1 Uniform magnetic ¤eldThe basic mo

1 Uniform magnetic ¤eld
The basic motion of a charged particle in a magnetic ¤eld is a helix. Let the
magnetic ¤eld B~ be uniform. Then the equation of motion for a particle of
charge q and mass m is:
F~ = q~v £ B~ = m~a
Thus the acceleration is always perpendicular to the velocity ~v: Compare
with the relation for uniform circular motion:
~a = ~! £ ~v = ¡
q
m
B~ £ ~v
Thus the angular velocity of the particle is
~! = ¡
q
m
B~ (1)
The angular speed is !C = qB=m; the cyclotron frequency, and the direction
is along the magnetic ¤eld. The direction of the particlezs rotation depends
on the sign of the particlezs charge. An electron, with q = ¡e; has ~! parallel
to B~ : Ions, with positive charge, rotate in the opposite sense.
The radius of the helix is given by
v? = !r
where v? is the component of the particlezs velocity perpendicular to the
magnetic ¤eld, and thus
rL =
mv?
jqj B
(2)
This radius is called the Larmor radius. A proton moving at the same speed
as an electron will have a Larmor radius 2000 times bigger than the electronzs
1
Larmor radius. Thus the electrons are more closely tied to the magnetic ¤eld
lines.
The magnetic ¤eld near the surface of a neutron star is about 10
12 Gauss,
or 10
8 T. This corresponds to
!C =
1:6 £ 10
¡19 C
9 £ 10¡31 kg
10
8 T = 1: 8 £ 10
19 C
kg
T
Now do the units check out? Since we know that force is qvB; then
C ¢ T =
N
m/s
and thus
C ¢ T
kg
=
kg ¢ m/s
2
kg ¢ m/s
=
1
s
and so the units check out.
This gyrational motion is the basic motion of charged particles in a
plasma. The center of the circle is called the guiding center. With a uniform
magnetic ¤eld, and no electric ¤eld, the guiding center moves at constant
speed along the ¤eld line.
The circulating charge forms a current loop, and hence has a magnetic
¤eld of its own. This ¤eld produced by the particlezs motion is opposite the
original, uniform ¤eld. Thus the plasma is a diamagnetic material.
2 Uniform magnetic ¤eld plus uniform electric
¤eld
Without a magnetic ¤eld, an electric ¤eld causes a charged particle to accelerate
along the direction of E~ : But with a magnetic ¤eld, the particle
behaves more like a spinning top, and moves perpendicular to the applied
electric ¤eld. We can understand why by noting that (for positive q) the
particle speeds up as it moves parallel to E~ ; thus increasing the Larmor radius
(2). As the particle moves opposite E~ ; v and rL decrease. Thus the
circles donzt close, and the particle drifts as shown in the diagram. Here we
show that path of an electron with B~ out of the page and E~ upward.
2
Now letzs do the math. Letzs split E~ into components along and perpendicular
to B~ : Then the equation of motion is:
m
d~v
dt
= q
³
E~? + Ek
^b + ~v £ B~
´
Dotting with b^; we ¤nd
m
dvk
dt
= qEk
the same relation as in the absence of B~ : The perpendicular component is:
d~v?
dt
=
q
m
³
E~? + ~v? £ B~
´
(3)
The solution we expect is a combination of a gyration plus a constant drift.
Thus, in the frame moving with the guiding center, we will see only the
gyration, and the equation of motion should look like:
d (~v? ¡ ~vE)
dt
=
q
m
(~v? ¡ ~vE) £ B~ (4)
Comparing equations (3) and (4), we have:
E~
? = ¡~vE £ B~
Cross both sides with B~ to get:
E~ £ B~ = ¡
³
~vE £ B~
´
£ B~ = ¡B~
³
~vE ¢ B~
´
+ ~vEB
2
3
We can drop the perpendicular sign on E~ because the cross product selects
only the perpendicular component. And since the drift velocity is perpendicular
to B~ ; we have
~vE =
E~ £ B~
B2
(5)
The result is independent of both the charge and mass of the particle:
all particles have the same E-cross-B drift velocity. Changing the sign of the
charge changes the direction of gyration, but the particle also accelerates in
the opposite direction, so the direction of the drift is the same. A particle
with smaller mass has a smaller Larmor radius, but gyrates faster. The two
e¤ects combine to create the same drift velocity. Since all particles drift
at the same rate, this drift does not cause any current in the plasma, but
instead causes the whole plasma to drift together.
3 Drifts due to other constant, external forces
Any constant external force perpendicular to B~ produces a constant drift in
a similar way. In general, the equation of motion is
m
d~v
dt
= F~ + q~v £ B~
and again we look for a solution in which the particle motion perpendicular
to B~ is gyration plus drift:
d(~v? ¡ ~vD)
dt
=
q
m
(~v? ¡ ~vD) £ B~
Thus
F~?
m
= ¡
q
m
~vD £ B~
and crossing with B~ gives
1
qB2
F~? £ B~ = ~vD (6)
The motion parallel to the ¤eld is uniformly accelerated motion with

Kết quả (Việt) 1:

1 ¤eld thống nhất từChuyển động cơ bản của một hạt điện trong một ¤eld từ là một xoắn. Hãy để cáctừ ¤eld B ~ được thống nhất. Sau đó phương trình của chuyển động cho một hạt củaphí q và khối lượng m là:F ~ = q ~ v £ B ~ = m ~ mộtVì vậy, sự tăng tốc luôn luôn là vuông góc với vận tốc ~ v: so sánhvới mối quan hệ cho chuyển động tròn đều:~a = ~! £ ~v = ¡qmB ~ £ ~ vDo đó vận tốc góc của hạt là~! = ¡qmB ~ (1)Tốc độ góc là! C = qB = m; tần số cyclotron, và hướngnằm dọc theo ¤eld từ. Sự chỉ đạo của particlezs quay phụ thuộctrên các dấu hiệu của particlezs phí. Một điện tử, với q = ¡e; có ~! song songb ~: các ion, với tích cực phí, xoay theo nghĩa đối diện.Bán kính của xoắn được cho bởiv? =! rnơi v? là thành phần của các particlezs vận tốc vuông góc với cáctừ ¤eld, và do đórL =MV?jqj B(2)Bán kính này được gọi là bán kính Larmor. Một proton di chuyển với tốc độ tương tựnhư một electron sẽ có một bán kính Larmor 2000 lần lớn hơn so với các electronzs1Larmor bán kính. Do đó các electron được chặt chẽ hơn liên kết với ¤eld từdòng.¤Eld từ gần bề mặt của một sao neutron là khoảng 1012 Gauss,hoặc 108 T. Điều này tương ứng với! C =1:6 £ 10¡19 C9 £ 10¡31 kg108 T = 1: 8 £ 1019 CkgTBây giờ để các đơn vị kiểm tra? Kể từ khi chúng ta biết rằng lực lượng là qvB; sau đóC ¢ T =Nm/svà do đóC ¢ Tkg=kg ¢ m/s2kg ¢ m/s=1svà do đó, các đơn vị kiểm tra.Chuyển động gyrational này là chuyển động cơ bản của điện hạt trong mộthuyết tương. Trung tâm của vòng tròn được gọi là trung tâm hướng dẫn. Với một đồng phụctừ ¤eld, và không có ¤eld điện, di chuyển trung tâm hướng dẫn tại liên tụctốc độ dọc theo đường ¤eld.Phí lưu hành tạo thành một vòng lặp hiện tại, và do đó có một từ¤ELD riêng của mình. ¤Eld này được sản xuất bởi chuyển động particlezs là đối diện cácBan đầu, thống nhất ¤eld. Do đó plasma là một vật liệu diamagnetic.2 đồng phục quân đội từ ¤eld cộng với đồng phục điện¤ELDMà không có một ¤eld từ một ¤eld điện gây ra một hạt điện để tăng tốctheo hướng của E ~: nhưng với một ¤eld từ, các hạthoạt động nhiều hơn như một đầu quay, và di chuyển vuông góc với các ứng dụngđiện ¤eld. Chúng tôi có thể hiểu lý do tại sao bởi lưu ý rằng (cho tích cực q) cáchạt tốc độ lên khi nó di chuyển song song với E ~; do đó tăng bán kính Larmor(2). là các hạt di chuyển đối diện E ~; v và rL giảm. Do đó cácvòng tròn donzt đóng, và các hạt dùi đột như minh hoạ trong sơ đồ. Ở đây chúng tôiHiển thị đường dẫn đó của một điện tử với B ~ ra khỏi các trang và E ~ trở lên.2Bây giờ letzs làm toán. Letzs tách E ~ vào thành phần dọc theo và vuông gócb ~: sau đó phương trình của chuyển động là:md ~ vDT= q³E ~? + Ek^ b + ~ v £ B ~´Nằm rải rác với b ^; chúng tôi ¤ndmDVKDT= qEkmối quan hệ tương tự như trong sự vắng mặt của B ~: Các thành phần vuông góc là:d ~ v?DT=qm³E ~? + ~v? £ B ~´(3)Các giải pháp mà chúng tôi hy vọng là một sự kết hợp của một gyration cộng với một trôi dạt liên tục.Vì vậy, trong khung di chuyển với Trung tâm hướng dẫn, chúng ta sẽ thấy chỉ cácGyration, và phương trình của chuyển động nên hình như:d (~ v? 』 ~ vE)DT=qm(~ v? 』 ~ vE) £ B ~ (4)So sánh phương trình (3) và (4), chúng tôi có:E ~? = 』 ~ vE £ B ~Vượt qua cả hai bên với B ~ để có được:E~ £ B~ = ¡³~ vE £ B ~´£ B~ = ¡B~³~ vE ¢ B ~´+ ~ Cơ23Chúng tôi có thể thả các dấu hiệu vuông góc trên E ~ vì sản phẩm cross chọnchỉ là các thành phần vuông góc. Và kể từ khi tốc độ trôi dạt là vuông gócb ~; Chúng tôi có~ vE =E ~ £ B ~B2(5)Kết quả là độc lập của phí và khối lượng của các hạt:Tất cả hạt có vận tốc cùng trôi dạt E-cross-B. Thay đổi các dấu hiệu của cácphí thay đổi hướng của gyration, nhưng các hạt cũng tăng tốc tronghướng đối diện, do đó, sự chỉ đạo của dạt nhà là như nhau. Một hạtvới nhỏ hơn khối lượng có bán kính Larmor nhỏ hơn, nhưng gyrates nhanh hơn. Haie¤ECTS kết hợp để tạo ra tốc độ trôi dạt cùng. Kể từ khi tất cả hạt trôi dạtở mức tương tự, trôi dạt này không gây ra bất kỳ hiện tại trong plasma, nhưngthay vào đó gây ra toàn bộ huyết tương trôi dạt với nhau.3 dùi đột do các lực lượng liên tục, bên ngoàiBên ngoài liên tục bất kỳ lực lượng vuông góc với B ~ sản xuất một trôi dạt liên tục trongmột cách tương tự. Nói chung, phương trình của chuyển động làmd ~ vDT= F ~ + q ~ v £ B ~và một lần nữa chúng tôi tìm kiếm một giải pháp mà trong đó các hạt chuyển động vuông gócb ~ gyration plus trôi là:d (~ v? 』 ~ vD)DT=qm(~ v? 』 ~ vD) £ B ~Do đóF ~?m= ¡qm~ vD £ B ~và vượt với B ~ cho1qB2F ~? £ B ~ = ~ vD (6)Chuyển động song song với ¤eld là thống nhất tăng tốc chuyển động với

Kết quả (Việt) 2:

1 Uniform ¤eld từ
Các chuyển động cơ bản của một hạt tích điện trong một ¤eld từ tính là một chuỗi xoắn. Hãy để cho
từ ¤eld B ~ được thống nhất. Sau đó, phương trình chuyển động cho một hạt có
trách q và khối lượng m là:
F ~ = q ~ v £ B ~ = m ~ a
Như vậy gia tốc luôn luôn vuông góc với vận tốc ~ v: So sánh
với các mối quan hệ cho các chuyển động tròn đồng phục:
~ a = ~! £ ~ v =
¡q
m
B ~ £ ~ v
Như vậy vận tốc góc của hạt là
~! =
¡Q
m
B ~ (1)
Tốc độ góc là C = QB = m!; tần số cyclotron, và hướng
là dọc theo ¤eld từ. Các hướng luân chuyển particlezs phụ thuộc
vào dấu của điện tích particlezs. Một electron, với q = ¡e; có ~! song song
với B ~: Các ion, với điện tích dương, xoay theo nghĩa ngược lại.
Bán kính của vòng xoắn được cho bởi
v? =! R
mà v? là thành phần của vận tốc particlezs vuông góc với
¤eld từ, và do đó
RL =
mv?
jqj B
(2)
bán kính này được gọi là bán kính Larmor. Một proton chuyển động với tốc độ tương tự
như một điện tử sẽ có một bán kính Larmor lớn hơn electronzs 2000 lần
1
Larmor bán kính. Do đó các điện tử được gắn kết chặt chẽ hơn với các ¤eld
từ. Dòng
The ¤eld từ gần bề mặt của một ngôi sao neutron là khoảng 10
12 Gauss,
hoặc 10
8 T. Điều này tương ứng với
C =!
1: 6 £ 10
¡19 C
9 £ 10¡31 kg
10
8 T = 1: 8 10 £
19 C
kg
T
Bây giờ các đơn vị kiểm tra? Vì chúng ta biết rằng vũ lực là QVB; sau đó
C ¢ T =
N
m / s
và do đó
C ¢ T
kg
=
kg ¢ m / s
2
kg ¢ m / s
=
1
s
và do đó, các đơn vị kiểm tra.
motion gyrational Đây là chuyển động cơ bản của các hạt tích điện trong một
plasma . Các trung tâm của vòng tròn được gọi là trung tâm hướng dẫn. Với một bộ đồng phục
¤eld từ, và không có ¤eld điện, trung tâm hướng dẫn di chuyển liên tục ở
tốc độ dọc theo dòng ¤eld.
