If an augmenting path with respect

If an augmenting path with respect to a matchingM exists, then the size
of the matching can be increased by augmentation. Let us prove the more difficult
part: if no augmenting path with respect to a matchingM exists, then the matching
is a maximum matching. Assume that, on the contrary, this is not the case for a
certain matching M in a graph G. Let M
∗ be a maximum matching in G; by our
assumption, the number of edges in M
∗ is at least one more than the number
of edges in M, i.e., |M
∗| > |M|. Consider the edges in the symmetric difference
M ⊕M
∗ = (M −M
∗
) ∪ (M
∗ − M), the set of all the edges that are either in M or
in M
∗ but not in both. Note that |M
∗ − M| > |M − M
∗| because |M
∗| > |M| by
assumption. Let G

be the subgraph of G made up of all the edges inM ⊕M
∗ and
their endpoints. By definition of a matching, any vertex in G

⊆ G can be incident
to no more than one edge inM and no more than one edge inM
∗
. Hence, each of
the vertices in G

has degree 2 or less, and therefore every connected component
ofG

is either a path or an even-length cycle of alternating edges fromM −M
∗ and
M
∗ −M. Since |M
∗ −M| > |M −M
∗| and the number of edges fromM −M
∗ and
M
∗ −M is the same for any even-length cycle of alternating edges inG

, there must
exist at least one path of alternating edges that starts and ends with an edge from
M
∗ − M. Hence, this is an augmenting path for the matchingM, which contradicts
the assumption that no such path exists.

Kết quả (Việt) 2:

Nếu một con đường làm tăng đối với một matchingM tồn tại, sau đó kích thước
của các kết hợp có thể được tăng lên bằng cách tăng thêm. Hãy để chúng tôi chứng minh khó khăn hơn
phần: nếu không có con đường làm tăng đối với một matchingM tồn tại, sau đó các khớp
là một kết hợp tối đa. Giả sử rằng, trái lại, đây không phải là trường hợp cho một
hợp M nhất định trong một đồ thị G. Cho M
* là một kết hợp tối đa trong G; bởi chúng tôi
giả định, số lượng của các cạnh trong M
* là ít nhất một nhiều hơn số
của các cạnh trong M, tức là, | M
* | > | M |. Hãy xem xét các cạnh trong sự khác biệt đối xứng
M ⊕M
* = (M -M
*) ∪ (M * - M), tập hợp của tất cả các cạnh được hoặc trong M hoặc M * nhưng không có trong cả hai. Lưu ý rằng | M * - M | > | M - M * | vì | M * | > | M | bởi giả định. Cho G là đồ thị con của G tạo thành từ tất cả các cạnh INM ⊕M * và thiết bị đầu cuối của họ. Theo định nghĩa của một kết hợp, bất kỳ đỉnh trong G ⊆ G có thể là sự cố không hơn một cạnh INM và không INM hơn một cạnh *. Do đó, mỗi người trong số các đỉnh trong G có 2 bằng cử nhân hoặc ít hơn, và do đó mỗi thành phần kết nối OFG là một đường dẫn hoặc một chu kỳ thậm chí độ dài của các cạnh xen kẽ Fromm -M * và M * -M. Kể từ | M * -M | > | M -M * | và số cạnh Fromm -M * và M * -M là như nhau cho bất kỳ chu kỳ thậm chí độ dài của các cạnh xen kẽ ING, có phải tồn tại ít nhất một con đường cạnh xen kẽ bắt đầu và kết thúc với một cạnh từ M * - M . Do đó, đây là một con đường làm tăng cho matchingM, điều này mâu thuẫn với giả định rằng không có con đường như vậy tồn tại.