154 TORSION AND EXTENSION FUNCTORS

154 TORSION AND EXTENSION FUNCTORS
while if A is left Noetherian then w.gl.dim A = l.gl.dimA. In particular,
if A is both right and left Noetherian then
r.gl.dimA = w.gl.dim A = l.gl.dimA.
Proof. It is clearly enough to prove the first assertion and, by
Theorem 18, this will follow if we show that r.gl.dimA ^ w.gl.dim A.
Let A be an arbitrary cyclic right A-module, then, by Theorem 19,
r.dhA(^4) = w.r.dhA(^4) ^ w.gl.dim A,
and now the required relation follows from Theorem 15 after it has
been adapted to make it applicable to right modules.

































Cambridge Books Online
http://ebooks.cambridge.org









An Introduction to Homological Algebra

Northcott

Book DOI: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511565915

Online ISBN: 9780511565915

Hardback ISBN: 9780521058414

Paperback ISBN: 9780521097932






Chapter

8 - Some useful identities pp. 155-173

Chapter DOI: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511565915.009

Cambridge University Press

155



8


SOME USEFUL IDENTITIES

Notation. A, F and A denote rings, which need not be commutative,
but which possess identity elements. Z denotes the ring of integers.
8.1 Bimodules
In Chapter 2 we established enough of the elementary properties of
A (x)A G and HomA (B, C) to enable us to proceed, for a considerable distance, with the general theory. However, when dealing with special problems, we shall require certain additional results, and it is these which will now be considered. The kind of situation envisaged is that in which we wish to assert that two apparently different construc- tions with modules lead to the same result. These situations normally arise only when we have to deal with comparatively elaborate opera- tions with modules; and usually, before such an operation can be carried out, one at least of the modules concerned has to have a double structure. For example, in order to be able to form A ®A(J5®rC)
we require that B ®r C should be a left A-module. If either B or C is
a A-module, in addition to being a T-module, then we can hope to trans-
fer this property to B®rC9 but clearly something of this kind is needed.
In this way we come to the consideration of objects which are
modules with respect to each of a pair of rings. Roughly speaking, this is what we understand by a bimodule the precise definition being
as follows:
Definition. If an additive group M is both a A-module and a
F-module, and if, whenever A belongs to A and y to F, multiplication (of elements of M) by A commutes with multiplication by y, then M is said to be a bimodule or, more explicitly, a (A, T)-module.
Suppose, for example, that the additive group M is a left A-module and a right F-module, then M is a (A, F)-module provided that
(xy) = (Xx) y whenever A € A, y e F and x e M. On the other hand, if
M is a left A-module and also a left F-module, then we require that X(yx) = y(Xx), for all such A, y and x, before M can be classed as a bimodule.








156 SOME USEFUL IDENTITIES
In all we have four types of (A, r)-module because A can act on the
right or the left and so also can F. If either A or F is commutative, then the four types reduce to two, while if A and F are both commuta- tive we have essentially only one type of bimodule.

Definition. If M and N are (A, F)-modules of the same type then a mapping M-+N, which is both a A-homomorphism and a F-homo-
morphism, is called a bihomomorphism or a (A, Y)-homomorphism.
It should be noted that the (A, F)-modules of a given type and their
bihomomorphisms form a category.
The concept of a bimodule will now be illustrated by means of two examples. Let M be a A-module and suppose (for definiteness) that A operates on the left. If now k is an integer, Xe A and xeM, then X(kx) = k{Xx). This shows that every A-module can be regarded as a (A, Z)-module, and, indeed, we have made use of this fact in earlier chapters though without using the terminology of the theory of bimodules. Again, if F is a commutative ring and N is a F-module, then 7i(j2y) = y^YiV) whenever yv y2 are in F and y belongs to N. This shows that (for a commutative ring F) every F-module can be regarded as a special kind of (F, F)-module, and indeed, here we have the real reason why tensor products and groups of homomorphisms can be
given additional structure when the ground-ring is commutative.


8.2 General principles
Let T(A) be an additive functor where, with the notation of section
(3.9), A varies in @A and the values of T(A) are in ^A. If now, in a special case, A is not only a A-module but rather a (A, F)-module, then it is natural to ask whether anything more can be said about T(A).
In answering this question, it is convenient to treat covariant and contravariant functors separately, at least to begin with. Consider first of all an additive covariant functor U(A) from 8?A to 3?A. Let us agree that, when speaking of a (A, F)-module A, it is to be under- stood that we mean the type to be such that U(A) is defined; also the elements of F will be supposed (for definiteness) to multiply those of the bimodule on the left. For a fixed y in F, the mapping a->ya defines a A-homomorphism of such a bimodule A into itself. Denote this A-homomorphism by (y) then it is clear that, when y and y' are
both in F,








