Chapter 1Manifolds in Euclidean spa

Chapter 1
Manifolds in Euclidean space
In Geometry 1 we have dealt with parametrized curves and surfaces in
R2 or R3. The definitions we have seen for the two notions are analogous to
each other, and we shall begin by generalizing them to arbitrary dimensions.
As a result we obtain the notion of a parametrized m-dimensional manifold
in Rn.
The study of curves and surfaces in Geometry 1 was mainly through
parametrizations. However, as it was explained, important examples of
curves and surfaces arise more naturally as level sets, for example the circle
{(x, y) | x2 + y2 = 1} and the sphere {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 = 1}. In order
to deal with such sets, we shall define a notion of manifolds, which applies to
subsets in Rn without the specification of a particular parametrization. The
new notion will take into account the possibility that the given subset of Rn
is not covered by a single parametrization. It is easy to give examples of subsets of R3 that we conceive as surfaces, but whose natural parametrizations
do not cover the entire set (at least if we require the parametrizations to be
regular).
For example, we have seen that for the standard spherical coordinates on
the sphere there are two singular points, the poles. In order to have a regular
parametrization we must exclude these points. A variation of the standard
spherical coordinates with interchanged roles of y and z will have singular
poles in two other points. The entire sphere can thus be covered by spherical
coordinates if we allow two parametrizations covering different, overlapping
subsets of the sphere. Note that in contrast, the standard parametrization
of the circle by trigonometric coordinates is everywhere regular.
1.1 Parametrized manifolds
In the following m and n are arbitrary non-negative integers with m ≤ n.
Definition 1.1.1. A parametrized manifold in Rn is a smooth map σ: U →
Rn, where U ⊂ Rm is a non-empty open set. It is called regular at x ∈
U if the n × m Jacobi matrix Dσ(x) has rank m (that is, it has linearly
independent columns), and it is called regular if this is the case at all x ∈
U. An m-dimensional parametrized manifold is a parametrized manifold
σ: U → Rn with U ⊂ Rm, which is regular (that is, regularity is implied at
all points when we speak of the dimension).

Kết quả (Việt) 1:

Chương 1Đa tạp trong không gian EuclideTrong hình học 1 chúng tôi đã xử lý với các đường cong parametrized và trongR2 hoặc R3. Các định nghĩa chúng tôi đã nhìn thấy cho các khái niệm hai là tương tự nhưmỗi khác, và chúng tôi sẽ bắt đầu bằng cách khái quát chúng để kích thước bất kỳ.Kết quả là chúng tôi có được khái niệm một đa tạp chiều m parametrizedở Rn.Nghiên cứu của đường cong và các bề mặt trong hình học 1 đã chủ yếu là thông quaparametrizations. Tuy nhiên, vì nó là ví dụ giải thích, quan trọng củađường cong và bề mặt phát sinh tự nhiên như cấp bộ, ví dụ: vòng kết nối{(x, y) | x 2 + y2 = 1} và lĩnh vực {(x, y, z) | x 2 + y2 + z2 = 1}. Theo thứ tựđể đối phó với bộ như vậy, chúng tôi sẽ xác định một khái niệm của các đa tạp, áp dụng chotập con trong Rn mà không có đặc điểm kỹ thuật của một parametrization cụ thể. Cáckhái niệm mới sẽ đưa vào tài khoản khả năng mà tập hợp con nhất định của Rnkhông được bao phủ bởi một parametrization duy nhất. Nó rất dễ dàng để cung cấp cho các ví dụ của tập hợp con của R3 mà chúng tôi thụ thai như bề mặt, nhưng mà tự nhiên parametrizationskhông bao gồm các thiết lập toàn bộ (tối thiểu nếu chúng tôi yêu cầu parametrizations đểthường xuyên).Ví dụ, chúng tôi đã thấy rằng cho tọa độ cầu tiêu chuẩn trênhình cầu có là hai số ít điểm, Ba Lan. Để có một thường xuyênParametrization chúng tôi phải loại trừ những điểm này. Một biến thể của các tiêu chuẩnCác tọa độ cầu với các vai trò interchanged y và z sẽ có số ítBa Lan trong hai điểm khác. Hình cầu toàn bộ có thể do đó được bảo hiểm của hình cầuphối hợp nếu chúng ta cho phép hai parametrizations bao gồm khác nhau, chồng chéotập hợp con của hình cầu. Lưu ý rằng tương phản, parametrization tiêu chuẩntrong vòng tròn bởi lượng giác tọa độ là ở khắp mọi nơi thường xuyên.1.1 Parametrized đa tạpỞ sau m và n là các số nguyên không âm tùy ý với m ≤ n.Định nghĩa 1.1.1. Một đa tạp parametrized Rn là σ mịn bản đồ: U →RN, nơi U ⊂ Rm là một tập mở phòng không có sản phẩm nào. Nó được gọi là thường xuyên tại x ∈U nếu m n × ma trận Jacobi Dσ(x) đã xếp hạng m (có nghĩa là, nó có tuyến tínhđộc lập cột), và nó được gọi là thường xuyên nếu đây là trường hợp tại tất cả x ∈U. một chiều m parametrized đa tạp là một đa tạp parametrizedΣ: U → Rn với U ⊂ Rm, mà là thường xuyên (có nghĩa là, đều đặn ngụ ý tạiTất cả các điểm khi chúng tôi nói về kích thước).

Kết quả (Việt) 2:

Chương 1
đa tạp trong không gian Euclide
Trong Geometry 1 chúng tôi đã xử lý với những đường cong parametrized và bề mặt trong
R2 hoặc R3. Các định nghĩa chúng ta đã thấy cho hai khái niệm là tương tự
nhau, và chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách khái quát chúng để kích thước tùy ý.
Kết quả là chúng ta có được ý niệm của một m chiều đa dạng parametrized
trong Rn.
Các nghiên cứu về đường và mặt trong Hình học 1 chủ yếu là thông qua
parametrizations. Tuy nhiên, vì nó đã được giải thích, ví dụ quan trọng của
đường cong và bề mặt phát sinh tự nhiên hơn khi bộ cấp, ví dụ như các vòng tròn
{(x, y) | x2 + y2 = 1} và các cầu {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 = 1}. Để
đối phó với các bộ như vậy, chúng ta sẽ định nghĩa một khái niệm đa tạp, áp dụng cho
các tập con trong Rn mà không có đặc điểm kỹ thuật của một parametrization cụ thể. Các
khái niệm mới sẽ đưa vào tài khoản các khả năng rằng các tập con nhất định của Rn
không được bao phủ bởi một parametrization duy nhất. Nó rất dễ dàng để cung cấp cho các ví dụ về tập hợp con của R3 mà chúng ta nhận thức như các bề mặt, nhưng mà parametrizations tự nhiên
không bao gồm toàn bộ tập hợp (ít nhất là nếu chúng tôi yêu cầu các parametrizations là
thường xuyên).
Ví dụ, chúng tôi đã thấy rằng đối với hình cầu tiêu chuẩn tọa độ trên
mặt cầu có hai điểm ít, các cực. Để có một thường xuyên
parametrization chúng ta phải loại trừ những điểm này. Một biến thể của tiêu chuẩn
tọa độ cầu với vai trò thay đổi cho nhau của y và z sẽ có ít
cực ở hai điểm khác. Toàn bộ hình cầu do đó có thể được bao phủ bởi hình cầu
tọa độ nếu chúng ta cho phép hai parametrizations phủ khác nhau, chồng chéo
các tập con của hình cầu. Lưu ý rằng trong tương phản, các parametrization tiêu chuẩn
của vòng tròn theo tọa độ lượng giác là ở khắp mọi nơi thường xuyên.
1.1 parametrized đa tạp
Trong m sau và n là tùy ý các số nguyên không âm với m ≤ n.
Định nghĩa 1.1.1. Một đa tạp parametrized trong Rn là một σ đồ trơn: U →
Rn, nơi U ⊂ Rm là một tập mở không trống. Nó được gọi là thường xuyên tại x ∈
U nếu n × m Jacobi ma trận Dσ (x) có bậc m (có nghĩa là, nó có tuyến tính
cột độc lập), và nó được gọi là thường xuyên nếu đây là trường hợp ở tất cả các x ∈
U. Một đa tạp parametrized m chiều là một đa tạp parametrized
σ: U → Rn với U ⊂ Rm, đó là thường xuyên (có nghĩa là, đều đặn là ngụ ý ở
tất cả các điểm khi chúng ta nói về kích thước).