Corollary 1.3. The only Gaussian in

Corollary 1.3. The only Gaussian integers which are invertible in Z[i] are ±1 and ±i.
Proof. It is easy to see ±1 and ±i have inverses in Z[i]: 1 and −1 are their own inverse and
i and −i are inverses of each other.
For the converse direction, suppose α ∈ Z[i] is invertible, say αβ = 1 for some β ∈ Z[i].
We want to show α ∈ {±1, ±i}. Taking the norm of both sides of the equation αβ = 1,
we find N(α) N(β) = 1. This is an equation in Z, so we know N(α) = ±1. Since the norm
doesn’t take negative values, N(α) = 1. Writing α = a + bi, we have a
2 + b
2 = 1, and the
integral solutions to this give us the four values α = ±1, ±i.
Invertible elements are called units. The units of Z are ±1. The units of Z[i] are ±1 and
±i. Knowing a Gaussian integer up to multiplication by a unit is analogous to knowing an
integer up to its sign.
While there is no such thing as inequalities on Gaussian integers, we can talk about
inequalities on their norms. In particular, induction on the norm (not on the Gaussian
integer itself) is a technique to bear in mind if you want to prove something by induction
in Z[i]. We will use induction on the norm to prove unique factorization (Theorems 6.4 and
6.6).
The norm of every Gaussian integer is a non-negative integer, but it is not true that every
non-negative integer is a norm. Indeed, the norms are the integers of the form a
2 + b
2
, and
not every positive integer is a sum of two squares. Examples include 3, 7, 11, 15, 19, and
21. No Gaussian integer has norm equal to these values.

Kết quả (Việt) 2:

Hệ luỵ 1.3. Các số nguyên Gaussian chỉ là nghịch trong Z [i] là ± 1 và ± i.
Proof. Nó rất dễ dàng để xem ± 1 và ± i có ngược trong Z [i]: 1 và -1 là nghịch đảo và của chính họ
i và -i là nghịch đảo của nhau.
Đối với hướng ngược lại, giả sử α ∈ Z [i] là nghịch, nói αβ = 1 đối với một số β ∈ Z [i].
Chúng tôi muốn cho α ∈ {± 1, ± i}. Lấy tiêu chuẩn của cả hai vế của phương trình αβ = 1,
chúng ta thấy N (α) N (β) = 1. Đây là một phương trình Z, vì vậy chúng tôi biết N (α) = ± 1. Kể từ khi các chuẩn mực
không mất giá trị âm, N (α) = 1. Viết α = a + bi, chúng ta có một
2 + b
2 = 1, và các
giải pháp tích hợp này cho chúng ta bốn giá trị α = ± 1, ± i.
yếu tố nghịch được gọi là đơn vị. Các đơn vị của Z là ± 1. Các đơn vị của Z [i] là ± 1 và
± i. Biết một số nguyên Gaussian đến nhân của một đơn vị tương tự như biết một
số nguyên lên đến dấu hiệu của nó.
Trong khi không có những điều như bất bình đẳng trên các số nguyên Gaussian, chúng ta có thể nói về
sự bất bình đẳng về tiêu chuẩn của họ. Đặc biệt, cảm ứng trên các chỉ tiêu (không phải trên Gaussian
nguyên chính nó) là một kỹ thuật để ghi nhớ nếu bạn muốn chứng minh một cái gì đó bằng cảm ứng
trong Z [i]. Chúng tôi sẽ sử dụng cảm ứng trên các chuẩn mực để chứng minh nhân tử độc đáo (Định lý 6.4 và
6.6).
Các chỉ tiêu mỗi số nguyên Gaussian là một số nguyên không âm, nhưng nó không phải là sự thật mà mỗi
số nguyên không âm là một chuẩn mực. Thật vậy, các chỉ tiêu là các số nguyên có dạng một
2 + b
2
, và
không phải mọi số nguyên dương là một tổng của hai hình vuông. Ví dụ như 3, 7, 11, 15, 19, và
21. Không có số nguyên Gaussian có mức tương đương với các giá trị.