GENERAL PRINCIPLES 157
and it is seen that

£7((y + / ) ) = U((y)) + U((y')),
For each x belonging to U(A) put

U((y/)) = U((y)) U((y')),

U{{1)) = i d e n t i t y '



(8'2'1)

yx=[U((y))]x,
so that yx denotes the effect of operating on x with U((y)), then it
follows, from (8.2.1), that U(A) is a F-module as well as a A-module. But U((y)) is a A-homomorphism, consequently, for U(A), multiplica- tion by an element of F always commutes with multiplication by an dement of A. Accordingly, we have shown that U(A) is a (A, F)- module. (In the case where A has the elements of F operating on the right, a similar discussion shows that U(A) is a (A, F)-module with the elements of F acting as right operators.) Thus, to sum up, when the
additive functor U is covariant and A is a (A, F) -module, then U(A) can
be given the structure of a (A, T)-module where, as T-modules, A and U(A) are of the same type.
In the case of an additive contravariant functor V(A) say, again
from @A to ^A, a slight modification is necessary. If, as above, A is a bimodule having the elements of F as left multipliers, then we write


With this definition it is found that V(A) becomes a bimodule with the elements of F multiplying on the right and so we have, on this occasion, a change of type in the structure as F-module. (In the situation where the bimodule A is a right F-module, V(A) will be a left F-module.) Thus, to sum up again, we may say that when V is an additive contra-
variant functor and A is a (A, Y)-module, then V(A) can be regarded as
a (A, Y)-module where, considered as Y-modules, A and V(A) are of contrasting types.
Now assume that A and A' are (A, F)-modules of the same type and
t h a t / : A->A' is a (A, F)-homomorphism. Then, for any y in F, the
diagramf /
A >A'

/
A >A'
is commutative and therefore so also are the two further diagrams
U(A) • U(A') V(A') > V(A)
U((y)) u((y)) F((y))| |F((r))
Y Y Y Y
U(A) • U(A') V(A') • V{A)
t As a temporary expedient, we use (y) to denote two different mappings.





158 SOME USEFUL IDENTITIES
This means that V(A)-> U(A') and V(A')->V(A) are (A,F)-homo-
morphisms. Combining the covariant and contravariant cases to- gether, we can summarize in the following way: when T(A) is an
additive functor and we restrict A to the category of (A, T)-modules and their (A, Tyhomomorphisms, then we may regard T as a functor of these bimodules which takes values in the category of (A, T)-modules.
Next consider an additive functor T(A,A1,A2,...,Ak) of several
variables, where A varies in @A, Ar in @Ar (l^r^k) and the values of
T are in ^A. Among AVA2, ...,Ak let the covariant variables be
Ai (iel) and the contravariant ones Aj (jeJ). If now A is a (A, F)-
module, y belongs to F and Ai->Afi (iel), A'j-^Aj (jeJ) are Ar
homomorphisms, A^-homomorphisms respectively, then the diagram

T(A,A19 ...,Ak) > T(A,A'l9 ...,A'k)
{ i
T(A,AV ...,A ) k • T(A,A[, ...,A'k)
is commutative, where the vertical maps are induced by the A-homo-
morphism (y) : A-^-A. This means simply that

T(A9Al9...9Ak)->T(A9A'l9...,A'k)
is a (A, r)-homomorphism of the (A, F)-modules T(A,AV ...,Ak) and
T(A,A[, ...,Ak). Combining this with our earlier result concerning a variation in the single variable A, we arrive at the following conclusion:
iffis a (A, T)-homomorphism and, for each r (l^r^k),fris a Ar-homo-
morphism, then T(f,fv ...,fk) is a (A, T)-homomorphism.
In the above, we have examined what happens when the first variable is restricted to vary in a category of bimodules, but, of course, what has been said applies equally well to each of the other variables.
After these very general observations, let us look at some examples. If A is a right A-module and B is a left A-module, then we can form
A ®A B and this is simply a Z-module, that is to say, an additive
abelian group. Should, however, A happen to be a (A, F)-module
with the elements of F as left multipliers, then A ®Ai? is a (Z, F)- module, or, to put it both more fully and more simply, a left F-module. Further, if ye F and xeA ®AB, then yx is the result of operating on x with (7) ® iB, where iB denotes the identity map of B. In other
words, A ®A B is a left F-module, and, whenever aeA,beB and yeT,
we have
y(a ® 6) = (ya) ® 6. (8.2.2)




GENERAL PRINCIPLES 159
In the same way, when A is a bimodule with the elements of F oper-
ating on the right, A ®AB is a right F-module and
(a®&)r = (ay)® 6. (8.2.3)
Of course, similar remarks apply to the case in which B, instead of A,
is a (A, F)-module.
Again, if A is commutative, then, by regarding .4 as a (A, A)-module,
we can turn A ®AB into a

Kết quả (Việt) 1:

154 xoắn và functors mở rộng
trong khi nếu là trái noetherian sau đó w.gl.dim một l.gl.dima =. đặc biệt,
nếu là cả hai bên phải và trái noetherian sau đó
r.gl.dima = w.gl.dim a = l.gl.dima.
Bằng chứng. rõ ràng là đủ để chứng minh sự khẳng định đầu tiên và, bởi
định lý 18, điều này sẽ làm theo nếu chúng tôi cho thấy rằng r.gl.dima
w.gl.dim một.
Cho một là một vòng bên phải tùy ý một mô-đun, sau đó, bởi định lý 19,
r.DHA (
4) = wrdha (
4)
w.gl.dim một,
và bây giờ mối quan hệ cần thiết sau từ định lý 15 sau khi nó đã
được điều chỉnh để làm cho nó áp dụng cho các mô-đun đúng.


































Sách cambridge trực tuyến http://ebooks.cambridge.org









giới thiệu về đại số đồng điều



Northcott cuốn sách doi: http://dx.doi.org/10.1017/cbo9780511565915

ISBN trực tuyến: 9780511565915

ISBN bìa cứng: 9780521058414

bìa mềm ISBN: 9780521097932








chương 8 - một số đặc tính hữu ích trang 155-173

chương doi: http://dx.doi.org/10.1017/cbo9780511565915.009

Đại học Cambridge

155






8 một số danh tính hữu ích

ký hiệu. một, e và một chiếc nhẫn biểu thị, mà không cần phải giao hoán,
nhưng mà có yếu tố bản sắc. z biểu thị vòng các số nguyên.
8.1 bimodules
trong chương 2, chúng tôi thành lập đủ các thuộc tính cơ bản của
a (x) ag và HOMA (b, c) để cho phép chúng tôi tiếp tục, cho một khoảng cách đáng kể, với lý thuyết nói chung. Tuy nhiên, khi giao dịch với các vấn đề đặc biệt, chúng tôi sẽ yêu cầu nhất định kết quả bổ sung, và đó là những mà bây giờ sẽ được xem xét.các loại tình hình dự kiến ​​là trong đó chúng tôi muốn khẳng định rằng hai dường như khác nhau phí xây dựng chức với mô-đun dẫn đến cùng một kết quả. những tình huống thông thường chỉ phát sinh khi chúng ta phải đối phó với tương đối phức tạp opera chức với các mô-đun, và thông thường, trước khi một hoạt động như vậy có thể được thực hiện, ít nhất một trong các mô-đun liên quan phải có một cấu trúc đôi.ví dụ, để có thể tạo thành một ® một (J5 ® rc)
chúng tôi yêu cầu b ® rc phải là một trái một mô-đun. nếu một trong hai b hoặc c là một
a-mô-đun, ngoài việc là một t-mô-đun, sau đó chúng ta có thể hy vọng để xuyên
fer khách sạn này b ® RC9 nhưng rõ ràng một cái gì đó của loại hình này là cần thiết.
Theo cách này chúng ta đến việc xem xét các đối tượng là
module đối với mỗi một cặp nhẫn với.khoảng nói, đây là những gì chúng ta hiểu bởi một bimodule định nghĩa con người chính xác
như sau:
định nghĩa. nếu một nhóm phụ m là cả một một mô-đun và
f-mô-đun, và nếu, bất cứ khi nào một thuộc về một và y f, nhân (của các yếu tố của m) bằng một giao hoán với phép nhân bằng y, sau đó m nói là một bimodule hoặc, một cách rõ ràng hơn, một (a, t)-mô-đun.
Giả sử, ví dụ,rằng nhóm phụ m là một trái một mô-đun và một e-mô-đun phải, sau đó m là một (a, e)-mô-đun cung cấp mà
(xy) = (xx) y bất cứ khi nào một € một, yef và xe m . Mặt khác, nếu
m là để lại một module và cũng là một e-mô-đun bên trái, sau đó chúng tôi yêu cầu x (yx) = y (xx), cho tất cả như một, y, x, trước m có thể được phân loại như một bimodule.








156 một số danh tính hữu ích
trong tất cả chúng ta có bốn loại (a,r)-mô-đun vì một có thể hoạt động trên
đúng hay bên trái và như vậy cũng có thể e. nếu một trong hai hoặc f là giao hoán, sau đó bốn loại giảm đến hai, trong khi nếu a và e đều commuta cực chúng tôi có về cơ bản chỉ có một loại bimodule.

Định nghĩa. nếu m và n là (a, e) mô-đun cùng loại sau đó một bản đồ m-n, mà là cả một một đồng cấu và cấu xạ f-homo-
,được gọi là một bihomomorphism hoặc (a, y)-đồng cấu.
Cần lưu ý rằng (a, e)-mô-đun của một loại nhất định và
bihomomorphisms của họ tạo thành một thể loại.
Khái niệm về một bimodule bây giờ sẽ được minh họa bằng hai ví dụ. cho m là một một mô-đun và giả sử (cho tính xác định) mà một hoạt động bên trái. nếu bây giờ k là một số nguyên, xe một và xem, sau đó x (kx) = k {xx).điều này cho thấy rằng mỗi một module có thể được coi là một (một, z)-mô-đun, và, thực sự, chúng tôi đã sử dụng thực tế này trong các chương trước mặc dù không có bằng cách sử dụng thuật ngữ của lý thuyết bimodules. một lần nữa, nếu f là một vành giao hoán và n là một e-mô-đun, sau đó 7i (j2y) = y
yiv) bất cứ khi nào yv y2 là trong f và y thuộc về n.điều này cho thấy rằng (cho một chiếc nhẫn f giao hoán) mỗi e-mô-đun có thể được coi là một dạng đặc biệt của (f, f)-mô-đun, và quả thật, ở đây chúng tôi có lý do thực sự tại sao các sản phẩm và nhóm homomorphisms tensor có thể cho
cấu trúc bổ sung khi mặt đất-ring là giao hoán.



8.2 nguyên tắc chung cho t (a) là một functor phụ ở đâu, với các ký hiệu của phần
(3.9),một thay đổi trong một @ và các giá trị của t (a) là một trong
. nếu bây giờ, trong một trường hợp đặc biệt, một không chỉ là một một mô-đun mà là một (a, e)-mô-đun, sau đó nó là tự nhiên để hỏi bất cứ điều gì hơn có thể nói về t (a).
Trong việc trả lời câu hỏi này, nó là thuận tiện để điều trị functors hiệp biến và contravariant riêng, ít nhất là để bắt đầu với. xem xét đầu tiên của tất cả các chất phụ gia hiệp biến functor u (a) từ 8?một đến 3 a. để chúng tôi đồng ý rằng, khi nói về một (một, f)-mô-đun một, đó là để được đứng dưới mà chúng ta có nghĩa là các loại để được như vậy mà u (a) được xác định, cũng các yếu tố của f sẽ được cho là ( cho tính xác định) để nhân những người của bimodule bên trái. cho một y cố định trong f, lập bản đồ a-> ya định nghĩa một một đồng cấu như vậy một bimodule một thành chính nó.biểu thị này một đồng cấu của (y) thì rõ ràng là, khi y và y 'la
cả trong e









157 nguyên tắc chung và nó được xem là

£ 7 (( y /)) = u ((y)) u ((y ')),
cho mỗi x thuộc u (a) đặt

u ((y /)) = u ((y)) u ((y ')),

u {{1)) = sắc'



(8'2'1)

yx = [u ((y))] x,
vì vậy yx biểu thị ảnh hưởng của hoạt động trên x với u ((y)), sau đó nó
sau, từ (8.2.1),u (a) là một e-mô-đun cũng như một mô-đun. nhưng u ((y)) là một một đồng cấu, do đó, cho u (a), phép nhân hóa một phần tử f luôn luôn tiện di chuyển với nhân bởi một làm cho điên của một. theo đó, chúng tôi đã chỉ ra rằng u (a) là một (a, e) - mô-đun. (Trong trường hợp một có các yếu tố của f hoạt động trên bên phải, một cuộc thảo luận tương tự cho thấy u (a) là một (một,f)-mô-đun với các yếu tố của f hành động khai thác như bên phải.) do đó, để tổng hợp, khi phụ functor
u là hiệp biến và là một (a, e)-mô-đun, sau đó u (a) có thể được
cấu trúc của một (a, t)-mô-đun ở đâu, như t-mô-đun, và u (a) có cùng loại.
Trong trường hợp của một phụ contravariant functor v (a) nói, một lần nữa
từ @ một để
a, một sửa đổi nhỏ là cần thiết. nếu, như trên,một là một bimodule có các yếu tố của f như nhân để lại, sau đó chúng tôi viết


với định nghĩa này có thể thấy rằng v (a) trở thành một bimodule với các yếu tố của f nhân trên bên phải và vì vậy chúng tôi, nhân dịp này , một sự thay đổi của các loại trong cấu trúc như e-mô-đun. (Trong tình huống mà các bimodule một là một e-mô-đun phải, v (a) sẽ là một e-mô-đun bên trái.) Do đó, tổng hợp lại,chúng tôi có thể nói rằng khi v là một chất phụ gia contra-
biến functor và là một (a, y)-mô-đun, sau đó v (a) có thể được coi như một
(a, y)-mô-đun ở đâu, coi như y mô-đun, và v (a) là các loại tương phản.
Bây giờ giả định rằng một và một '(a, e) mô-đun cùng loại và
mà /: a-> a' là một (a, e)-đồng cấu. sau đó, đối với bất kỳ y trong f,
diagramf /
a> một '

