19Example 2.3.2Find the extremal of

19
Example 2.3.2
Find the extremal of Jl (x2 + x + at2) dt for z(O)
0
z(l) 1 and % (1) ~ 1.
The objective function is f(!, x, t) = x2 + z + at2
the Euler-Poisson equation gives
d a2 d _2 .. ::.
fz -at~~ + dtlx = o -at 1 + _d-_2 £OJ;
i.e., z .. 0. Integrating, x= c 1,
c t 2
~ = ....!. + c 2 t + c 3 ; and
2
c t 3 c t 2
1 2 z(t) = 6 + 2 + c 3 t +cit
dt
z=ct+c
1 2
0
0, x (0) • 1,
where c, c, c, c are to be determined by (z(O),% (0),% (1)) = (0, 1, 1,
1 2 3 It
This gives (c, c, c, c) E (0, 0, 1, 0) i.e., the solution z(t) is a
1 2 3 It
45• line going through the origin, i.e., z(t) = t
2.4 ~articular Cases of the Euler Equation
2.4.1 Absence of z
The functional J[z] is
J[z] a ITf(x,t) dt (20)
0
where f does not contain z explicitly. Euler's equation is
reduced to
d
dt !5: = 0 (21)
i.e. f. is a constant. This is a first order differential equation
z
which does not contain x. Solution of (21) gives
i: = g(t ,c) (22)

Kết quả (Việt) 1:

19Ví dụ 2.3.2Tìm game của dt Jl (x 2 + x + at2) cho z(O)0z(l) 1 và % (1) ~ 1.Hàm mục tiêu là f (!, x, t) = x 2 + z + at2cung cấp cho phương trình Euler-Poissond a2 d _2... ::.FZ-tại ~ ~ + dtlx = o - 1 + _d-_2 £OJ;tức là, z... 0. tích hợp, x = c 1,c t 2~ = ....!. + c 2 t + c 3; và2c t 3 c t 21 2 z(t) = 6 + 2 + c 3 t + citDTz = ct + c1 200, x (0) • 1,trong trường hợp c, c, c, c đang được xác định bởi (z(O), % (0), % (1)) = (0, 1, 1,1 2 3 nóĐiều này cho phép (c, c, c, c) E (0, 0, 1, 0) tức là, z(t) giải pháp là một1 2 3 nó45• đường đi qua nguồn gốc, ví dụ, z(t) = t2.4 ~ khớp trường hợp của phương trình Euler2.4.1 vắng mặt của zChức năng J [z] làJ [z] một dt ITf(x,t) (20)0Nếu f chứa z một cách rõ ràng. Phương trình Euler làgiảm xuốngdDT! 5: = 0 (21)tức là f. là một hằng số. Đây là một phương trình vi phân lệnh đầu tiênzmà không chứa x. giải pháp cho (21)i: = g (t, c) (22)

Kết quả (Việt) 2:

19
Ví dụ 2.3.2
Tìm các extremal của Jl (x2 + x + AT2) dt cho z (O)
0
z (l) và 1% (1) ~ 1.
Hàm mục tiêu là f (x !,, t) = x2 + z + AT2
phương trình Euler-Poisson cho
d a2 d _2 .. ::.
FZ -Tại ~~ + dtlx = o -Tại 1 + _d-_2 bảng OJ;
nghĩa là, z .. 0. Kết hợp, x = c 1,
ct 2
~ = ....!. + C 2 t + c 3; và
2
ct 3 ct 2
1 2 z (t) = 6 + 2 + c 3 t + cit
dt
z = ct + c
1 2
0
0, x (0) • 1,
trong đó c, c, c, c là để được xác định bởi (z (O),% (0),% (1)) = (0, 1, 1,
1 2 3 Nó
Điều này cho phép (c, c, c, c) E (0, 0, 1, 0) tức là, các giải pháp z (t) là một
1 2 3 Nó
45 • Đường đi qua gốc, tức là, z (t) = t
~ 2.4 Các trường hợp khớp của Euler Equation
2.4.1 Sự vắng mặt của z
J chức năng [ z] là
J [z] một ITF (x, t) dt (20)
0
. nơi f không chứa z một cách rõ ràng phương trình Euler được
giảm xuống
d
dt 5: = 0 (21)
. IEF là một hằng số này là một đầu tiên để khác biệt phương trình
z
mà không chứa x Giải pháp (21) cho phép.
i: = g (t, c) (22)