Phí lưu hành tạo thành một vòng lặp hiện tại, và do đó có một từ
¤eld của riêng nó. ¤eld này được sản xuất bởi các chuyển động particlezs là đối diện với
bản gốc, ¤eld thống nhất. Do đó, plasma là một vật liệu nghịch từ.
2 Uniform ¤eld từ tính cộng với điện thống nhất
¤eld
Nếu không có một ¤eld từ, một ¤eld điện gây ra một hạt tích điện để đẩy nhanh
theo hướng E ~: Nhưng với một ¤eld từ, các hạt
cư xử giống như một con quay, và chuyển động vuông góc với áp dụng
¤eld điện. Chúng ta có thể hiểu được lý do tại sao bằng cách ghi nhận rằng (cho q dương) các
hạt tăng tốc khi nó di chuyển song song với E ~; do đó tăng bán kính Larmor
(2). Khi hạt chuyển động ngược lại E ~; v và RL giảm. Vì vậy, các
vòng tròn donzt gần, và các hạt trôi như thể hiện trong biểu đồ. Ở đây chúng ta
thấy con đường của một electron với B ~ ra khỏi trang và E ~ trở lên.
2
Bây giờ letzs làm toán. Letzs chia E ~ thành các thành phần dọc và vuông góc
với B ~: Sau đó, phương trình chuyển động là:
m
d ~ v
dt
= q
³
E ~? + Ek
^ b + ~ v £ B ~
'nằm rải rác với b ^;
chúng tôi ¤nd
m
DVK
dt
= qEk
mối quan hệ tương tự như trong sự vắng mặt của B ~: Các thành phần vuông góc là:
d ~ v?
dt
=
q
m
³
E ~? + ~ V? £ B ~ '(3) Các giải pháp chúng tôi mong đợi là một sự kết hợp của một hồi chuyển cộng với một trôi liên tục. Do đó, trong khung hình chuyển động với các trung tâm hướng dẫn, chúng ta sẽ chỉ thấy hồi chuyển, và phương trình chuyển động nên hình như: d (? ~ v ¡~ vE) dt = q m (~ v ¡~ vE?) £ B ~ (4) phương trình So sánh (3) và (4), ta có: E ~? = ¡~ VE £ B ~ Chữ thập cả hai mặt với B ~ để có được: E ~ £ B ~ = ¡³ ~ vE £ B ~ '£ B ~ = ¡B ~ ³ ~ vE ¢ B ~' + ~ VEB 2 3 Chúng tôi có thể thả các dấu vuông góc trên E ~ bởi vì các sản phẩm xuyên lựa chọn chỉ các thành phần vuông góc. Và kể từ khi vận tốc trôi dạt là vuông góc với B ~; chúng ta có ~ vE = E ~ £ B ~ B2 (5) Kết quả là độc lập của cả hai điện tích và khối lượng của hạt: tất cả các hạt có cùng vận tốc trôi E-cross-B. Thay đổi các dấu hiệu của sự phụ trách thay đổi hướng của hồi chuyển, nhưng các hạt cũng tăng tốc trong hướng ngược lại, do đó, các hướng trôi dạt là như nhau. Một hạt có khối lượng nhỏ hơn có bán kính nhỏ hơn Larmor, nhưng gyrates nhanh hơn. Hai e¤ects kết hợp để tạo ra vận tốc trôi dạt cùng. Vì tất cả các hạt trôi dạt ở mức tương tự, trôi dạt này không gây ra bất kỳ hiện tại trong huyết tương, nhưng thay vì gây ra toàn bộ huyết tương để trôi dạt với nhau. 3 Drifts do liên tục, các lực lượng bên ngoài khác Bất kỳ lực lượng bên ngoài liên tục vuông góc với B ~ tạo ra một hằng số trôi dạt trong một cách tương tự. Nói chung, phương trình chuyển động là m d ~ v dt = F ~ + q ~ v £ B ~ và một lần nữa chúng ta tìm kiếm một giải pháp trong đó các chuyển động hạt vuông góc với B ~ là hồi chuyển cộng trôi:? D (~ v ¡ ~ VD) dt = q m (~ v? ¡~ VD) £ B ~ Như vậy F ~? m = ¡q m ~ VD £ B ~ và lai với B ~ cho 1 qB2 F ~? £ B ~ = ~ VD (6) Các chuyển động song song với ¤eld là chuyển động đều tăng tốc với