/
a> một'
là giao hoán và do đó như vậy cũng là hai sơ đồ hơn nữa
u (a) • u (a ') v (a')> v (a)
u ((y)) u ((y)) f (( y)) | | f ((r))
yyyy
u (a) • u (a ') v (a') • v {a)
t như một cách giải quyết tạm thời, chúng tôi sử dụng (y) để biểu thị hai khác nhau ánh xạ.





158 một số danh tính hữu ích
này có nghĩa là v (a) -> u (a ') và v (a') -> v (a) (a, e)-homo-
morphisms.kết hợp các hiệp biến và các trường hợp contravariant to-Cùng nhau, chúng ta có thể tóm tắt theo cách sau: khi t (a) là một phụ gia
functor và chúng tôi hạn chế một thể loại (a, t) mô-đun và (a, tyhomomorphisms của họ, sau đó chúng ta có thể coi t như một functor các bimodules trong đó có giá trị trong danh mục của (a, t)-mô-đun.
tiếp theo xem xét một t phụ functor (a, a1, a2, ..., ak) của một số biến
,nơi một khác nhau trong một @, ar trong @ ar (l
r
k) và các giá trị của
t là trong một
. trong ava2, ..., ak cho các biến hiệp biến được
ai (IEL) và những người contravariant aj (jej). nếu bây giờ là một là một (a, e) -
mô-đun, y thuộc về e và ai-> AFI (IEL), a'j-
aj (jej) được ar
homomorphisms, một
-homomorphisms tương ứng, sau đó sơ đồ

t (a, A19 ..., ak)> t (a, a'l9 ..., a'k)
{i
t (a, bình ..., a) k • t (a, một [, ...,a'k)
là giao hoán, nơi mà các bản đồ theo chiều dọc được gây ra bởi các một homo-
xạ (y): a-
-a. điều này có nghĩa đơn giản là

t (a9al9. .. 9ak) -> t (a9a'l9 ..., a'k)
là (a, r)-đồng cấu của (a, e) mô-đun t ( một, bình ..., ak) và
t (a, a [, ..., ak). kết hợp với kết quả trước đó của chúng tôi liên quan đến một sự thay đổi trong các biến duy nhất là, chúng tôi đi đến kết luận sau đây:
iffis một (a, t)-đồng cấu và,cho mỗi r (l
r
k), FRIS một cấu xạ ar-homo-
, sau đó t (f, fv ..., fk) là một (a, t)-đồng cấu.
Ở trên, chúng tôi đã xem xét những gì sẽ xảy ra khi các biến đầu tiên được giới hạn khác nhau trong một thể loại của bimodules, nhưng, tất nhiên, những gì đã được nói được áp dụng như nhau cho mỗi biến số khác.
Sau những quan sát này rất chung chung, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ.nếu là một quyền một mô-đun và b là một trái một mô-đun, sau đó chúng tôi có thể hình thành một
® ab và điều này chỉ đơn giản là một z-mô-đun, nghĩa là, một chất phụ gia
nhóm giao hoán. nên, tuy nhiên, một xảy ra được một (a, e)-mô-đun
với các yếu tố của f như nhân để lại, sau đó một ® ai? là một (z, f) - mô-đun, hoặc, để đặt nó cả đầy đủ hơn và đơn giản hơn, một e-mô-đun bên trái. hơn nữa, nếu các ngươi f và xea ® ab,sau đó yx là kết quả của hoạt động trên x với (7) ib ®, nơi ib biểu thị bản đồ sắc của b. trong
Nói cách khác, một ® ab là một e-mô-đun bên trái, và, bất cứ khi nào aea, beb nhưng, chúng tôi có

y (a ® 6) = (ya) ® 6. (8.2.2)





159 nguyên tắc chung trong cùng một cách, khi một là một bimodule với các yếu tố của f oper-
ating bên phải, một ® ab là một e-mô-đun phải và
(một ® &) r = (ay) ® 6. (8.2.3)
tất nhiên,nhận xét tương tự áp dụng cho các trường hợp trong đó b, thay vì một,
là (a, e)-mô-đun.
Một lần nữa, nếu một là giao hoán, sau đó, do liên quan đến 0,4 như một (a, a)-mô-đun,
chúng ta có thể biến một ® ab thành một

Kết quả (Việt) 2:

154 Xoắn và phần mở rộng FUNCTORS
trong khi nếu A là trái Noetherian sau đó w.gl.dim A = l.gl.dimA. Đặc biệt,
nếu A là trái và phải Noetherian sau đó
r.gl.dimA = w.gl.dim A = l.gl.dimA.
Bằng chứng. Nó là rõ ràng đủ để chứng minh những khẳng định đầu tiên và bởi
định lý 18, điều này sẽ làm theo nếu chúng tôi thấy rằng r.gl.dimA
w.gl.dim A.
cho A là mô-một tùy ý cyclic A-đun phải, sau đó, định lý 19,
r.dhA(
4) = w.r.dhA(
4)
w.gl.dim A,
và bây giờ đã có mối quan hệ yêu cầu sau từ định lý 15 sau khi nó đã
được điều chỉnh để làm cho nó áp dụng cho mô-đun phải.


Cambridge sách trực tuyến
http://ebooks.cambridge.org


An Introduction to khi đại số

Northcott

cuốn sách DOI: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511565915

trực tuyến ISBN: 9780511565915

Hardback ISBN: 9780521058414

Paperback ISBN: 9780521097932


chương

8 - một số danh tính hữu ích trang 155-173

chương DOI: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511565915.009

đại học Cambridge

155


8


một số danh tính hữu ích

ký hiệu. A, F và A biểu thị nhẫn, mà cần phải được giao hoán,
nhưng đó có danh tính yếu tố. Z là bắt các vòng của số nguyên.
8.1 Bimodules
trong chương 2 chúng tôi thiết lập đủ các đặc tính cơ bản của
A (x) A G và HomA (B, C) để cho phép chúng tôi để tiến hành, cho một khoảng cách đáng kể, với thuyết. Tuy nhiên, khi giao dịch với các vấn đề đặc biệt, chúng tôi sẽ yêu cầu một số kết quả bổ sung, và nó là đây mà bây giờ sẽ được xem xét. Các loại tình hình dự định là ở đó chúng tôi muốn khẳng định rằng hai rõ ràng xây-tions khác nhau với mô-đun dẫn đến kết quả tương tự. Những trường hợp bình thường phát sinh chỉ khi chúng ta phải đối phó với opera-tions tương đối phức tạp với mô-đun; và thường, trước khi một hoạt động có thể được thực hiện, một ít của các mô-đun có liên quan đã có một cấu trúc đôi. Ví dụ, để có thể tạo thành một ®A(J5®rC)
chúng tôi yêu cầu rằng B ® r C phải có một trái A-mô-đun. Nếu B hoặc C
một A-module, ngoài việc là một T, mô-đun, sau đó chúng tôi có thể hy vọng sẽ trans -
fer này bất động sản để B ® rC9 nhưng rõ ràng là một cái gì đó của loại này cần thiết.
Theo cách này, chúng tôi đến để xem xét các đối tượng có
mô-đun đối với mỗi một cặp nhẫn. Khoảng nói, đây là những gì chúng tôi hiểu bởi một bimodule chính xác định nghĩa
như sau:
định nghĩa. Nếu một nhóm phụ gia M là cả hai một A-module và một
F-mô-đun, và nếu, bất cứ khi nào A thuộc về a và y để F, nhân (của các thành phần của M) bởi một commutes với nhân bởi y, sau đó M được gọi là một bimodule, hoặc hơn một cách rõ ràng, (A, T)-mô-đun.
Giả sử, ví dụ, có phụ gia đoàn M là một trái A-mô-đun và một F-mô-đun phải, sau đó M là (A, F)-cung cấp mô-đun đó
(xy) = y (Xx) bất cứ khi nào một € A, y e F và x e M. Mặt khác, nếu
M là một trái A-mô-đun và cũng có thể một trái F-mô-đun, sau đó chúng tôi yêu cầu rằng X(yx) = y(Xx), cho tất cả các A, y và x, trước khi M có thể được phân loại như là một bimodule.


156 Nhận dạng một số hữu ích
trong tất cả chúng ta có bốn loại (A, r)-mô-đun vì A có thể hoạt động trên các
bên phải hoặc bên trái và như vậy cũng có thể F. Nếu một trong hai A hoặc F là giao hoán, thì bốn loại giảm đến hai, trong khi nếu A và F là cả hai hoạt động cùng commuta chúng tôi có về cơ bản chỉ có một loại bimodule.

