differential equations.
Note that K(T) is positive definite at t = T by (21) but K(t)
is also positive definite for all t E [O,T] as shown by Kalman [1960],
Athans and Falb [1966], Barnett [1975].
Finally, note that in the case A, B, R and Q are all constant
matrices, Kalman (1960) has shown-that if the system is controllable
and S = 0 then K(t) is still a time-varying matrix but tim K(t) = K
t-+

Kết quả (Việt) 1:

239
K(t) being a symmetric matrix, (20) consists of n(n+l)/2 different
terms representing n(n+l)/2 first order non-linear time-varying
differential equations.
Note that K(T) is positive definite at t = T by (21) but K(t)
is also positive definite for all t E [O,T] as shown by Kalman [1960],
Athans and Falb [1966], Barnett [1975].
Finally, note that in the case A, B, R and Q are all constant
matrices, Kalman (1960) has shown-that if the system is controllable
and S = 0 then K(t) is still a time-varying matrix but tim K(t) = K
t-+<»
which is a constant matrix and the Riccati equation (20) becomes
simply an algebraic, not a differential equation system
-KA- A'K + KBR-lB'K- Q = 0
with K being a time invariant positive definite matrix.
Example 8.1
As an example, let us examine the simplest case where T = ~
s·= 0 and all coefficients are constants. Consider a country with a
foreign debt of x(t) dollars at time t, and a repayment policy u(t)
(negative u for repayment and positive u for additional borrowing).
In the absence of all repayment, debt increases at a constant rate a,
(27)
due to the addition of interest payable to capital and other considerations
such as population growth, developmental projects already started and the
like. In other words, the dynamic system is, for a given x(O) = x 0 ,
x(t) = ax(t) + u(t) x(O)
The objective functional is to minimize
] J"' 2 2 J = 2 0
( qx + ru ) dt
where q, 1' > 0. In this case, S = 0, A
X
0
a, B b 1, Q q and R = 1' •

Kết quả (Việt) 2:

239
K (t) là một ma trận đối xứng, (20) gồm n (n + l) / 2 khác nhau
về mặt đại diện cho n (n + l) / 2 đơn hàng đầu tiên phi tuyến tính thời gian khác nhau
phương trình vi phân.
Lưu ý rằng K (T ) là tích cực nhất định ở t = T bằng (21) nhưng K (t)
cũng là tích cực nhất định cho tất cả các t E [O, T] như thể hiện bởi Kalman [1960],
Athans và Falb [1966], Barnett [1975].
Cuối cùng, lưu ý rằng trong trường hợp A, B, R và Q là không thay đổi
ma trận, Kalman (1960) đã chỉ ra rằng, nếu hệ thống có thể kiểm soát
và S = 0 thì K (t) vẫn là một ma trận thời gian khác nhau nhưng tim K (t) = K
t - + <»
mà là một ma trận hằng số và phương trình Riccati (20) trở nên
đơn giản là một đại số, không phải là một hệ thống phương trình vi phân
-KA- A'K + KBR-lB'K- Q = 0
với K là một thời gian bất biến ma trận xác định dương.
Ví dụ 8.1
Ví dụ, chúng ta hãy xem xét các trường hợp đơn giản nhất trong đó T = ~
s · = 0 và tất cả các hệ số là hằng số. Hãy xem xét một quốc gia có
nợ nước ngoài của x (t) USD tại thời điểm t, và một chính sách hoàn trả u (t)
(u tiêu cực cho trả nợ và u tích cực cho vay bổ sung).
Trong sự vắng mặt của tất cả trả nợ, tăng nợ tại một hằng số tỷ lệ một,
(27)
do việc bổ sung các lãi phải trả cho vốn và cân nhắc khác
như tốc độ tăng dân số, phát triển các dự án đã bắt đầu và
như thế nào. Nói cách khác, hệ thống năng động, đối với mỗi giá trị x (O) = x 0,
x (t) = ax (t) + u (t) x (O)
Các chức năng tiêu là để giảm thiểu
] J "'2 2 J = 2 0
(qx + ru) dt
nơi q, 1 '> 0. Trong trường hợp này, S = 0, A
X
0
a, B b 1, Q q và R = 1 '•