13fTg(t) h(t) dt 00for all h E S th

13
fTg(t) h(t) dt 0
0
for all h E S then g(t) 0 for aU t E [O,T] •
Proof See Footnote 4.
(S)
This Lemma plays a fundamental part in the proof of the Euler's
equation in the following theorem.
Theorem 2.1
Let J(x) - fTf(x,x,t) dt (~here x = dx/dt) be defined on
0
C' [O,T] and satisfy the boundarry conditions x(O) = x 0 , x(T) = xT.
Then a necessary condition for J(x) to have an extrerrrwn is that
x(t) satisfy the folto~ing Euler's equation
d
fx - dt f;; = 0 • (6)
Proof. A necessary condition for J(=) to be an extremum is &J(x) = 0,
i.e.
6J = ([tx

Kết quả (Việt) 1:

13fTg(t) h(t) dt 00cho tất cả h E S sau đó g(t) 0 cho aU t E [O, T] •Chứng minh xem cước chú 4.(S)Bổ đề này đóng một phần cơ bản trong bằng chứng của Eulerphương trình trong định lý sau đây.Định lý 2.1Cho J(x) - fTf(x,x,t) dt (~ ở đây x = dx/dt) được định nghĩa trên0C' [O, T] và đáp ứng điều kiện boundarry x(O) = x 0, x(T) = xT.Sau đó là một điều kiện cần thiết cho J(x) có một extrerrrwnx(t) đáp ứng folto ~ ing Euler phương trìnhdFX - dt f; = 0 • (6)Bằng chứng. Một điều kiện cần thiết cho J(=) để là một extremum là & J(x) = 0,tức là6J = ([tx0(7)nơi f = af(x,x,t)/ax, f. = af(x,±,t)/a± và h(t) là một liên tụcXXvà bất kỳ chức năng gọi là chức năng di chuyển như vậy màh(O) = 0 = h(T). Hội nhập của phần choIT fT d h f; -(dt f) h dt0 0(8)fT d0 - (dt f;)LZ dt0kể từ khi h(O) = 0 = h(T). Lưu ý rằng đối số của các chức năng được bỏ qua(để làm giảm bớt tả). Cung cấp cho các thay thế vào (7)

Kết quả (Việt) 2:

13
FTG (t) h (t) dt 0
0
cho tất cả các h ES sau đó g (t) 0 cho aU t E [O, T] •
Proof Xem Footnote 4.
(S)
Bổ đề này đóng một vai trò cơ bản trong chứng minh của của Euler
phương trình của định lý sau đây.
Định lý 2.1
Hãy J (x) - FTF (x, x, t) dt (~ ở đây x = dx / dt) được xác định trên
0
C '[O, T] và đáp ứng các điều kiện boundarry x (O) = x 0, x (T) = XT.
Sau đó, một điều kiện cần thiết cho J (x) có một extrerrrwn là
x (t) thỏa mãn folto ~ ing phương trình Euler của
d
fx - dt e ;; = 0 • (6)
Proof. Một điều kiện cần thiết cho J (=) là một cực trị là & J (x) = 0,
tức là
6J = ([tx0
(7)
trong đó f = af (x, x, t) / rìu, f. = Af (x, ±, t) / a ± và h (t) là một liên tục
XX
và chức năng tùy ý gọi là chức năng dịch chuyển như vậy mà
h (O) = 0 = h (T). Tích hợp bởi các bộ phận cho
fT DHF IT ;; - (Dt f) h dt
0 0
(8)
ft d
0 - (dt e ;;) LZ dt
0
kể từ h (O) = 0 = h (T). Lưu ý rằng đối số của hàm được bỏ qua
(để giảm bớt ký hiệu). Thay vào (7) cho