Strong stability preserving (SSP) t

Strong stability preserving (SSP) time discretization methods were
developed to address the need for nonlinear stability properties in the time
discretization, as well as the spatial discretization, of hyperbolic PDEs.
The idea behind SSP methods is to assume that the first order forward
Euler time discretization of the method of lines ODE is strongly stable
under a certain norm, when the time step Δt is suitably restricted, and
then try to find a higher order time discretization (Runge–Kutta or multi
step) that maintains strong stability for the same norm, perhaps under a
different time step restriction. The class of high order SSP time discretization
methods for the semi-discrete method of lines approximations of
PDEs was developed in [28, 29] and called TVD (Total Variation Diminishing)
time discretizations. This class of methods was further studied in
[6, 7, 14, 25–27, 30, 31]. These methods preserve the stability properties
of forward Euler in any norm or semi norm. In fact, since the stability
On High Order Strong Stability Preserving 107
arguments are based on convex decompositions of high-order methods in
terms of the first-order Euler method, any convex function (such as the
cell entropy stability property of high order schemes studied in [22, 24]
will be preserved by SSP high-order time discretizations.
Over the last few years, increasingly sophisticated mathematical and
numerical techniques have been used to develop new and optimal SSP
methods. The goal of this paper is to describe the Shu–Osher SSP theory
and the recent developments, both numerical and theoretical, in this
field, and to collect the main results and the most useful, in terms of
computational cost, SSP methods. The paper is organized as follows: The
SSP theory and Shu–Osher representation of explicit Runge–Kutta methods
is described in Sec. 2, as well as the results on order barriers and optimal
methods for linear problems and nonlinear problems, and low storage
RK methods. The results for explicit SSP multi step methods appear in
Sec. 3, and for implicit SSP RK and multi step methods in Sec. 4. Finally,
the theory linking the CFL coefficient for SSP methods and the radius of
absolute monotonicity is described in Sec. 5. The study of SSP generalized
linear methods (Runge–Kutta and multi step hybrids) which appear in [8]
will not be reviewed here, as the resulting methods are less computationally
efficient than either the Runge–Kutta or the multi step methods.

Kết quả (Việt) 1:

Sự ổn định mạnh mẽ bảo vệ thời gian (SSP) discretization phương phápphát triển đến địa chỉ cần thiết cho sự ổn định phi tuyến tính trong thời giandiscretization, cũng như không gian discretization, của hyperbol PDEs.Ý tưởng đằng sau phương pháp SSP là giả định rằng lệnh đầu tiên chuyển tiếpEuler lần discretization của phương pháp của dòng thơ ca NGỢI là ổn định mạnh mẽtheo một chuẩn mực nhất định, khi Δt bước thời gian là bị giới hạn phù hợp, vàsau đó cố gắng tìm một cao thứ tự thời gian discretization (Runge-Kutta hoặc đabước) mà duy trì ổn định cho chuẩn giống nhau, có lẽ là dưới mộtcác hạn chế bước thời gian khác nhau. Thời gian lớp học của trật tự cao SSP discretizationCác phương pháp đối với phương pháp bán rời rạc của dòng xấp xỉ củaPDEs được phát triển vào [28, 29] và được gọi là TVD (tổng số biến thể giảm dần)thời gian discretizations. Lớp này của phương pháp này đã được nghiên cứu thêm trong[6, 7, 14, 25-27, 30, 31]. Những phương pháp bảo quản tài sản ổn địnhcủa Euler chuyển tiếp tại bất kỳ tiêu chuẩn hoặc bán chuẩn. Trong thực tế, kể từ khi sự ổn địnhTrên cao trật tự ổn định giữ gìn 107đối số được dựa trên lồi decompositions của trật tự cao phương pháp ởđiều kiện của phương pháp Euler lần đầu tiên đặt hàng bất kỳ chức năng lồi (chẳng hạn như cácdi động dữ liệu ngẫu nhiên ổn định bất động sản cao thứ tự chương trình nghiên cứu trong [22, 24]sẽ được bảo tồn bởi SSP cao thứ tự thời gian discretizations.Trong vài năm qua, ngày càng tinh vi toán học vàkỹ thuật số đã được sử dụng để phát triển mới và tối ưu SSPphương pháp. Mục đích của giấy này là để mô tả các lý thuyết SSP Thục-Oshervà phát triển gần đây, cả hai số và lý thuyết, trong nàylĩnh vực này, và để thu thập các kết quả chính và hữu ích nhất, trong điều khoản củatính toán chi phí, SSP phương pháp. Giấy được tổ chức như sau: CácSSP lý thuyết và Thục-Osher đại diện rõ ràng phương pháp Runge-Kuttađược mô tả trong Sec. 2, cũng như các kết quả trên hàng rào cản và tối ưuphương pháp cho các vấn đề về tuyến tính và phi tuyến vấn đề, và lưu trữ thấpRK phương pháp. Kết quả cho rõ ràng SSP đa bước phương pháp xuất hiện trongSEC. 3, và tiềm ẩn SSP RK và đa bước phương pháp trong Sec. 4. Cuối cùng,lý thuyết liên kết các hệ số CFL về phương pháp SSP và bán kính củamonotonicity tuyệt đối được mô tả trong Sec. 5. Nghiên cứu của SSP tổng quáttuyến tính phương pháp (Runge-Kutta và đa bước lai) xuất hiện trong [8]sẽ không được xem xét ở đây, như các phương pháp kết quả là ít hơn computationallyhiệu quả hơn Runge-Kutta hoặc phương pháp bước đa.

