As in the literature, we will often

As in the literature, we will often use the equivalent language of modules. A g-module is a vector

space V together with a bilinear action map − · − : g × V → V such that

[X, Y ] · v = X · (Y · v) − Y · (X · v) ∀ X, Y ∈ g, v ∈ V.

Exercise 6.2. Let ρ : g → gl(V ) be a representation. Show that V is a g-module with action map

X · v = ρ(X)(v). Conversely, if V is a g-module, define ρ : g → End(V ) by ρ(X)(v) = X · v.

Show that ρ is actually a representation. Check that this defines a natural equivalence between

g-representations and g-modules.

Remark 6.3. For those of you who are comfortable with the language of categories, both repre-
sentations of a Lie algebra g and the collection of all g-modules form categories; in fact they are

abelian categories. Then exercise 6.2 is really saying that these two categories are equivalent.

Kết quả (Việt) 1:

Như trong các tài liệu, chúng tôi thường sử dụng ngôn ngữ tương đương của các mô-đun. Một mô-đun g là một vectorkhông gian V cùng với một hành động bilinear đồ − · −: g × V → V sao cho[X, Y] · v = X · (Y · v) − Y · (X · v) ∀ X, Y ∈ g, v ∈ V.Tập thể dục 6.2. Hãy để ρ: g → gl (V) là một đại diện. Hiển thị V là một mô-đun g với hành động bản đồX · v = ρ(X)(v). Ngược lại, nếu V là một mô-đun g, xác định ρ: g → kết thúc (V) bởi ρ(X)(v) = X · v.Hiển thị rằng ρ là thực sự là một đại diện. Kiểm tra rằng điều này định nghĩa một tương đương tự nhiên giữag-đại diện và g-mô-đun.Nhận xét 6.3. Đối với những người bạn của những người cảm thấy thoải mái với ngôn ngữ của thể loại, cả hai repre-sentations của một lời nói dối đại số g và bộ sưu tập của tất cả các danh mục mẫu g-mô-đun; trong thực tế, họ làabelian thể loại. Sau đó tập thể dục 6.2 thực sự nói rằng các loại hai là tương đương.

Kết quả (Việt) 2:

Như trong các tài liệu, chúng tôi sẽ thường xuyên sử dụng các ngôn ngữ tương đương của các module. Một g-module là một vector

không gian V kèm theo bản đồ hành động Bilinear - · -: g × V → V mà

[X, Y] · v = X · (Y · v) - Y · (X · v) ∀ X, Y ∈ g, v ∈ V.

tập thể dục 6.2. Hãy ρ: g → gl (V) là một đại diện. Chứng minh rằng V là một g-đun với bản đồ hành động

X · v = ρ (X) (v). Ngược lại, nếu V là một g-mô-đun, xác định ρ: g → End (V) bằng ρ (X) (v) = X · v.

Hiện ρ mà thực sự là một đại diện. Kiểm tra này xác định một tương đương tự nhiên giữa

g-đoan và g-mô-đun.

Ghi chú 6.3. Đối với những người bạn của những người cảm thấy thoải mái với ngôn ngữ thể loại, cả hai diện
sentations của một đại số Lie g và các bộ sưu tập của tất cả các loại hình thức g mô-đun; trong thực tế họ là

loại giao hoán. Sau đó, tập thể dục 6.2 đang thực sự nói rằng hai loại này là tương đương.