Let A1 and B1 be the projections of

Let A1 and B1 be the projections of point P of the circumscribed circle of triangle ABC to lines BC and AC, respectively. Prove that the length of segment A1B1 is equal to the length of the projection of segment AB to line A1B1.

Points P and C on a circle are fixed; points A and B move along the circle so that angle ∠ACB remains fixed. Prove that Simson’s lines of point P with respect to triangle ABC are tangent to a fixed circle.

Point P moves along the circumscribed circle of triangle ABC. Prove that Simson’s line of point P with respect to triangle ABC rotates accordingly through the angle equal to a half the angle value of the arc circumvent by P .

Prove that Simson’s lines of two diametrically opposite points of the circumscribed circle of triangle ABC are perpendicular and their intersection point lies on the circle of 9 points, cf. Problem 5.106.
Points A, B, C, P and Q lie on a circle centered at O and the angles between vector
−→−→ −−→ −→ −→1
OP and vectors OA, OB, OC and OQ are equal to α, β, γ and 2 (α + β + γ), respectively.
Prove that Simson’s line of point P with respect to triangle ABC is parallel to OQ.

5.95. Chord P Q of the circumscribed circle of triangle ABC is perpendicular to side BC. Prove that Simson’s line of point P with respect to triangle ABC is parallel to line

AQ.

The heights of triangle ABC intersect at point H; let P be a point of its circum-scribed circle. Prove that Simson’s line of point P with respect to triangle ABC divides segment P H in halves.
Quadrilateral ABCD is inscribed in a circle; la is Simson’s line of point A with respect to triangle BCD; let lines lb, lc and ld be similarly defined. Prove that these lines intersect at one point.

a) Prove that the projection of point P of the circumscribed circle of quadrilateral ABCD onto Simson’s lines of this point with respect to triangles BCD, CDA, DAB and

BAC lie on one line. (Simson’s line of the inscribed quadrilateral.)

b) Prove that by induction we can similarly define Simson’s line of an inscribed n-gon

as the line that contains the projections of a point P on Simson’s lines of all (n − 1)-gons obtained by deleting one of the vertices of the n-gon.

See also Problems 5.10, 5.59.





§10. The pedal triangle

Let A1, B1 and C1 be the bases of the perpendiculars dropped from point P to lines BC, CA and AB, respectively. Triangle A1B1C1 is called the pedal triangle of point P with respect to triangle ABC.

5.99. Let A1B1C1 be the pedal triangle of point P with respect to triangle ABC. Prove
that B1C1 = BC•AP , where R is the radius of the circumscribed circle of triangle ABC.
2R

5.100. Lines AP, BP and CP intersect the circumscribed circle of triangle ABC at points A2, B2 and C2; let A1B1C1 be the pedal triangle of point P with respect to triangle
ABC. Prove that △A1B1C1 ∼ △A2B2C2.

5.101. Inside an acute triangle ABC a point P is given. If we drop from it perpendiculars P A1, P B1 and P C1 to the sides, we get △A1B1C1. Performing for △A1B1C1 the same operation we get △A2B2C2 and then we similarly get △A3B3C3. Prove that △A3B3C3 ∼

△ABC.

Kết quả (Việt) 1:

Hãy để A1 và B1 là dự điểm P của đường tròn của tam giác ABC để lines BC và AC, tương ứng. Chứng minh rằng độ dài của đoạn A1B1 là tương đương với chiều dài hình chiếu của đoạn AB dòng A1B1. Điểm P và C vào một vòng tròn cố định; điểm A và B di chuyển dọc theo vòng tròn để góc ∠ACB vẫn cố định. Chứng minh rằng dòng Simson của điểm P đối với tam giác ABC đang ốp vào một vòng tròn cố định. Điểm P di chuyển dọc theo đường tròn của tam giác ABC. Chứng minh rằng Simson dòng điểm P đối với tam giác ABC quay phù hợp thông qua các góc bằng một nửa giá trị góc của arc phá vỡ bởi P. Chứng minh rằng Simson của dòng của hai xuyên tâm đối diện với điểm của đường tròn của tam giác ABC vuông góc và nằm điểm giao lộ của họ vào vòng tròn 9 điểm, x. vấn đề 5.106. Điểm A, B, C, P và Q nằm trên một hình tròn tâm O và góc giữa vector−→−→ −−→ −→ −→1OP và vector OA, OB, OC và OQ là tương đương với α, β, γ và 2 (α + β + γ), tương ứng.Chứng minh rằng của Simson của điểm P đối với tam giác ABC là song song với OQ.5,95. Q P dây cung của đường tròn của tam giác ABC là vuông góc với cạnh BC. Chứng minh rằng của Simson của điểm P đối với tam giác ABC là song song với đường dâyAQ. Đỉnh cao của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H; cho P là một điểm của vòng tròn mục scribed của nó. Chứng minh rằng dòng Simson của điểm P đối với tam giác ABC chia đoạn P H ở nửa. Tứ giác ABCD là ghi trong một vòng tròn; La là dòng Simson của điểm A đối với tam giác BCD; Hãy để dòng lb, lc và ld được xác định tương tự như vậy. Chứng minh rằng các đường giao nhau tại một thời điểm. a) chứng minh rằng chiếu điểm P của vòng tròn đường của tứ giác ABCD lên Simson của dòng này điểm đối với tam giác BCD, CDA, THOA vàBAC nằm trên cùng một dòng. (Dòng Simson của tứ giác ghi.)b) chứng minh bằng quy nạp chúng ta tương tự như vậy có thể định nghĩa Simson của dòng ghi một n-gonnhư dòng có chứa các hình chiếu của một điểm P trên Simson của dòng của tất cả (n − 1)-gons thu được bằng cách xóa một trong các đỉnh của n-gon.Xem thêm vấn đề 5.10, 5.59.§10. Tam giác bàn đạpCứ để A1, B1, C1 là căn cứ perpendiculars giảm xuống từ điểm P đến dòng trước công nguyên, CA và AB, tương ứng. A1B1C1 tam giác được gọi là tam giác bàn đạp của điểm P đối với tam giác ABC.5,99. Hãy để A1B1C1 là tam giác bàn đạp của điểm P đối với tam giác ABC. Chứng minhđó B1C1 = BC•AP, nơi R là bán kính của đường tròn của tam giác ABC.2R5.100. dòng AP, BP và CP cắt đường tròn của tam giác ABC tại điểm A2, B2 và C2; Hãy để A1B1C1 là tam giác bàn đạp của điểm P đối với tam giácABC. Chứng minh rằng △A1B1C1 ∼ △A2B2C2.5.101. bên trong một cấp tam giác ABC P điểm được đưa ra. Nếu chúng ta thả từ nó perpendiculars P A1, P B1 và P C1 ở bên cạnh, chúng tôi nhận được △A1B1C1. Thực hiện cho △A1B1C1 cùng thao tác chúng tôi nhận được △A2B2C2 và sau đó chúng tôi tương tự △A3B3C3. Chứng minh rằng ∼ △A3B3C3△ABC.

