Elimination can simplify, one entry

Elimination can simplify, one entry at a time, the linear system Ax = b. Fortunately it
also simplifies the theory. The basic questions of existence and uniqueness—Is there
one solution, or no solution, or an infinity of solutions?—are much easier to answer
after elimination, We need to devote one more section to those questions, to find every
solution for an m by n system. Then that circle of ideas will be complete.
But elimination produces only one kind of understanding of Ax = b. Our chief object
is to achieve a different and deeper understanding. This chapter may be more difficult
than the first one. It goes to the heart of linear algebra.
For the concept of a vector space, we start immediately with the most important
spaces. They are denoted by R
1
,R
2
,R
3
,...; the space R
n
consists of all column vectors
with n components. (We write R because the components are real numbers.) R
2
is
represented by the usual x-y plane; the two components of the vector become the x and
y coordinates of the corresponding point. The three components of a vector in R
3
give a
point in three-dimensional space. The one-dimensional space R
1
is a line.
The valuable thing for linear algebra is that the extension to n dimensions is so
straightforward. For a vector in R
7 we just need the seven components, even if the
geometry is hard to visualize. Within all vector spaces, two operations are possible:

Kết quả (Việt) 1:

Loại bỏ có thể đơn giản hóa, một bài viết tại một thời điểm, Hệ thống tuyến tính Ax = sinh may mắn thay nócũng đơn giản hoá lý thuyết. Các câu hỏi cơ bản của sự tồn tại và độc đáo-cómột giải pháp, hoặc không có giải pháp, hoặc một vô cùng của giải pháp? — dễ dàng hơn để trả lờisau khi loại bỏ, chúng tôi cần phải dành một phần thêm cho những câu hỏi, để tìm thấy tất cảgiải pháp cho một m bởi n hệ thống. Sau đó là vòng tròn của những ý tưởng sẽ được hoàn thành.Nhưng sản xuất loại bỏ chỉ có một loại của sự hiểu biết của Ax = b. Đối tượng chính của chúng tôilà để đạt được một sự hiểu biết khác nhau và sâu hơn. Chương này có thể khó khăn hơnhơn người đầu tiên. Nó đi vào Trung tâm của đại số tuyến tính.Đối với các khái niệm về một không gian vector, chúng tôi bắt đầu ngay lập tức với quan trọng nhấttại toàn. Họ được biểu hiện bằng R1, R2, R3,...; không gian Rnbao gồm tất cả cột vectơvới n thành phần. (Chúng tôi viết R bởi vì các thành phần là số thực) R2làđại diện bởi mặt phẳng x-y bình thường; hai thành phần của vector trở thành x vày các tọa độ của độ tương ứng. Ba thành phần của vector trong R3cung cấp cho mộtđiểm trong không gian ba chiều. Không gian hết R1là một dòng.Điều có giá trị cho đại số tuyến tính là phần mở rộng để kích thước n là như vậyđơn giản. Cho một vector trong R7 chúng ta chỉ cần các thành phần bảy, ngay cả khi cáchình học rất khó để hình dung. Trong tất cả không gian vector, hai hoạt động có thể:

Kết quả (Việt) 2:

Loại bỏ có thể đơn giản hóa, một trong những mục tại một thời điểm, hệ thống tuyến tính Ax = b. May mắn thay nó
cũng đơn giản hóa các lý thuyết. Các câu hỏi cơ bản của sự tồn tại và tính độc đáo-Có
một giải pháp, hoặc không có giải pháp, hoặc một vô hạn của giải pháp? -là Dễ dàng hơn nhiều để trả lời
sau khi loại bỏ, chúng ta cần phải dành một phần nhiều hơn cho những câu hỏi, để tìm mọi
giải pháp cho một m bởi hệ thống n. Sau đó, mà vòng tròn của những ý tưởng sẽ được hoàn thành.
Nhưng loại bỏ chỉ sản xuất một loại hiểu biết của Ax = b. Đối tượng chính của chúng tôi
là để đạt được một sự hiểu biết khác nhau và sâu hơn. Chương này có thể có nhiều khó khăn
hơn lần thứ nhất. Nó đi vào trái tim của đại số tuyến tính.
Đối với các khái niệm về một không gian vector, chúng ta bắt đầu ngay lập tức với các quan trọng nhất
không gian. Họ được biểu thị bằng R
1, R 2, R 3, ...; không gian R n bao gồm tất cả các vector cột với các thành phần n. (Chúng tôi viết R vì các thành phần là các số thực.) R 2 được đại diện bởi các mặt phẳng xy bình thường; hai thành phần của vector trở thành x và y tọa độ của các điểm tương ứng. Ba thành phần của một vector trong R 3 cung cấp cho một điểm trong không gian ba chiều. Các không gian một chiều R 1 là một đường. Điều quý giá cho đại số tuyến tính là các phần mở rộng cho n kích thước là rất đơn giản. Đối với một vector trong R 7, chúng tôi chỉ cần có bảy thành phần, thậm chí nếu các hình học rất khó để hình dung. Trong tất cả các không gian vector, hai hoạt động có thể là: