• each value in reducej(V) is in th

• each value in reducej(V) is in the range of U , i.e., range(reducej(V))
⊆ range(U);
• newk,j(V) ∈ range(U).
Convergence rate of approximation
Let U be the multiset of estimates, one estimate per correct process, at the start of a round. Let V and W be the multisets received at two arbitrary correct proceses in that round. The processes use the approximation function to choose their values for the next round. The new estimates chosen by any two arbitrary
correct processes, using the approximation function newk,f , are guaranteed to be within range(U)/c(m, k) of each other, when (i) |V |= |W |= m, (ii)
|W − V |, |V − W |≤ k, and (iii) |V − U |, |W − U |≤ f .
Convergence rate
Let k> 0, f ≥ 0, and m> 2f . For the multisets received, |V |= |W | = m. Let the multisets received differ from U in at most f elements (|V − U |,
|W − U |≤ f ), and let the multisets received differ from each other in at most
k elements (|W − V |, |V − W |≤ k). Then
|newk,f (V) − newk,f (W)|≤ diff(U)/c(m − 2f, k). (14.1)
The proof of this relationship is outlined next. There are exactly m − 2f mem- bers in each of M = reducef (V) and N = reducef (W). Hence, selectk(M) =
{m0, m1... mc−1} and selectk(N) = {n0, n1... nc−1}, where selectk(M) and selectk(N) each have c = c(m − 2f, k) members. Observe that (i) at least ki + 1 members of M are less than or equal to any mi (likewise for N ). Also,
(ii) at most ki members of M are less than mi (likewise for N ). The following can be shown using the earlier properties and definitions:
max(mi, ni) ≤ min(mi+1, ni+1), where 0 ≤ i ≤ c − 2. (14.2) This directly follows if mi ≤ ni+1 and ni ≤ mi+1 can be shown.

Assume to the contrary that mi > ni

+1. From (i), at least k(i + 1) + 1

elements of N are less than or equal to ni+1, and hence less than mi. But from (ii), at most ki elements of M are less than mi. Hence, at least k + 1 elements in N are not in M, i.e., |N − M|≥ k + 1.
Observe that |W − V |≤ k and |W ∩ V |≥ m − k. Using property 2, this implies that |N ∩ M|≥ m − k − 2f and hence |N − M|≤ (m − 2f) − (m − k − 2f) ≤ k.

This contradicts the conclusion of the assumption about mi > ni

1. Hence, m ≤

+ i
ni+1. Symmetrically, ni ≤ mi+1 can be shown. Therefore, Eq. (14.2) holds:

Kết quả (Việt) 1:

• mỗi giá trị trong reducej(V) là trong phạm vi U, tức là, range(reducej(V))⊆ range(U);• newk,j(V) ∈ range(U).Hội tụ tốc độ xấp xỉGiả sử U là tập ước tính, một dân số ước tính cho một quá trình chính xác, bắt đầu một vòng. Hãy để V và W là multisets nhận được hai proceses chính xác bất kỳ trong vòng đó. Các quá trình sử dụng chức năng xấp xỉ để chọn giá trị của họ vào vòng tiếp theo. Các ước tính mới được lựa chọn bởi bất kỳ hai tùy ýđúng quy trình, bằng cách sử dụng xấp xỉ chức năng newk, f, được bảo đảm để là trong phạm vi (U) / c / (m, k) của mỗi khác, khi (i) | V |= | W | = m, (ii)| W − V |, | V − W |≤ k, và (iii) | V − U |, | W − U |≤ f.Tốc độ hội tụHãy để k > 0, f ≥ 0 và m > 2f. Cho multisets nhận được, | V |= | W | = m. Hãy để multisets nhận khác nhau từ U ở tối đa là yếu tố f (| V − U |,| W − U |≤ f), và để cho multisets nhận khác nhau từ mỗi khác trong tối đayếu tố k (| W − V |, | V − W |≤ k). Sau đó|newk, f (V) − newk, f (W) |≤ khác (U) / c / (m − 2f, k). (14,1)Bằng chứng về mối quan hệ này được phác thảo tiếp theo. Có chính xác m − 2f mem-bers trong mỗi M = reducef (V) và N = reducef (W). Do đó, selectk(M) ={m0, m1... mc−1} và selectk(N) = {n0, n1... nc−1}, nơi selectk(M) và selectk(N) mỗi có c = c (m − 2f, k) thành viên. Quan sát rằng (i) ít ki + 1 thành viên của M là nhỏ hơn hoặc bằng bất kỳ mi (tương tự như vậy cho N). Ngoài ra,(ii) tối đa ki thành viên m là ít hơn mi (tương tự như vậy cho N). Sau đây có thể được hiển thị bằng cách sử dụng các tài sản trước đó và định nghĩa:tối đa (dặm, ni) ≤ min (mi + 1, ni + 1), trong đó 0 ≤ tôi ≤ c − 2. (14.2) điều này trực tiếp sau nếu mi ≤ ni + 1 và ni ≤ mi + 1 có thể được hiển thị. Giả sử ngược lại rằng mi > ni + 1. Từ (i), ít k(i + 1) + 1 yếu tố của N là nhỏ hơn hoặc bằng ni + 1, và do đó ít hơn mi. Nhưng từ (ii), tối đa ki yếu tố của M là ít hơn mi. do đó, ít k + 1 yếu tố trong N đang không ở trong M, tức là, | N − M|≥ k + 1.Quan sát mà | W − V |≤ k và | W ∩ V |≥ m − k. bất động sản bằng cách sử dụng 2, điều này ngụ ý rằng | N ∩ M|≥ m − k − 2f và do đó | N − M|≤ (m − 2f) − (m − k − 2f) ≤ k. Điều này mâu thuẫn với kết luận của giả định về mi > ni 1. vì vậy, m ≤ + tôini + 1. Đối xứng, ni ≤ mi + 1 có thể được hiển thị. Do đó, Eq. (14.2) nắm giữ:

Kết quả (Việt) 2:

• mỗi giá trị trong reducej (V) nằm trong phạm vi của U, tức là, phạm vi (reducej (V))
⊆ range
(U);. • newk, j (V) ∈ range (U)
tỷ lệ hội tụ của xấp xỉ
Let U được các MultiSet dự toán, một ước tính cho mỗi quá trình chính xác, vào lúc bắt đầu của một vòng. Hãy để V và W là multisets nhận tại hai proceses chính xác tùy ý trong vòng đó. Các quá trình sử dụng các chức năng xấp xỉ để lựa chọn các giá trị của họ cho các vòng tiếp theo. Các ước tính mới được lựa chọn bởi bất kỳ hai tùy ý
các quy trình chính xác, sử dụng chức năng xấp xỉ newk, f, được đảm bảo là trong phạm vi (U) / c (m, k) của mỗi khác, khi (i) | V | = | W | = m, (ii)
| W - V |, | V - W | ≤ k, và (iii) | V - U |, | W - U |. ≤ f
tỷ lệ tụ
Hãy k> 0, f ≥ 0, và m> 2f. Đối với các multisets nhận, | V | = | W | = M. Hãy để multisets nhận khác nhau từ U trong các yếu tố ở f nhất (| V - U |,
| W - U | ≤ f), và để cho các multisets nhận khác nhau ở hầu hết
các yếu tố k (| W - V |, | V - W | ≤ k). Sau đó
| newk, f (V) - newk, f (W) | ≤ diff (U) / c (m - 2f, k). (14.1)
Các bằng chứng về mối quan hệ này được trình bày tiếp theo. Có đúng m - Các thành viên trong 2f trong mỗi M = reducef (V) và N = reducef (W). Do đó, selectk (M) =
{M0, M1 ... mc-1} và selectk (N) = {n0, n1 ... nc-1}, nơi selectk (M) và selectk (N) từng có c = c (m - 2f, k) thành viên. Quan sát rằng (i) ít nhất là ki + 1 thành viên của M là nhỏ hơn hoặc bằng bất kỳ mi (tương tự như vậy cho N). Ngoài ra,
(ii) tại hầu hết các thành viên ki của M ít hơn mi (tương tự như vậy cho N). Sau đây có thể được hiển thị bằng cách sử dụng các thuộc tính trước đó và định nghĩa:
max (mi, ni) ≤ min (mi + 1, ni + 1), trong đó 0 ≤ i ≤ c - 2. (14.2) Điều này trực tiếp sau nếu mi ni ≤ + 1 và ni mi ≤ + 1 có thể được hiển thị. Giả sử ngược lại rằng mi> ni 1. Từ (i), ít nhất là k (i + 1) + 1 phần tử của N là ít hơn hoặc bằng ni + 1, và do đó ít hơn so với mi. Nhưng từ (ii), tại hầu hết các yếu tố ki của M là ít hơn so với mi. Do đó, ít nhất k + 1 phần tử trong N không phải là ở M, tức là, | N - M | ≥ k + 1. Quan sát | W - V | ≤ k và | W ∩ V | ≥ m - k. Sử dụng tài sản 2, điều này hàm ý rằng | N ∩ M | ≥ m - k - 2f và do đó | N - M | ≤ (m - 2f) - (m - k - 2f) ≤ k. Điều này mâu thuẫn với kết luận của các giả định về mi> ni 1. Do đó, m ≤ + i ni + 1. Tương tự, mi ni ≤ + 1 có thể được hiển thị. Do đó, phương trình. (14.2) nắm giữ: