1 Math 547 Research Project Minju K

1
Math 547
Research Project
Minju Kim
Leontief Input-Output Model (Application of Linear Algebra to Economics)
Introduction
Professor Wassily Leontief started input-output model with a question, “what level of output should each of the n industries in an economy produce, in order that it will just be sufficient to satisfy the total demand for that product?” Leontief Inputoutput analysis which was developed by Professor Wassily Leontief in the 1930’s is a method used to analyze the relationships between sectors in an economy. These sectors are interdependent on the other sectors in the economy. In order to produce something, each sector needs to consume of its own output and some of output from the other sectors. He developed the models to model economies using empirical data. He divided U.S. economy into 500 economic sectors and described the interdependence between sectors with input-output matrices. With input-output model, it became possible to determine the total output of industries that must be produced to obtain a given amount for final demand. By using the Leontief Input-output Model, it is possible to find production levels which will meet the demands of all sectors inside and outside of that economy. On October 18 in 1973, Wassily Leontief won Nobel Prize in economy for this work in this area. This analysis has been used extensively in economic production planning and in developing countries. Also, by looking at the Leontief Input Output Model, it is possible to tell whether an economy is productive or non-productive.
Assumptions for the Input-Output Model
Since Leontief input-output model normally can have a large number of industries and it will be quite complicated. For a simplification, the following assumptions are adopted
1) Each industry produce only one homogeneous commodity 2) Each industry uses a fixed input ratio for the production of its output 3) Production in every industry is subject to constant return to scale (constant returns to scale means k-fold change in every input will result in an exactly k-fold change in output)
2
Using of Linear Algebra for the Model
The Leontief model represents the economy as a system of linear equations. To find P (production vector) in terms of d (demand vector), we will solve sets of linear equations. Such equations are naturally represented using the formalism of matrices and vectors. We will solve linear equations with matrix algebra. In matrix algebra, we will use matrix inverses and matrix multiplication. Also, to find a solution, we will use Gaussian-elimination technique. To decide if the economy is productive, we will use the Hawkins-Simons conditions.
The Open Leontief Model
There is a Closed Leontief Model where no goods leave or enter the economy. However, in real economic world, it does not happen very often. Normally, a certain economy has outside demand from like government agencies. Therefore, we will use the Open Leontief Model. In Open Leontief Model, there are industries in an economy. Each industry has a demand for products from other industries (internal demand). Also, there are external demands from outside. We will find a production level for the industries that will satisfy both internal and external demands.
Consider there are n interdependent industries (or sectors): S1, S2,…..,Sn
From this, we can get linear equations,
We can have matrix A and vectors P, and d,
A = [
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ], P= [


], and d=[

]
We can write above linear equations as P = AP + d
Matrix A is called input-output matrix or consumption matrix. A consumption matrix shows the quantity of inputs needed to produce one unit of a good. The rows of the matrix represent the
p1 = m11p1 + m12p2 + … + m1npn +d1 p2 = m21p1 + m22p2 + … + m2npn + d2
: : : : :
pn = mn1p1 + mn2p2 + … + mnnpn +dn
Let mij: the number of units produced by industry Si to produce one unit of industry Si Pk: the production level of industry Sk mijpj: the number of units produced by industry Si and consumed by industry Sj di: demand from the ith outside industry Then, total number of units produced by industry Si, pi= p1mi1 + p2mi2 + … + pnmin + di
3
producing sector of the economy. The columns of the matrix represent the consuming sector of the economy. The entry mij in consumption matrix represent what percent of the total production value of sector j is spent on products from sector i. d is the demand vector. Demand vector d represents demand from the non-producing sector of the economy. Vector P represents the total amount of the product produced.
To solve this linear system,
If consumption matrix A and demand vector d have nonnegative entries, and if consumption matrix A is economically feasible, then the inverse of the matrix (I-C) exists and the production vector P has nonnegative entries and has the unique solution for the model. We call matrix A is productive in this case.
The Open Leontief Model with Real Data
To help understanding how the Open Leontief Model works, I have a real data to explain.
Agriculture Manufacturing Services Open Sector Agriculture 34.69 4.92 5.62 39.24 Manufacturing 5.28 61.28 22.99 60.02 Services 10.45 25.95 42.03 130.65 Total Gross Output 84.56 163.43 219.03
By dividing each column of a 3 X 3 table by the Total Gross Output for sectors, we can get the consumption matrix from the table.
In this data, open economy consists of three industries: Agriculture, Manufacturing, Services. These three industries depend upon each other. To produce $1 of Agriculture, Agriculture must purchase $0.4102 of its own production, $0.0624 of Manufacturing, and $0.1236 worth of Services. To produce $1 worth of Manufacturing, it needs $0.0301 of Agriculture, $0.3783 of Manufacturing, and $0.1588 of Services. To produce $1 worth of Services, Services industry must buy $0.0257 of agriculture, $0.1050 of Manufacturing, and $0.1919 of Services. There is an external demand of $39.24 worth of Agriculture, $60.02 worth of Manufacturing, and $130.65 worth of Services. We can find the production level of each three industries with the Open Leontief Model to satisfy both internal and the external demands.
P = AP + d ↔ [
] = [ ] + [ ]
P = AP + d → (I – A)P = d → P = (I-A)-1d
4
Solution for Real Data using the Open Leontief Model
The input-output matrix (or consumption matrix) of the economy is
A = [

] .
Matrix A is showing relationships of inputs consumed per unit of sector output.
External demand for the economy is d = [
]
P = (I – A)-1d
I – A = [

]
To find out (I – A)-1, first we need to know if inverse of (I-A) exists.
.
Since det(I-A)=0.5898*0.6217*0.8081+0.9376*0.8412*0.9743+0.8764*0.9699*0.89500.5898*0.8412*0.8950-0.8764*0.6217*0.9743-0.9376*0.9699*0.8081=0.115752≠0, there exists an inverse of matrix (I-A).
(I – A)-1 = [

]
P = (I – A)-1d = [

] [
] = [

]
Therefore, the total output of the Agriculture must be $82.40. The total output for the Manufacturing must be $138.85. The total output for the Services sector is $201.57.
In 3x3 matrix, B = [

].
There exists an inverse of matrix B detB = b11b22b33+b21b32b13+b31b12b23-b11b32b23-b31b22b13b21b12b33 0, and it is
B-1 =
[

]
5
Or we can get a production vector using the Gauss elimination method.
[ ] =
[
] ↔[

]
↔[

] [

]
3 x 3 matrix (I-A) is invertible since rref (I-A)= I3 and Rank(I-A)= 3. So, invertible matrix of matrix I-A exists. Therefore, we can get (I – A)-1 = [ ]
Which gives P = (I – A)-1d = [

] [
] = [
]
Characteristics on Consumption Matrices A in Open Leontief Model
In the Closed Leontief Model where no goods leave or enter the economy, consumption matrices would have columns adding to one. However, in the Open Leontief Model, the sum of columns in consumption matrix must be less than 1. In a real data used above, a consumption matrix A =
[

]. We can check that the sums of each column are less than 1. (The
sum of first column= 0.4102+0.0624+0.1236=0.5962 < 1, the sum of second column= 0.0301+0.3783+0.1588=0.5672 < 1, the sum of third column= 0.0257+0.1050+0.1919=0.3226

Kết quả (Việt) 1:

1 Toán 547 Nghiên cứu dự án Minju Kim Mô hình đầu vào-đầu ra Leontief (ứng dụng của đại số tuyến tính đến kinh tế) Giới thiệu Giáo sư Wassily Leontief bắt đầu mô hình đầu vào-đầu ra với một câu hỏi, "những gì cấp đầu ra nên mỗi người trong số các ngành công nghiệp n trong một sản phẩm nền kinh tế, để mà nó sẽ chỉ là đủ để đáp ứng tất cả nhu cầu cho sản phẩm đó?" Leontief Inputoutput phân tích được phát triển bởi giáo sư Wassily Leontief trong những năm 1930 là một phương pháp được sử dụng để phân tích các mối quan hệ giữa các thành phần trong một nền kinh tế. Các lĩnh vực này đang phụ thuộc lẫn nhau trên các lĩnh vực khác trong nền kinh tế. Để sản xuất một cái gì đó, từng lĩnh vực cần phải tiêu thụ của các đầu ra của riêng của nó và một số lượng từ các lĩnh vực khác. Ông đã phát triển các mô hình để mô hình nền kinh tế bằng cách sử dụng dữ liệu thực nghiệm. Ông chia 500 thành phần kinh tế kinh tế Mỹ và mô tả phụ thuộc lẫn nhau giữa các lĩnh vực với ma trận đầu vào-đầu ra. Với mô hình đầu vào-đầu ra, nó trở thành có thể để xác định tổng sản lượng của ngành công nghiệp phải được sản xuất để có được một số tiền nhất định cho nhu cầu cuối cùng. Bằng cách sử dụng các mô hình Leontief đầu vào-đầu ra, ta có thể tìm thấy mức độ sản xuất mà sẽ đáp ứng nhu cầu của các thành phần bên trong và bên ngoài đó nền kinh tế. Ngày 18 tháng 10 năm 1973, Wassily Leontief đã đoạt giải Nobel trong nền kinh tế cho công việc này trong lĩnh vực này. Phân tích này đã được sử dụng rộng rãi trong kế hoạch kinh tế sản xuất và các quốc gia đang phát triển. Ngoài ra, bằng cách nhìn vào các mô hình sản lượng đầu vào Leontief, nó có thể nói cho dù một nền kinh tế là sản xuất hoặc phòng không hiệu quả. Giả định cho các mô hình đầu vào-đầu ra Kể từ khi Leontief đầu vào-đầu ra mô hình bình thường có thể có một số lớn các ngành công nghiệp và nó sẽ được khá phức tạp. Cho một đơn giản hóa, các giả định sau đây được chấp nhận 1) mỗi ngành công nghiệp sản xuất chỉ một thứ hàng hóa đồng nhất 2) mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỷ lệ cố định đầu vào để sản xuất lượng 3) sản xuất trong công nghiệp mỗi phải tuân thủ liên tục trở về quy mô (hằng số trở về quy mô có nghĩa là k-lần thay đổi ở mỗi đầu vào sẽ dẫn đến một chính xác gấp k thay đổi trong sản lượng) 2 Bằng cách sử dụng của đại số tuyến tính cho các mô hình Các mô hình Leontief đại diện cho nền kinh tế như là một hệ thống phương trình tuyến tính. Để tìm thấy P (sản xuất vectơ) trong điều khoản của d (nhu cầu véc tơ), chúng tôi sẽ giải quyết bộ phương trình tuyến tính. Phương trình như vậy tự nhiên được đại diện bằng cách sử dụng hình thức của ma trận và vector. Chúng tôi sẽ giải quyết các phương trình tuyến tính với ma trận đại số. Trong đại số ma trận, chúng tôi sẽ sử dụng ngược ma trận và phép nhân ma trận. Ngoài ra, để tìm một giải pháp, chúng tôi sẽ sử dụng kỹ thuật loại bỏ Gaussian. Để quyết định nếu nền kinh tế là sản xuất, chúng tôi sẽ sử dụng các điều kiện Hawkins-Simons. Các mô hình mở Leontief Đó là một đóng cửa Leontief mô hình mà không có hàng hoá để lại hoặc nhập nền kinh tế. Tuy nhiên, trong thế giới kinh tế thực, nó không xảy ra rất thường xuyên. Thông thường, một nền kinh tế nhất định có bên ngoài nhu cầu từ như cơ quan chính phủ. Vì vậy, chúng tôi sẽ sử dụng các mô hình Leontief mở. Trong mở Leontief mô hình, không có ngành công nghiệp trong một nền kinh tế. Mỗi ngành công nghiệp có một nhu cầu cho các sản phẩm ngành công nghiệp khác (nhu cầu nội bộ). Ngoài ra, không có bên ngoài yêu cầu từ bên ngoài. Chúng tôi sẽ tìm thấy một mức độ sản xuất cho các ngành công nghiệp mà sẽ đáp ứng nhu cầu nội bộ và bên ngoài. Xem xét không có ngành công nghiệp phụ thuộc lẫn nhau n (hoặc lĩnh vực): S1, S2,..., Sn Từ đây, chúng tôi có thể nhận được phương trình tuyến tính, Chúng tôi có thể có ma trận A và vectơ P, và d, A = [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ], P= [ ], và d = [ ] Chúng tôi có thể viết trên phương trình tuyến tính như P = AP + d Ma trận A được gọi là ma trận đầu vào-đầu ra hoặc tiêu thụ ma trận. Một ma trận tiêu thụ cho thấy số lượng đầu vào cần thiết để sản xuất một đơn vị của một tốt. Các hàng của ma trận đại diện cho các P1 = m11p1 + m12p2 +... + m1npn + d1 p2 = m21p1 + m22p2 +... + m2npn + d2 : : : : : PN = mn1p1 + mn2p2 +... + mnnpn + dn Cho on: số lượng các đơn vị sản xuất bởi ngành công nghiệp Si để sản xuất một đơn vị của ngành công nghiệp Si Pk: mức độ sản xuất của ngành công nghiệp Sk mijpj: số lượng các đơn vị sản xuất bởi ngành công nghiệp Si và tiêu thụ bởi ngành công nghiệp Sj di: nhu cầu từ ith bên ngoài ngành công nghiệp sau đó, tổng số của đơn vị sản xuất bởi ngành công nghiệp Si, pi = p1mi1 + p2mi2 +... + pnmin + di 3 sản xuất các lĩnh vực của nền kinh tế. Các cột của ma trận đại diện cho các lĩnh vực tiêu thụ của nền kinh tế. On mục tiêu thụ ma trận đại diện cho những gì phần trăm của giá trị tổng sản lượng của ngành j được chi cho các sản phẩm từ khu vực i. d là vector nhu cầu. Nhu cầu vector d đại diện cho nhu cầu từ khu vực phòng không sản xuất của nền kinh tế. Vector P đại diện cho tổng số tiền của sản phẩm được sản xuất. Để giải quyết này hệ thống tuyến tính, Nếu tiêu thụ ma trận A và nhu cầu vector d có vô mục, và nếu tiêu thụ ma trận A là kinh tế khả thi, sau đó nghịch đảo của ma trận (I-C) tồn tại và sản xuất vectơ P có vô mục và có giải pháp duy nhất cho các mô hình. Chúng ta gọi là ma trận A là hiệu quả trong trường hợp này. Các mô hình mở Leontief với dữ liệu thực tế Để giúp hiểu như thế nào mô hình Leontief mở cửa hoạt động, tôi có một dữ liệu thực tế để giải thích. Dịch vụ sản xuất nông nghiệp mở ngành nông nghiệp 34.69 sản xuất 39.24 4,92 5,62 5,28 61.28 22.99 60.02 dịch vụ 10,45 25.95 42,03 130.65 tất cả tổng sản lượng 84.56 163.43 219.03 Bằng cách chia mỗi cột của một bảng 3 X 3 của tổng sản lượng tổng cho lĩnh vực, chúng tôi có thể nhận được tiêu thụ ma trận từ bảng. Trong dữ liệu này, mở kinh tế bao gồm ba ngành: nông nghiệp, sản xuất, Dịch vụ. Các ngành công nghiệp ba phụ thuộc vào nhau. Để tạo ra $1 của nông nghiệp, nông nghiệp phải mua $0.4102 sản xuất riêng của mình, $0.0624 của sản xuất, và $0.1236 giá trị của dịch vụ. Để sản xuất 1 $ giá trị của sản xuất, nó cần $0.0301 của nông nghiệp, $0.3783 của sản xuất, và $0.1588 của dịch vụ. Để sản xuất 1 $ giá trị của dịch vụ, ngành công nghiệp dịch vụ phải mua $0.0257 của nông nghiệp, $0.1050 của sản xuất, và $0.1919 của dịch vụ. Có là một nhu cầu bên ngoài của $39.24 giá trị của nông nghiệp, $60.02 giá trị sản xuất, và $130.65 giá trị của dịch vụ. Chúng tôi có thể tìm thấy mức độ sản xuất của mỗi ngành công nghiệp ba với các mô hình Leontief mở để đáp ứng cả hai bên trong và bên ngoài nhu cầu. P = AP + d ↔ [ ] = [ ] + [ ] P = AP + d → (I-A) P = d → P = (I-A)-1 d 4 Giải pháp cho các dữ liệu thực tế bằng cách sử dụng các mô hình Leontief mở Ma trận đầu vào-đầu ra (hoặc tiêu thụ ma trận) của nền kinh tế là A = [ ] . Ma trận A cho thấy mối quan hệ của đầu vào tiêu thụ cho mỗi đơn vị sản lượng khu vực kinh tế. Các nhu cầu bên ngoài cho nền kinh tế là d = [ ] P = (I-A)-1 d TÔI-A = [ ] Để tìm hiểu (I-A) -1, trước tiên chúng ta cần phải biết nếu nghịch đảo của (I-A) tồn tại. . Kể từ khi det(I-A) = 0.5898 * 0.6217 * 0.8081 + 0.9376 * 0.8412 * 0.9743 + 0.8764 * 0.9699 * 0.89500.5898 * 0.8412 * 0.8950-0.8764 * 0.6217 * 0.9743-0.9376 * 0.9699 * 0.8081 = 0.115752≠0, có tồn tại một nghịch đảo của ma trận (I-A). (I-A) -1 = [ ] P = (I-A)-1 d = [ ] [ ] = [ ] Do đó, tổng sản lượng của bộ nông nghiệp phải là $82.40. Tổng sản lượng sản xuất phải là $138.85. Tổng sản lượng cho lĩnh vực dịch vụ là $201.57. Trong ma trận 3 x 3, B = [ ]. Có tồn tại một nghịch đảo của ma trận B detB = b11b22b33 + b21b32b13 + b31b12b23-b11b32b23-b31b22b13b21b12b33 0, và nó là B-1 = [ ] 5 Hoặc chúng tôi có thể nhận được một vector sản xuất bằng cách sử dụng phương pháp loại bỏ Gauss. [ ] = [ ] ↔[ ] ↔[ ] [ ] ma trận 3 x 3 (I-A) là khả nghịch từ rref (I-A) = I3 và Rank(I-A) = 3. Vì vậy, các ma trận khả nghịch của ma trận tôi-A tồn tại. Vì vậy, chúng tôi có thể nhận được (I-A) -1 =] Đó cung cấp cho P = (I-A)-1 d = [ ] [ ] = [ ] Các đặc điểm trên tiêu thụ ma trận A trong mô hình mở Leontief Trong đóng cửa Leontief mô hình mà không có hàng hoá để lại hoặc nhập nền kinh tế, tiêu thụ ma trận sẽ có thêm một cột. Tuy nhiên, trong mô hình Leontief mở, tổng số lượng các cột trong tiêu thụ ma trận phải thể nhỏ hơn 1. Trong một dữ liệu thực tế được sử dụng ở trên, một tiêu thụ ma trận A = [ ]. Chúng tôi có thể kiểm tra rằng các khoản tiền của mỗi cột là ít hơn 1. (The tổng của cột đầu tiên = 0.4102 + 0.0624 + 0.1236 = 0.5962 < 1, Tổng thứ hai cột = 0.0301 + 0.3783 + 0.1588 = 0.5672 < 1, Tổng cột thứ ba = 0.0257 + 0.1050 + 0.1919 = 0.3226 < 1) kể từ khi các khoản tiền của mỗi cột đại diện cho một phần chi phí đầu vào phát sinh trong sản xuất của đồng đô la giá trị của một số hàng hóa. Nếu là số tiền lớn hơn hoặc bằng $1, sản xuất sẽ không về kinh tế chính đáng. Các hệ số của ma trận tiêu thụ phải được tích cực. Để đáp ứng nhu cầu, có một số hạn chế trong mở Leontief mô hình. Trước tiên, phương trình mà là đang giải quyết là P = (I-A)-1 d. Nếu một nghịch đảo không tồn tại, sau đó nó không thể giải quyết cho vector sản xuất. Ngoài ra, một vector tích cực sản xuất là nec

Kết quả (Việt) 2:

1
Toán 547
dự án nghiên cứu
Minju Kim
Leontief Input-Output Model (Áp dụng Linear Algebra để Economics)
Giới thiệu
Giáo sư Wassily Leontief bắt đầu mô hình đầu vào-đầu ra với một câu hỏi, "những gì mức độ đầu ra nên mỗi ngành công nghiệp n trong một nền kinh tế sản xuất, trong để mà nó sẽ chỉ đủ để đáp ứng tổng nhu cầu cho sản phẩm đó? "Leontief Inputoutput phân tích được phát triển bởi Giáo sư Wassily Leontief trong năm 1930 là một phương pháp được sử dụng để phân tích mối quan hệ giữa các ngành trong nền kinh tế. Các lĩnh vực này phụ thuộc lẫn nhau về các lĩnh vực khác trong nền kinh tế. Để sản xuất một cái gì đó, từng lĩnh vực nhu cầu tiêu thụ của sản lượng của riêng nó và một số đầu ra từ các ngành khác. Ông đã phát triển các mô hình để mô hình nền kinh tế sử dụng số liệu thực nghiệm. Ông chia nền kinh tế Mỹ vào 500 thành phần kinh tế và mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các ngành với các ma trận đầu vào-đầu ra. Với mô hình đầu vào-đầu ra, người ta có thể xác định tổng mức đầu ra của các ngành công nghiệp cần phải tạo ra để có được một số tiền nhất định cho nhu cầu cuối cùng. Bằng cách sử dụng các đầu vào-đầu ra Leontief Model, nó có thể tìm thấy mức sản xuất mà sẽ đáp ứng nhu cầu của tất cả các thành phần bên trong và bên ngoài của nền kinh tế. Ngày 18 Tháng Mười năm 1973, Wassily Leontief đã giành giải thưởng Nobel về kinh tế cho công tác này trong lĩnh vực này. Phân tích này đã được sử dụng rộng rãi trong việc lập kế hoạch sản xuất kinh tế và trong nước đang phát triển. Ngoài ra, bằng cách nhìn vào Input Output Leontief Model, nó có thể nói cho dù một nền kinh tế là sản xuất hay phi sản xuất.
Giả định cho mô hình Input-Output
Leontief Từ mô hình đầu vào-đầu ra bình thường có thể có một số lượng lớn các ngành công nghiệp và nó sẽ thể khá phức tạp. Để đơn giản hóa, các giả định sau đây được áp dụng
1) Mỗi ngành công nghiệp sản xuất chỉ có một hàng hóa đồng nhất 2) Mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỷ lệ cố định đầu vào cho sản xuất sản lượng 3) Sản xuất của nó trong mọi ngành công nghiệp là đối tượng để trở lại liên tục với quy mô (lợi nhuận cố định quy mô có nghĩa là k lần thay đổi trong mỗi đầu vào sẽ dẫn đến một sự thay đổi chính xác k lần trong đầu ra)
2
Sử dụng của Đại số tuyến tính cho các Model
Mô hình Leontief đại diện cho nền kinh tế như một hệ phương trình tuyến tính. Để tìm P (vector sản xuất) về d (vector nhu cầu), chúng tôi sẽ giải quyết bộ phương trình tuyến tính. Phương trình như vậy là tự nhiên được thể hiện bằng các hình thức của ma trận và vectơ. Chúng tôi sẽ giải phương trình tuyến tính với ma trận đại số. Trong ma trận đại số, chúng ta sẽ sử dụng phần tử nghịch đảo ma trận và phép nhân ma trận. Ngoài ra, để tìm một giải pháp, chúng tôi sẽ sử dụng kỹ thuật Gaussian-loại bỏ. Để quyết định nếu nền kinh tế là sản xuất, chúng tôi sẽ sử dụng các điều kiện Hawkins-Simons.
Các mô hình Leontief mở
Có một mô hình Leontief Closed nơi không có hàng hóa xuất cảnh, nhập nền kinh tế. Tuy nhiên, trong thế giới kinh tế thực sự, nó không xảy ra rất thường xuyên. Thông thường, một nền kinh tế nào có nhu cầu bên ngoài từ các cơ quan chính phủ như thế nào. Do đó, chúng tôi sẽ sử dụng các mô hình Leontief mở. Trong Open Leontief Model, có ngành công nghiệp trong nền kinh tế. Mỗi ngành có một nhu cầu cho các sản phẩm từ các ngành công nghiệp khác (nhu cầu nội bộ). Ngoài ra, có những nhu cầu bên ngoài từ bên ngoài. Chúng tôi sẽ tìm thấy một trình độ sản xuất cho các ngành công nghiệp sẽ đáp ứng cả nhu cầu nội bộ và bên ngoài.
Hãy xem xét có ngành công nghiệp n phụ thuộc lẫn nhau (hoặc ngành): S1, S2, ... .., Sn
Từ đây, chúng ta có thể có được phương trình tuyến tính,
chúng ta có thể có Một ma trận và vectơ P, và d,
A = [
() () () () () () () () ()], P = [ ], và d = [ ] Chúng ta có thể viết phương trình tuyến tính như trên P = AP + d Matrix A được gọi là ma trận đầu vào-đầu ra hoặc ma trận tiêu thụ. Một ma trận tiêu thụ cho thấy số lượng các yếu tố đầu vào cần thiết để sản xuất một đơn vị hàng hóa. Các hàng của ma trận đại diện cho p1 = m11p1 + m12p2 + ... + m1npn + d1 p2 = m21p1 + m22p2 + ... + m2npn + d2 ::::: pn = mn1p1 + mn2p2 + ... + mnnpn + DN Hãy Mij: số các đơn vị sản xuất của ngành công nghiệp Si để sản xuất một đơn vị của ngành công nghiệp Si Vn: trình độ sản xuất của ngành công nghiệp Sk mijpj: số lượng các đơn vị sản xuất của ngành công nghiệp Si và tiêu thụ của ngành công nghiệp di Sj: nhu cầu từ ngành thứ i bên ngoài Sau đó, tổng số đơn vị sản xuất của ngành công nghiệp Si, pi = p1mi1 + p2mi2 + ... + + pnmin di 3 khu vực sản xuất của nền kinh tế. Các cột của ma trận đại diện cho các ngành tiêu thụ của nền kinh tế. Các Mij mục trong ma trận đại diện cho tiêu thụ bao nhiêu phần trăm trong tổng giá trị sản xuất của ngành j được chi cho các sản phẩm từ ngành i. d là các vector cầu. Vector cầu d đại diện cho nhu cầu từ khu vực phi sản xuất của nền kinh tế. Vector P đại diện cho tổng số lượng sản phẩm sản xuất. Để giải quyết hệ thống tuyến tính này, Nếu ma trận A tiêu thụ và nhu cầu vector d có mục không âm, và nếu tiêu thụ ma trận A là khả thi về mặt kinh tế, sau đó nghịch đảo của ma trận (IC) tồn tại và vector sản xuất P có mục không âm và có các giải pháp duy nhất cho các mô hình. Chúng tôi gọi ma trận A là sản xuất trong trường hợp này. Các mô hình Leontief mở với Real dữ liệu Để giúp hiểu bằng cách nào Leontief mẫu mở hoạt động, tôi có một số liệu thực tế để giải thích. Nông nghiệp Sản xuất Dịch vụ mở ngành nông nghiệp 34,69 4,92 5,62 39,24 5,28 61,28 22,99 Manufacturing 60.02 dịch vụ 10,45 25,95 42,03 130,65 Tổng Gross Output 84.56 163,43 219,03


