Định nghĩa. Nếu M và N là (A, F) - mô-đun của loại tương tự sau đó một ánh xạ M - N, là một phép đồng cấu A và một F - homo -
morphism, được gọi là một bihomomorphism hoặc (A, Y)-đồng cấu.
Nó cần lưu ý rằng (A, F)-mô-đun của một loại nhất định và của họ
bihomomorphisms tạo thành một thể loại.
Khái niệm về một bimodule bây giờ sẽ được minh họa bằng phương tiện của hai ví dụ. Hãy để M là một A-mô-đun và giả sử (cho definiteness) A hoạt động ở bên trái. Nếu bây giờ k là một số nguyên, Xe A và xeM, thì X(kx) = k {Xx). Điều này cho thấy rằng mỗi mô-đun A có thể được coi là (A, Z)-mô-đun, và, quả thật vậy, chúng tôi đã thực hiện việc sử dụng này thực tế trong chương trước đó mặc dù không có bằng cách sử dụng các thuật ngữ của lý thuyết của bimodules. Một lần nữa, nếu F là một vòng giao hoán và N là một F-mô-đun, sau đó 7i(j2y) = y
YiV) bất cứ khi nào yv y2 FA và y thuộc N. Điều này cho thấy rằng (cho một giao hoán vòng F) mỗi F-mô-đun có thể được coi là một loại đặc biệt (F, F)-mô-đun, và quả thật vậy, ở đây chúng tôi có lý do thực sự tại sao sản phẩm tensor và nhóm homomorphisms có thể
được bổ sung cấu trúc khi mặt đất-ring là giao hoán.


Nguyên tắc chung 8.2
T(A) để là một functor phụ gia ở đâu, với ký hiệu phần
(3.9), A thay đổi trong @A và các giá trị của T(A) là trong
A. Nếu bây giờ, trong một trường hợp đặc biệt, A là không chỉ một mô-đun A nhưng thay vào đó là một (A, F)-mô-đun, sau đó nó là tự nhiên để hỏi cho dù bất cứ điều gì hơn có thể cho biết về T(A).
Trong trả lời câu hỏi này, nó là thuận tiện để điều trị covariant và contravariant functors một cách riêng biệt, ít nhất để bắt đầu với. Xem xét đầu tiên của tất cả một phụ gia covariant functor U(A) từ 8?Một 3?A. Hãy để chúng tôi đồng ý rằng, khi nói về một (A, F) - mô-đun A, nó là để dưới - đứng rằng chúng tôi có nghĩa là loại để như vậy mà U(A) được xác định; cũng các yếu tố của F sẽ được yêu cầu (cho definiteness) nhân với những người của bimodule ở bên trái. Cho một y cố định FA, ánh xạ một-> ya định nghĩa một phép đồng cấu A của như vậy bimodule một A vào chính nó. Ký hiệu A-phép đồng cấu này bởi (y) sau đó nó là rõ ràng rằng, khi y và y'
cả FA,


chung nguyên tắc 157
và nó được nhìn thấy mà

£7 ((y /)) = U((y)) U((y')),
cho mỗi x thuộc U(A) đặt

U((y/)) = U((y)) U((y')),

U {{1)) = tôi d e n t tôi t y '



(8'2'1)

yx=[U((y))] x,
để biểu thị yx có hiệu lực hoạt động trên x với U((y)), sau đó nó
sau, từ (8.2.1), U(A) đó là một mô-đun F cũng như một A-mô-đun. Nhưng U((y)) là một phép đồng cấu A, do đó, cho U(A), multiplica-tion bởi một phần tử của F luôn commutes với phép nhân bởi một dement của A. cho phù hợp, chúng tôi đã chỉ ra rằng U(A) (A, F)-mô-đun. (Trong trường hợp nơi A có các yếu tố của F hoạt động ở bên phải, cho một cuộc thảo luận tương tự như thấy rằng U(A) là (A, F)-mô-đun với các yếu tố của F đóng vai trò là nhà khai thác bên phải.) Vì vậy, để tổng hợp lên, khi các
phụ gia functor U là covariant và A là một (A, F)-mô-đun, sau đó có thể U(A)
được đưa ra cấu trúc của một (A, T)-mô-đun mà, như T-mô-đun, A và U(A) là của cùng loại.
Trong trường hợp của một phụ gia contravariant functor V(A) nói, một lần nữa
từ @A đến
A, một chút thay đổi là cần thiết. Nếu, như trên, A là một bimodule có các yếu tố của F là hệ số bên trái, sau đó chúng ta viết


với định nghĩa này nó được tìm thấy rằng V(A) sẽ trở thành một bimodule với các yếu tố F nhân bên phải và như vậy chúng tôi có, vào dịp này, một sự thay đổi trong cấu trúc như F-mô-đun. (Trong tình huống mà bimodule A là một F-mô-đun phải, V(A) sẽ có một trái F-mô-đun.) Vì vậy, để tổng kết một lần nữa, chúng tôi có thể nói rằng khi V là một phụ gia chống -
biến thể functor và A là một (A, Y)-mô-đun, sau đó V(A) có thể được coi là
một (A, Y)-mô-đun, coi là Y-mô-đun, A và V(A) đâu của tương phản loại.
Bây giờ giả sử rằng A và A' là (A, F)-mô-đun cùng loại và
t h một t /: A-> A' là (A, F)-đồng cấu. Sau đó, cho bất kỳ y FA, các
diagramf /
A > A'

/
A > A'
tính giao hoán và do đó vì vậy cũng là hai tiếp tục sơ đồ
U(A) • U(A') V(A') > V(A)
U((y)) được viết bởi admin u((y)) F((y)) | |F((r))
Y Y Y Y
U(A) • U(A') V(A') • V {A)
t như một expedient tạm thời, chúng tôi sử dụng (y) để biểu thị hai ánh xạ khác nhau.



158 Danh tính một số hữu ích
điều này có nghĩa rằng V(A)-> U(A') và V(A')->V(A) là (A, F) - homo -
morphisms. Kết hợp covariant và contravariant trường hợp để-gether, chúng tôi có thể tóm tắt trong cách sau đây: khi T(A) là một
phụ gia functor và chúng tôi hạn chế A vào danh mục của (A, T)-mô-đun và của họ (A, Tyhomomorphisms, sau đó chúng tôi có thể quan tâm T là một functor các bimodules, có giá trị trong thể loại của (A, T)-mô-đun.
tiếp theo xem xét một phụ gia functor T (AA1, A2,..., Ak) của một số
biến, nơi A thay đổi trong @A, Ar trong @Ar (l
r
k) và các giá trị của
•có phải đó là trong
A. Trong số AVA2,..., Ak cho các biến covariant
Ai (Pháp) và contravariant những người Aj (jeJ). Nếu bây giờ A là (A, F)-
mô-đun, y thuộc về F và Ai-> Afi (Pháp), A'j-
Aj (jeJ) là Ar
homomorphisms, A
-homomorphisms tương ứng, sau đó là sơ đồ

T (A, A19..., Ak) > T (A, A'l9..., A'k)
{tôi
T (A, AV..., A) k • T (A, A [,...,A'k)
là giao hoán, nơi mà các bản đồ theo chiều dọc được gây ra bởi A-homo -
morphism (y): A-
-A. Điều này có nghĩa là chỉ đơn giản là rằng

T (A9Al9...9Ak)->T(A9A'l9...,A'k)
là một (A, r) - đồng cấu (A, F) - mô-đun T (A, AV..., Ak) và
T (A, A [,..., Ak). Kết hợp này với chúng tôi kết quả trước đó liên quan đến một biến thể trong biến A duy nhất, chúng tôi đến kết luận sau:
iffis (A, T)-đồng cấu và, cho mỗi r (l
r
k), lacquan một Ar-homo -
morphism, sau đó T (f, fv..., fk) là một (A, T)-đồng cấu.
Trong các bên trên, chúng tôi đã kiểm tra những gì sẽ xảy ra khi biến đầu tiên là giới hạn cho những thay đổi trong một thể loại của bimodules, Tuy nhiên, tất nhiên, những gì đã được nói áp dụng như nhau tốt cho mỗi của các biến khác.
Sau những quan sát rất chung chung, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ. Nếu A là một A-mô-đun phải và B là một trái A-mô-đun, sau đó chúng tôi có thể hình thành
A ® A B và điều này là chỉ đơn giản là một Z-module, đó là để nói, là một phụ gia
abelian nhóm. Nên, Tuy nhiên, A phải (A, F)-mô-đun
với các yếu tố của F là hệ số bên trái, sau đó A ® Ai? là một (Z, F)-mô-đun, hoặc để đặt nó đầy đủ hơn và đơn giản hơn, một trái F-mô-đun. Hơn nữa, nếu ye F và xeA ® AB, sau đó yx là kết quả của hoạt động trên x với (7) ® iB, nơi iB biểu đồ danh tính của sinh Khác
từ, A ® A B là một F trái-module, và bất cứ khi nào aeA, beB và được nêu ra,
hiện có
y(a ® 6) = (ya) ® 6. (8.2.2)


Chung nguyên tắc 159
trong cùng một cách, khi A là một bimodule với các yếu tố của F oper -
ating bên phải, A ® AB là một F-mô-đun phải và
(a®&) r = (ay) ® 6. (8.2.3)
Tất nhiên, nhận xét tương tự áp dụng cho trường hợp trong đó B, thay vì A,
là (A, F)-mô-đun.
Một lần nữa, nếu A là giao hoán, sau đó, bằng cách liên quan đến.4 là một (A, A)-mô-đun,
chúng tôi có thể biến A ® AB vào một