Kết quả (Việt) 2:

Ổn định mạnh mẽ bảo quản (SSP) phương pháp rời rạc thời gian đã được
phát triển để giải quyết nhu cầu cho tính ổn định phi tuyến trong thời gian
rời rạc, cũng như rời rạc không gian, của PDEs hyperbol.
Ý tưởng đằng sau phương pháp SSP là giả định rằng trật tự phía trước đầu tiên
Euler thời gian rời rạc của các phương pháp dòng ODE là ổn định mạnh mẽ
dưới một mức nhất định, khi thời gian bước Δt được giới hạn phù hợp, và
sau đó cố gắng tìm một thời gian rời rạc hóa bậc cao (Runge-Kutta hoặc đa
bước) duy trì sự ổn định mạnh mẽ về định mức cùng , có lẽ dưới một
giới hạn thời gian bước khác nhau. Các lớp của bậc cao SSP thời gian rời rạc
phương pháp cho các phương pháp bán rời rạc của dòng xấp xỉ của
PDEs đã được phát triển trong [28, 29] và được gọi là TVD (Tổng Biến thể giảm bớt)
discretizations thời gian. Lớp này các phương pháp đã được tiếp tục nghiên cứu trong
[6, 7, 14, 25-27, 30, 31]. Những phương pháp bảo quản tài sản ổn định
của tiếp Euler trong bất kỳ tiêu chuẩn hoặc mức bán. Trong thực tế, kể từ khi sự ổn định
trên cao thứ tự ổn định mạnh Gìn giữ 107
đối số được dựa trên sự phân tách lồi của phương pháp bậc cao trong
điều khoản của lệnh đầu tiên phương pháp Euler, bất kỳ chức năng lồi (như các
tài sản di entropy ổn định của chương trình bậc cao học trong [22, 24]
sẽ được bảo quản bởi SSP-trật tự cao discretizations thời gian.
trong vài năm qua, toán học và ngày càng tinh vi
kỹ thuật số đã được sử dụng để phát triển SSP mới và tối ưu
các phương pháp. Mục đích của bài viết này là để mô tả các Shu -Osher thuyết SSP
và những phát triển gần đây, cả số và lý thuyết, trong này
lĩnh vực, và để thu thập các kết quả chính và hữu ích nhất, về
. chi phí tính toán, phương pháp SSP giấy này được tổ chức như sau: các
lý thuyết SSP và Shu đại diện -Osher của phương pháp Runge-Kutta rõ ràng
được mô tả trong Sec. 2, cũng như các kết quả về hàng rào tự và tối ưu
các phương pháp cho các vấn đề tuyến tính và các vấn đề phi tuyến, và lưu trữ thấp
phương pháp RK. Kết quả cho SSP phương pháp đa bước rõ ràng xuất hiện trong
sec. 3, và tiềm ẩn SSP RK và phương pháp bước đa trong Sec. 4. Cuối cùng,
các lý thuyết liên kết các hệ số CFL cho các phương pháp SSP và bán kính của
đơn điệu tuyệt đối được mô tả trong Sec. 5. Nghiên cứu về SSP khái quát
phương pháp tuyến tính (Runge-Kutta và đa bước lai) mà xuất hiện trong [8]
sẽ không được xem xét ở đây, như các phương pháp kết quả là ít tính toán
hiệu quả hơn cả Runge-Kutta hoặc các phương pháp đa bước.