Bằng cách chia mỗi cột của một bảng 3 X 3 do Tổng Output Gross cho các ngành, chúng tôi có thể nhận được các ma trận tiêu thụ từ bảng.
Trong dữ liệu này, nền kinh tế mở bao gồm ba ngành: Nông nghiệp, sản xuất, dịch vụ. Ba ngành công nghiệp phụ thuộc vào nhau. Để sản xuất 1 $ Nông nghiệp, Nông nghiệp phải mua $ 0,4102 sản xuất riêng của mình, 0,0624 $ của sản xuất, và $ 0,1236 giá trị của dịch vụ. Để sản xuất 1 $ giá trị của sản xuất, nó cần $ 0,0301 Nông nghiệp, 0,3783 $ của sản xuất, và $ 0,1588 Dịch Vụ. Để sản xuất 1 $ giá trị của dịch vụ, công nghiệp dịch vụ phải mua $ 0,0257 nông nghiệp, 0,1050 $ của sản xuất, và $ 0,1919 Dịch Vụ. Có một nhu cầu bên ngoài của $ 39,24 giá trị nông nghiệp, 60,02 $ giá trị của sản xuất, và 130,65 $ giá trị của dịch vụ. . Chúng tôi có thể tìm thấy mức độ sản xuất của từng ba ngành công nghiệp với các mô hình Leontief mở để đáp ứng cả hai nội bộ và các nhu cầu bên ngoài
P = AP + d ↔ [
] = [] + []
P = AP + d → (I - A) P = d → P = (IA) -1d
4
Giải pháp cho Real dữ liệu bằng cách sử dụng mô hình Leontief mở
Các ma trận đầu vào-đầu ra (hoặc ma trận tiêu thụ) của nền kinh tế là
A = [ ]. Matrix A là thấy mối quan hệ của các yếu tố đầu vào tiêu thụ trên một đơn vị . sản lượng ngành nhu cầu bên ngoài đối với nền kinh tế là d = [ ] P = (I - A) -1d I - A = [ ] Để tìm hiểu (I - A) -1, đầu tiên chúng ta cần phải biết nếu nghịch đảo của (IA) tồn tại. . Vì có tồn tại một nghịch đảo của ma trận (IA). (I - A) -1 = [ ] P = (I - A) -1d = [ ] [ ] = [ ] Do đó, tổng sản lượng của Bộ Nông nghiệp phải có $ 82,40. Tổng sản lượng cho sản xuất phải được 138,85 $. Tổng sản lượng cho các ngành dịch vụ là 201,57 $. Trong ma trận 3x3, B = [ ]. Có tồn tại một nghịch đảo của ma trận B detB = b11b22b33 + b21b32b13 + b31b12b23-b11b32b23-b31b22b13b21b12b33 0, và nó là B-1 = [ ] 5 Hoặc chúng ta có thể có được một vector sản xuất bằng cách sử dụng phương pháp loại bỏ Gauss. [] = [ ] ↔ [ ] ↔ [ ] [ ] 3 x 3 ma trận (IA) là nghịch từ rref (IA) = I3 và Rank (IA) = 3. Vì vậy, , ma trận nghịch đảo của ma trận IA tồn tại. Do đó, chúng ta có thể nhận được (I - A) -1 = [] Mà cho P = (I - A) -1d = [ ] [ ] = [ ] Đặc điểm về tiêu thụ ma trận A trong Open Leontief mẫu Trong Closed Leontief mẫu mà không có hàng hóa xuất cảnh, nhập nền kinh tế, ma trận tiêu thụ sẽ có cột thêm vào một. Tuy nhiên, trong các mô hình Leontief mở, tổng của các cột trong ma trận tiêu thụ phải nhỏ hơn 1. Trong một dữ liệu thực tế sử dụng ở trên, một ma trận tiêu thụ A = [ ]. Chúng tôi có thể kiểm tra xem số tiền của mỗi cột là nhỏ hơn 1. (Các tổng của cột đầu tiên = 0,4102 + 0,0624 + 0,1236 = 0,5962 <1, tổng của cột thứ hai = 0,0301 + 0,3783 + 0,1588 = 0,5672 <1, tổng của Cột thứ ba = 0,0257 + 0,1050 + 0,1919 = 0,3226 <1) Từ số tiền của mỗi cột đại diện cho một phần chi phí đầu vào phát sinh trong sản xuất giá trị của một đồng đô la của một số mặt hàng. Nếu số tiền lớn hơn hoặc bằng $ 1, sản xuất sẽ không thể hợp lý về mặt kinh tế. Hệ số của ma trận tiêu thụ phải được tích cực. Để đáp ứng nhu cầu, có những hạn chế nhất định trong Open Leontief Model. Đầu tiên, các phương trình đó đang được giải quyết là P = (I - A) -1d. Nếu một nghịch đảo không tồn tại, sau đó nó là không thể giải quyết cho các vector sản xuất. Ngoài ra, một vector sản xuất tích cực là được phân vào đâu