In this section we will give a brie

In this section we will give a brief introduction to semidefinite programming and its basic underlying ideas.We refer the
reader to [42,5] for a comprehensive treatment of the topic.
A semidefinite program is defined as the following convex optimization problem:
minimize hC; Xi
subject to hAi; Xi D bi; i D 1; : : : ;m;
X  0;
(P)
where X 2 Sn
is the decision variable and the matrices C; Ai 2 Sn
, and b 2 Rm are the problem data. The problem is convex
since its objective function and the feasible region defined by the constraints are convex. A geometric interpretation is the
minimization of a linear function over the intersection of the set of positive semidefinite matrices with an affine subspace.
Problem (P) is called strictly feasible if there exists some X  0 which satisfies the equality constraints in (P). The problem
above has an associated dual problem being
maximize hb; yi
subject to A.y/ VD C
m P
iD1
yiAi  0;
(D)
with decision variable y 2 Rm. Problem (D) is called strictly feasible if there exists a y such that A.y/  0. The value of any
feasible solution of the dual problem provides a lower bound on any achievable value of the primal. This crucial property is
referred to as weak duality and follows since for every feasible pair X and y

Kết quả (Việt) 1:

Trong phần này chúng tôi sẽ cung cấp cho một giới thiệu ngắn gọn để semidefinite lập trình và các ý tưởng cơ bản cơ bản.Chúng tôi tham khảo cácđọc để [42,5] cho một điều trị toàn diện của chủ đề.Một chương trình semidefinite được định nghĩa là vấn đề tối ưu hóa lồi sau:giảm thiểu hC; Xitùy thuộc vào Hải; Bi xi D; Tôi D 1; : : : ;m;X 0;(P)nơi X 2 Snlà các biến quyết định và ma trận C; Ai 2 Sn, và b 2 Rm là dữ liệu vấn đề. Vấn đề là lồikể từ khi chức năng mục tiêu của nó và vùng khả thi được xác định bởi các khó khăn là lồi. Một giải thích hình là cácgiảm thiểu của một hàm tuyến tính trên giao lộ của các thiết lập của tích cực semidefinite ma trận với một con afin.Vấn đề (P) được gọi là hoàn toàn khả thi nếu có tồn tại một số 0 X thỏa mãn các khó khăn bình đẳng trong (P). Vấn đềở trên có một vấn đề kép kết hợptối đa hóa hb; Yitùy thuộc vào A.y/ VD C m PiD1yiAi 0;(D)với quyết định biến y 2 Rm. vấn đề (D) được gọi là hoàn toàn khả thi nếu có tồn tại một y như vậy đó A.y/ 0. Giá trị của bất kỳCác giải pháp khả thi của vấn đề kép cung cấp một ràng buộc thấp hơn trên bất kỳ giá trị đạt được của các nguyên. Này bất động sản rất quan trọng làđược gọi là yếu duality và sau kể từ cho mỗi khả thi cặp X và y

Kết quả (Việt) 2:

Trong phần này chúng tôi sẽ cung cấp cho một giới thiệu ngắn gọn để semidefinite lập trình và cơ bản của nó cơ bản ideas.We tham khảo các
độc giả [42,5] cho một điều trị toàn diện của chủ đề.
Một chương trình semidefinite được định nghĩa là bài ​​toán tối ưu lồi sau:
giảm thiểu HC ; Xi
chịu Hải; Xi D bi; i D 1; :::; M;
X? 0;
(P)
trong đó X 2 Sn
là biến quyết định và các ma trận C; Ai 2 Sn
, và b 2 Rm là những dữ liệu vấn đề. Vấn đề là lồi
kể từ khi hàm mục tiêu và khu vực khả thi được xác định bởi các ràng buộc lồi. Một cách giải thích hình học là
giảm thiểu của một hàm tuyến tính trên giao lộ của các bộ ma trận semidefinite tích cực với một không gian con affine.
Vấn đề (P) được gọi là đúng khả thi nếu có tồn tại một số X? 0 đáp ứng các hạn chế bình đẳng trong (P). Vấn đề
trên có một vấn đề liên quan đến hai là
tối đa hóa hb; yi
chịu Ay / VD C
m P
id1
yiAi? 0;
(D)
với các biến quyết định y 2 Rm. Vấn đề (D) được gọi là khả thi nghiêm chỉnh nếu có ay như vậy mà Ay /? 0. Giá trị của bất kỳ
giải pháp khả thi của vấn đề kép cung cấp thấp hơn bị ràng buộc vào bất kỳ giá trị đạt được của nguyên thủy. Tài sản quan trọng này được
gọi là nhị nguyên như yếu và sau khi cho mỗi cặp khả thi X và y