Kết quả (Việt) 2:

Hãy A1 và B1 được dự của điểm P của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC với đường dây BC và AC, tương ứng. Chứng minh rằng độ dài của phân khúc A1B1 là bằng với chiều dài của sự phóng chiếu của đoạn thẳng AB cho dòng A1B1.

Điểm P và C trên một đường tròn cố định; điểm A và B di chuyển dọc theo vòng tròn để góc ∠ACB vẫn cố định. Chứng minh rằng đường dây của điểm P đối với tam giác ABC với Simson của là tiếp tuyến của một đường tròn cố định.

Điểm P di chuyển dọc theo đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng dòng Simson của điểm P đối với tam giác ABC với xoay theo thông qua các góc bằng một nửa giá trị góc của hồ quang phá vỡ bởi P.

Chứng minh rằng đường dây của hai điểm có đối tượng đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC Simson của vuông góc và giao điểm của họ nằm trên đường tròn 9 điểm, xem . Vấn đề 5,106
điểm A, B, C, P và Q nằm trên một đường tròn tâm tại O và góc giữa vector
- → - → - → - → - → 1
OP và vectơ OA, OB, OC và OQ là bằng α, β, γ và 2 (α + β + γ), tương ứng.
Chứng minh rằng dòng Simson của điểm P đối với tam giác ABC với song song với OQ.

5.95. Chord PQ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với bên BC. Chứng minh rằng dòng Simson của điểm P đối với tam giác ABC với song song với đường

. AQ

Chiều cao của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H; cho P là một điểm của vòng tròn circum-tả của nó. Chứng minh rằng dòng Simson của điểm P đối với tam giác ABC với phân chia phân khúc PH trong nửa.
Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn; la là dòng Simson của điểm A đối với tam giác BCD với; để cho dòng lb, lc và ld được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng các đường giao nhau tại một điểm.

A) Chứng minh rằng chiếu của điểm P của đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD trên dòng thời điểm này Simson của đối với các tam giác BCD, CDA, DAB và với

BAC nằm trên một dòng. (Dòng Simson của tứ giác ghi.)

B) Chứng minh rằng bằng cảm ứng, chúng tôi tương tự có thể xác định dòng của một ghi n-gon Simson của

như các dòng có chứa những dự của một điểm P trên đường Simson của tất cả (n - 1) -gons thu được bằng cách xóa một trong các đỉnh của n-gon.

Xem thêm vấn đề 5.10, 5.59.





§10. Bàn đạp tam giác

Hãy A1, B1 và C1 là căn cứ của các đường vuông góc giảm từ điểm P đến dòng BC, CA, AB tương ứng. Tam giác A1B1C1 được gọi là bàn đạp tam giác của điểm P đối với tam giác ABC. Với

5,99. Hãy A1B1C1 là bàn đạp tam giác của điểm P đối với tam giác ABC với. Chứng minh
rằng B1C1 = BC • AP, trong đó R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
2R

5.100. Dòng AP, BP và CP giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm A2, B2, C2; hãy A1B1C1 là bàn đạp tam giác của điểm P đối với tam giác với
ABC. Chứng minh rằng △ A1B1C1 ~ △ A2B2C2.

5,101. Bên trong một tam giác ABC cấp một điểm P được đưa ra. Nếu chúng ta bỏ từ nó vuông góc P A1, B1 P và P C1 sang hai bên, chúng tôi nhận △ A1B1C1. Thực hiện cho △ A1B1C1 các hoạt động tương tự, chúng tôi có được △ A2B2C2 và sau đó chúng ta có được tương tự △ A3B3C3. Chứng minh rằng △ A3B3C3 ~

△ ABC.