28 fields are adjacent to a side of

28 fields are adjacent to a side of an 8 × 8 chessboard. Let us draw 28 segments that connect the centers of neighbouring end(?) fields. Every line can intersect not more than 2 such segments and, therefore, 13 lines can intersect not more than 26 segments, i.e., there are at least 2 segments that do not intersect any of 13 drawn lines. Therefore, it is impossible to split the chessboard by 13 lines so that in each part there would be not more than 1 marked point since both endpoints of the segment that does not intersect with the lines belongs to one of the parts.

Let A be one of the given points. If all the remaining points lie in disk S1 of radius 1 with center A, then we have nothing more to prove.

Now, let B be a given point that lies outside S1, i.e., AB > 1. Consider disk S2 of radius 1 with center B. Among points A, B and C, where C is any of the given points, there are two at a distance less than 1 and these cannot be points A and B. Therefore, disks S1 and S2 contain all the given points, i.e., one of them contains not less than 13 points.

21.6. Let us divide a given square into 25 similar small squares with side 0.2. By Dirich-
let’s principle one of them contains no less than 3 points. The radius of the circumscribed
1 √ < 1
circle of the square with side 0.2 is equal to 2 and, therefore, it can be covered by a
5 7
disk of radius 17 .
Let us take 1985 disks painted as the second of our disks and place them upon the

first disk so that they would take all possible positions. Then over every painted sector of the first disk there lie 200 painted sectors, i.e., there are altogether2002 pairs of coinciding painted sectors. Let there be n positions of the second disk when not less 21 pairs of painted

sectors coincide. Then the number of coincidences of painted sectors is not less than 21n. Therefore, 21n ≤ 2002, i.e., n ≤ 1904.8. Since n is an integer, n ≤ 1904. Therefore, at least for 1985 − 1904 = 81 positions not more than 20 pairs of painted sectors coincide.

The given lines cannot intersect neighbouring sides of square ABCD since other-wise we would have not two quadrilaterals but a triangle and a pentagon. Let a line intersect sides BC and AD at points M and N , respectively. Trapezoids ABM N and CDN M have equal heights, and, therefore, the ratio of their areas is equal to that of their midlines, i.e., M N divides the segment that connects the midpoints of sides AB and CD in the ratio of 2 : 3. There are precisely 4 points that divide the midlines of the square in the ratio of 2 : 3. Since the given nine lines pass through these four points, then through one of the points at least three lines pass.

Kết quả (Việt) 1:

28 trường là liền kề với một bên là một bàn cờ 8 × 8. Chúng ta hãy rút ra 28 các phân đoạn nối các trung tâm của end(?) lĩnh vực lân cận. Mỗi dòng có thể cắt nhau không quá 2 phân đoạn như vậy, và do đó, 13 đường có thể cắt nhau không quá 26 phân đoạn, tức là, có ít nhất 2 phân đoạn không giao nhau bất kỳ 13 rút ra đường. Vì vậy, nó là không thể chia bàn cờ bằng 13 đường vì vậy mà trong mỗi phần sẽ có không nhiều hơn 1 điểm đánh dấu từ cả hai điểm cuối của đoạn không giao nhau với đường thuộc về một trong những phần. Cho A là một trong những điểm nhất định. Nếu tất cả các điểm còn lại nằm trong đĩa S1 trong bán kính 1 với tâm A, sau đó chúng tôi không có gì nhiều hơn để chứng minh.Bây giờ, giả sử B là một điểm nhất định mà nằm bên ngoài S1, ví dụ, AB > 1. Xem xét các đĩa S2 bán kính 1 với tâm sinh Trong số các điểm A, B và C, C đâu bất kỳ của những điểm nhất định, có hai tại một khoảng cách ít hơn 1 và đây có thể không là điểm A và B. Vì vậy, đĩa S1 và S2 chứa tất cả các điểm nhất định, ví dụ, một trong số họ có không ít hơn 13 điểm.21.6. Hãy để chúng tôi chia một hình vuông cho 25 hình vuông nhỏ tương tự với bên 0.2. Bởi Dirich-Hãy về nguyên tắc, một trong số họ có không ít hơn 3 điểm. Bán kính của các đường 1 √ < 1 vòng tròn của hình vuông với cạnh 0.2 là tương đương với 2, và do đó, nó có thể được bao phủ bởi một 5 7 đĩa bán kính 17. Hãy để chúng tôi mất 1985 đĩa sơn như lần thứ hai của ổ đĩa của chúng tôi và đặt chúng trên cácđầu đĩa do đó họ sẽ có tất cả có thể vị trí. Sau đó trong mỗi lĩnh vực sơn của đĩa thứ nhất có nói dối 200 sơn lĩnh, tức là, có altogether2002 cặp trùng hợp sơn lĩnh vực. Hãy để có là các vị trí n của đĩa thứ hai khi không ít cặp 21 sơnlĩnh vực trùng. Sau đó số trùng hợp ngẫu nhiên của Sơn lĩnh vực không phải là ít hơn so với 21n. Vì vậy, 21n ≤ năm 2002, tức là n ≤ 1904.8. Kể từ khi n là một số nguyên n ≤ năm 1904. Do đó, ít nhất năm 1985 − 1904 = 81 vị trí không hơn 20 cặp sơn lĩnh vực trùng. Những dòng nhất định không thể giao nhau cận kề bên vuông ABCD vì khôn ngoan khác chúng tôi sẽ có không có hai quadrilaterals nhưng một hình tam giác và một Lầu năm góc. Cho phép một dòng bên BC và AD cắt nhau tại điểm M và N, tương ứng. Trapezoids ABM N và CDN M có bình đẳng heights, và, do đó, tỷ lệ của các khu vực của họ là bằng với midlines của họ, nghĩa là, M N chia đoạn kết nối midpoints cạnh AB và CD theo tỉ lệ 2:3. Có những cách chính xác 4 điểm chia midlines square ở tỷ lệ 2:3. Kể từ khi chín dòng nhất định đi qua những bốn điểm, sau đó thông qua một trong những điểm ít nhất ba dòng vượt qua.

Kết quả (Việt) 2:

28 lĩnh vực tiếp giáp với một bên của một bàn cờ 8 × 8. Chúng ta hãy đến 28 phân đoạn kết nối các trung tâm của sự kết thúc lân cận (?) Các lĩnh vực. Mỗi dòng có thể giao nhau không quá 2 đoạn như vậy và, do đó, 13 dòng có thể giao nhau không quá 26 phân đoạn, tức là, có ít nhất 2 đoạn mà không giao nhau bất kỳ của 13 dòng kẻ. Vì vậy, nó là không thể chia bàn cờ của 13 dòng vì vậy mà trong mỗi phần sẽ có không quá 1 điểm rõ rệt kể từ khi cả hai điểm cuối của đoạn mà không giao nhau với đường thuộc một trong các bộ phận.

Cho A là một trong những điểm nhất định. Nếu tất cả các điểm còn lại nằm trong đĩa S1 bán kính 1 với trung tâm A, sau đó chúng tôi không có gì để chứng minh.

Bây giờ, chúng ta hãy B là một điểm cho trước nằm ngoài S1, tức là, AB> 1. Hãy xem xét đĩa S2 bán kính 1 với trung tâm B. trong số các điểm A, B và C, trong đó C là một trong các điểm nhất định, có hai tại một khoảng cách ít hơn 1 và những không thể được điểm A và B. Do đó, đĩa S1 và S2 có chứa tất cả các điểm nhất định, tức là, một trong số họ không có chứa ít hơn 13 điểm.

21,6. Chúng ta hãy chia một hình vuông được thành 25 hình vuông nhỏ tương tự với bên 0.2. By Dirich-
hãy nguyên tắc một trong số họ có không ít hơn 3 điểm. Bán kính của gao
1 √ <1
vòng tròn của hình vuông với mặt 0,2 là bằng 2 và, do đó, nó có thể được bao phủ bởi một
5 7
đĩa bán kính 17.
Chúng ta hãy 1985 đĩa sơn như các đĩa thứ của chúng tôi và đặt chúng trên

đĩa đầu tiên do đó họ sẽ mất tất cả các vị trí có thể. Sau đó, trên mọi lĩnh vực sơn của đĩa đầu tiên có nói dối 200 ngành sơn, tức là, có những cặp altogether2002 của trùng ngành sơn. Hãy có n vị trí của đĩa thứ hai khi không ít 21 cặp sơn

ngành trùng. Sau đó, các số trùng hợp của các thành phần sơn là không ít hơn 21n. Do đó, 21n ≤ 2002, tức là, n ≤ 1904,8. Kể từ khi n là một số nguyên, n ≤ 1904. Do đó, ít nhất là cho 1985-1904 = 81 vị trí không quá 20 cặp ngành sơn trùng.

Các dòng cho không thể giao nhau bên láng giềng của ABCD vuông từ khác khôn ngoan, chúng tôi sẽ có một không hai tứ giác nhưng một tam giác và một hình ngũ giác. Hãy để một dòng cắt cạnh BC và AD tại điểm M và N tương ứng. Hình thang ABM N và CDN M có chiều cao bằng nhau, và, do đó, tỷ lệ các khu vực của họ là ngang bằng với các midlines của họ, tức là, MN chia đoạn nối trung điểm của các cạnh AB và CD theo tỉ lệ 2: 3. có chính xác 4 điểm mà chia midlines của hình vuông trong các tỷ lệ 2: 3. Kể từ khi được chín dòng đi qua bốn điểm, sau đó thông qua một trong những điểm ít nhất ba dòng vượt qua.