§13. Lemoine’s pointLet AM be a med

§13. Lemoine’s point

Let AM be a median of triangle ABC and line AS be symmetric to line AM through the bisector of angle A (point S lies on segment BC). Then segment AS is called a simedian of triangle ABC; sometimes the whole ray AS is referred to as a simedian.

Simedians of a triangle meet at the point isogonally conjugate to the intersection point of medians (cf. Problem 5.79). The intersection point of simedians of a triangle is called

Lemoine’s point.
5.123. Let lines AM and AN be symmetric through the bisector of angle ∠A of triangle
ABC (points M and N lie on line BC). Prove that BM •BN = c2 . In particular, if AS is a
CM •CN b2
simedian, then BSCS = cb22 .
5.124. Express the length of simedian AS in terms of the lengths of sides of triangle

ABC.

Segment B1C1, where points B1 and C1 lie on rays AC and AB, respectively, is said to be antiparallel to side BC if ∠AB1C1 = ∠ABC and ∠AC1B1 = ∠ACB.

5.125. Prove that simedian AS divides any segment B1C1 antiparallel to side BC in halves.

5.126. The tangent at point B to the circumscribed circle S of triangle ABC intersects line AC at point K. From point K another tangent KD to circle S is drawn. Prove that BD is a simedian of triangle ABC.

5.127. Tangents to the circumscribed circle of triangle ABC at points B and C meet at point P . Prove that line AP contains simedian AS.

5.128. Circle S1 passes through points A and B and is tangent to line AC, circle S2 passes through points A and C and is tangent to line AB. Prove that the common chord of these circles is a simedian of triangle ABC.

5.129. Bisectors of the outer and inner angles at vertex A of triangle ABC intersect line BC at points D and E, respectively. The circle with diameter DE intersects the circumscribed circle of triangle ABC at points A and X. Prove that AX is a simedian of triangle ABC.


* * *

5.130. Prove that Lemoine’s point of right triangle ABC with right angle ∠C is the midpoint of height CH.

5.131. Through a point X inside triangle ABC three segments antiparallel to its sides are drawn, cf. Problem 5.125?. Prove that these segments are equal if and only if X is Lemoine’s point.
5.132. Let A1, B1 and C1 be the projections of Lemoine’s point K to the sides of triangle ABC. Prove that K is the intersection point of medians of triangle A1B1C1.

5.133. Let A1, B1 and C1 be the projections of Lemoine’s point K of triangle ABC on sides BC, CA and AB, respectively. Prove that median AM of triangle ABC is perpendic-ular to line B1C1.

5.134. Lines AK, BK and CK, where K is Lemoine’s point of triangle ABC, intersect the circumscribed circle at points A1, B1 and C1, respectively. Prove that K is Lemoine’s point of triangle A1B1C1.

5.135. Prove that lines that connect the midpoints of the sides of a triangle with the midpoints of the corresponding heights intersect at Lemoine’s point.

See also Problems 11.22, 19.54, 19.55.

Kết quả (Việt) 1:

§13. Điểm của LemoineHãy để PM là một trung bình của tam giác ABC và dòng NHƯ được đối xứng để dòng PM qua bisector góc A (điểm S nằm trên đoạn BC). Sau đó phân đoạn được gọi LÀ một simedian của tam giác ABC; đôi khi cả tia NHƯ được gọi là một simedian.Simedians của một tam giác gặp nhau tại điểm isogonally liên hợp điểm giao lộ của các số trung vị (x. vấn đề 5,79). Giao điểm của simedians của một tam giác được gọi làLemoine's point.5.123. Hãy để lines AM và AN là đối xứng qua bisector ∠A góc của tam giácABC (điểm M và N nằm trên đường dây BC). Chứng minh rằng •BN BM = c2. Đặc biệt, nếu NHƯ là mộtCM •CN b2simedian, sau đó BSCS = cb22.5.124. nhận chiều dài của simedian như trong điều khoản của độ dài cạnh của hình tam giácABC.Đoạn B1C1, nơi điểm B1 và C1 nằm trên tia AC và AB, tương ứng, được cho là được trao bên BC nếu ∠AB1C1 = ∠ABC và ∠AC1B1 = ∠ACB.5,125. chứng minh rằng simedian NHƯ phân chia bất kỳ phân đoạn B1C1 antiparallel bên BC ở nửa.5.126. tiếp tuyến tại điểm B để circumscribed circle S của tam giác ABC cắt dòng AC tại điểm K. Từ điểm K một ốp KD vào vòng tròn S được rút ra. Chứng minh rằng BD là một simedian của tam giác ABC.5.127. tiếp tuyến với đường tròn của tam giác ABC tại các điểm B và C gặp nhau tại điểm P. Chứng minh rằng dòng AP chứa simedian AS.5.128. S1 vòng tròn đi qua điểm A và B và là tiếp tuyến đến đường dây AC, vòng tròn S2 đi qua điểm A và C và là ốp đường AB. chứng minh rằng với các vòng tròn, thường là một simedian của tam giác ABC.5.129. bisectors các góc bên ngoài và bên trong lúc đỉnh một của tam giác ABC cắt dây BC tại điểm D và E, tương ứng. Vòng tròn với đường kính DE giao cắt đường tròn của tam giác ABC tại điểm A và X. chứng minh rằng AX là một simedian của tam giác ABC.* * *5.130. chứng minh rằng Lemoine của điểm của tam giác ABC với góc bên phải ∠C là trung điểm của chiều cao CH.5.131. thông qua điểm X bên trong tam giác ABC ba phân đoạn antiparallel cho hai mặt của nó được rút ra, x. vấn đề 5,125?. Chứng minh rằng các phân đoạn bằng nhau khi và chỉ khi X là Lemoine's point.5.132. cho A1, B1 và C1 là dự đoán của Lemoine điểm K ở bên cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng K là giao điểm của số trung vị của tam giác A1B1C1.5.133. cho A1, B1 và C1 là dự đoán của Lemoine điểm K của tam giác ABC trên các cạnh BC, CA và AB, tương ứng. Chứng minh rằng trung bình AM của tam giác ABC perpendic-ular dòng B1C1.5.134. dây chuyền AK, BK và CK, K là của Lemoine điểm của tam giác ABC, cắt đường tròn tại điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng K của Lemoine điểm của tam giác A1B1C1.5.135. chứng minh rằng đường kết nối midpoints các cạnh của một tam giác với midpoints độ cao tương ứng cắt nhau tại Lemoine của điểm.Xem thêm những vấn đề 11.22, 19.54, 19.55.

Kết quả (Việt) 2:

§13. Lemoine của điểm

Hãy AM là trung tuyến của tam giác ABC và đường AS đối xứng để lót Sáng qua phân giác góc A (điểm S nằm trên đoạn BC). Sau đó, phân khúc AS được gọi là một simedian của tam giác ABC; đôi khi toàn bộ ray AS được gọi là một simedian.

Simedians của một tam giác gặp nhau tại các điểm liên hợp isogonally để giao điểm của trung vị (cf. Problem 5.79). Các điểm giao nhau của simedians của một tam giác được gọi là

điểm Lemoine của.
5,123. Hãy để dòng AM và AN đối xứng qua phân giác góc ∠A của tam giác
ABC (điểm M và N nằm trên đường BC). Chứng minh rằng BM • BN = c2. Đặc biệt, nếu AS là một
CM • CN b2
simedian, sau đó BSC = cb22.
5,124. Thể hiện chiều dài của simedian AS về chiều dài các cạnh của tam giác

ABC.

Segment B1C1, nơi các điểm B1 và C1 nằm trên tia AC, AB tương ứng, được cho là phản song song sang bên kia BC nếu ∠AB1C1 = ∠ABC và ∠ AC1B1 = ∠ACB.

5,125. Chứng minh rằng simedian AS chia bất kỳ B1C1 phân khúc phản song song sang bên kia BC trong nửa.

5,126. Các tiếp tuyến tại điểm B với đường tròn S gao của tam giác ABC cắt đường AC tại điểm K. Từ điểm K khác tiếp tuyến KD để vòng tròn S được rút ra. Chứng minh rằng BD là một simedian của tam giác ABC.

5,127. Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm B và C gặp nhau tại điểm P. Chứng minh rằng dòng AP chứa simedian AS.

5.128. Vòng tròn S1 đi qua điểm A và B và cắt tiếp xúc với dòng AC, hình tròn S2 đi qua điểm A và C và cắt tiếp xúc với đường AB. Chứng minh rằng các hợp âm phổ biến của những vòng tròn này là một simedian của tam giác ABC.

5,129. Đường trung của các góc bên ngoài và bên trong tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường BC tại điểm D và E, tương ứng. Các vòng tròn với đường kính DE cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm A và X. Chứng minh rằng ax là một simedian của tam giác ABC.


* * *

5.130. Chứng minh rằng điểm Lemoine của tam giác ABC với góc ∠C là trung điểm của chiều cao CH.

5,131. Thông qua một điểm X bên trong tam giác ABC ba phân đoạn phản song song với các cạnh của nó được rút ra, xem Vấn đề 5,125 ?. Chứng minh rằng các đoạn bằng nhau khi và chỉ khi X là điểm Lemoine của.
5,132. Hãy A1, B1 và C1 là dự đoán về điểm K Lemoine của các cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng K là giao điểm của trung vị của tam giác A1B1C1.

5,133. Hãy A1, B1 và C1 là dự đoán về điểm Lemoine của K của tam giác ABC trên cạnh BC, CA, AB tương ứng. Chứng minh rằng trung bình AM của tam giác ABC là perpendic-ular để dòng B1C1.

5,134. Dòng AK, BK và CK, trong đó K là điểm của tam giác ABC Lemoine của, giao với đường tròn ngoại tiếp tại các điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng K là điểm của tam giác A1B1C1. Lemoine của

5,135. Chứng minh rằng các đường kết nối các trung điểm của các cạnh của một tam giác với trung điểm của chiều cao tương ứng với cắt tại các điểm Lemoine của.

Xem thêm vấn đề 11,22, 19,54, 19,55.