Example 5.7.1 (Binomial probabiliti

Example 5.7.1 (Binomial probabilities using the normal approximation) If X is a random variable having the binomial probability function
b(x)=(C_x^16 ) (1/2)^x (11/2)^(16-x), x=0,1,2,…,16
approximating the value of P_B (6≤X≤10) using the normal distribution. Here, n=16 and θ=1/2, so that nθ(1-θ)=4 and nθ=8>5, n(1-θ)=8>5. The exact value of the required probability is
P_B (6≤X≤10)=∑_6^10▒〖(C_x^16 ) (1/2)^x (11/2)^(16-x) 〗
By using the normal approximation, say N(μ,σ^2), we set μ=E(X)=8,σ^2=Var(x)=4 , and we find that
P_B (6≤X≤10)≅P_N (5.5≤X≤10.5)
〖=P〗_N ((5.5-8)/2≤(X-8)/2≤(10.5-8)/2)
=P_N (-1.25≤Z≤1.25)
=0.8944-0.1056
=0.788
That is, the normal approximation for P_B (6≤X≤10) is 0.7888.
The exact value of P_B (6≤X≤10) is 0.7898.
The reason for using 5.5 and 10.5 rather than 6 and 10 in P_N (usually called half-integer corrections for continuity) is evident when we look at Figure 5.7.1. If we graph the drawing rectangles having bases equal to 1 and centered at x=0,1,…,15 and heights given by b(0),b(1),…,b(16), the area under the resulting probability histogram is 1 since each rectangle is of area b(x)×1 and
∑_(x=0)^16▒〖b(x)=1〗
The probability histogram is often called the probability bar chart
When computing P_B (6≤X≤10)=∑_(x=6)^16▒b(x) , we are summing areas of rectangles, the first of which has a base with left-hand endpoint 5.5 and the last of which has a base with right-hand endpoint 10.5. Now, if we approximate P_B (6≤X≤10) by P_N (6≤X≤10), that is, if we do not make the half-integer correction, we are, in effect, omitting about half of the first and half of the last rectangle of the probability bar charts from consideration, thus underestimating the required probability. We can also approximate individual binomial probabilities. For instance,
P_B (X=8)≅P_N (7.5≤X≤8.5)
〖=P〗_N ((-0.5)⁄2≤Z≤0.5⁄2)
〖=P〗_N (-0.25≤Z≤0.25)
=0.5987-0.4013=0.1974
Using binomial probability tables, we can see that the exact value of P_B (X=8) is 0.1964. Thus we see from Example 5.7.1 that the procedure to approximate binomial probabilities by the normal distribution involves setting the mean and variance of the approximating normal distribution, and then making the needed half-integer corrections for continuity.

Kết quả (Việt) 1:

Ví dụ 5.7.1 (nhị thức xác suất bằng cách sử dụng bình thường xấp xỉ) nếu X là một biến ngẫu nhiên có chức năng xác suất nhị thứcb (x) =(C_x^16) (1/2) ^ x (11/2)^(16-x), x = 0, 1, 2,..., 16số giá trị của P_B (6≤X≤10) bằng cách sử dụng phân phối bình thường. Đây, n = 16 và θ = 1/2, để nθ(1-θ) = 4 và nθ = 8 > 5 n (1-i) = 8 > 5. Giá trị chính xác của xác suất yêu cầuP_B (6≤X≤10) = ∑_6 ^ 10▒〖(C_x^16) (1/2) ^ x (11/2)^(16-x) 〗 Bằng cách sử dụng xấp xỉ bình thường, nói N(μ,σ^2), chúng tôi đặt μ = E (X) = 8, σ ^ 2 = Var (x) = 4, và chúng tôi thấy rằngP_B (6≤X≤10) ≅P_N (5.5≤X≤10.5)〖 = P〗_N ((5.5-8)/2≤(X-8)/2≤(10.5-8)/2)= P_N (-1.25≤Z≤1.25)= 0.8944 – 0.1056= 0.788Có nghĩa là, xấp xỉ bình thường cho P_B (6≤X≤10) là 0.7888.Giá trị chính xác của P_B (6≤X≤10) là 0.7898.Lý do cho việc sử dụng 5.5 và 10,5 chứ không phải là 6 và 10 tại P_N (thường được gọi là số nguyên nửa chỉnh cho liên tục) là điều hiển nhiên khi chúng ta nhìn vào con số 5.7.1. Nếu chúng tôi đồ thị vẽ các hình chữ nhật có căn cứ bằng 1 và Trung tâm tại x = 0, 1,..., 15 và heights được đưa ra bởi b(0),b(1),...,b(16), diện tích dưới biểu đồ xác suất kết quả là 1 vì mỗi hình chữ nhật của lá b (x) × 1 và∑_(x=0) ^ 16▒〖b (x) = 1〗Biểu đồ xác suất thường được gọi là biểu đồ thanh xác suấtKhi máy tính P_B (6≤X≤10)=∑_(x=6)^16▒b(x), chúng tôi cách tổng hợp các lĩnh vực của hình chữ nhật, người đầu tiên trong đó có một căn cứ với trái endpoint 5.5 và cuối cùng trong đó có một căn cứ với tay endpoint 10.5. Bây giờ, nếu chúng tôi xác định P_B (6≤X≤10) bởi P_N (6≤X≤10), có nghĩa là, nếu chúng tôi không làm cho sửa chữa một nửa số nguyên, chúng tôi là, có hiệu lực, bỏ qua khoảng một nửa đầu tiên và một nửa các hình chữ nhật cuối cùng của biểu đồ thanh xác suất từ xem xét, đánh giá thấp như vậy xác suất yêu cầu. Chúng tôi cũng có thể xác định cá nhân xác suất nhị thức. Ví dụ,P_B (X = 8) ≅P_N (7.5≤X≤8.5)〖 = P〗_N ((-0.5) ⁄2≤Z≤0.5⁄2)〖 = P〗_N (-0.25≤Z≤0.25)= 0.5987 – 0.4013 = 0.1974Sử dụng bảng nhị thức xác suất, chúng tôi có thể thấy rằng giá trị chính xác của P_B (X = 8) là 0.1964. Vì vậy, chúng ta thấy từ ví dụ 5.7.1 rằng các thủ tục để ước tính xác suất nhị thức bởi phân phối bình thường liên quan đến thiết lập có nghĩa là và phương sai của phân phối chuẩn approximating, và sau đó làm cho söûa chöõa nửa số nguyên cần thiết cho sự liên tục.

Kết quả (Việt) 2:

Ví dụ 5.7.1 (xác suất nhị thức bằng cách sử dụng xấp xỉ bình thường) Nếu X là một biến ngẫu nhiên có chức năng xác suất nhị thức
b (x) = (C_x ^ 16) (1/2) ^ x (11/2) ^ (16-x ), x = 0,1,2, ..., 16
xấp xỉ giá trị của P_B (6≤X≤10) bằng cách sử dụng phân phối bình thường. Ở đây, n = 16 và θ = 1/2, để nθ (1-θ) = 4 và nθ = 8> 5, n (1-θ) = 8> 5. Giá trị chính xác của các xác suất yêu cầu là
P_B (6≤X≤10) = Σ_6 ^ 10▒ 〖(C_x ^ 16) (1/2) ^ x (11/2) ^ (16-x)〗
Bằng việc sử dụng xấp xỉ bình thường, nói N (μ, σ ^ 2), chúng tôi thiết μ = E (X) = 8, σ ^ 2 = Var (x) = 4, và chúng tôi thấy rằng
P_B (6≤X≤10) ≅P_N ( 5.5≤X≤10.5)
〖〗 = P _N ((5,5-8) / 2≤ (X-8) / 2≤ (10,5-8) / 2)
= P_N (-1.25≤Z≤1.25)
= 0,8944-0,1056
= 0,788
Đó là, xấp xỉ bình thường cho P_B (6≤X≤10) là 0,7888.
Giá trị chính xác của P_B (6≤X≤10) là 0,7898.
Lý do sử dụng 5.5 và 10.5 hơn là 6 và 10 trong P_N ( thường được gọi là chỉnh bán nguyên cho sự liên tục) là điều hiển nhiên khi chúng ta nhìn vào hình 5.7.1. Nếu chúng ta vẽ đồ thị hình chữ nhật vẽ có căn cứ bằng 1 và trung tâm tại x = 0,1, ..., 15 và chiều cao được đưa ra bởi b (0), b (1), ..., b (16), diện tích theo xác suất kết quả histogram là 1 vì mỗi hình chữ nhật là diện tích b (x) × 1 và
Σ_ (x = 0) ^ 16▒ 〖b (x) = 1〗
Các biểu đồ xác suất thường được gọi là biểu đồ thanh xác suất
P_B Khi tính toán (6≤ X≤10) = Σ_ (x = 6) ^ 16▒b (x), chúng tôi đang tổng hợp các lĩnh vực hình chữ nhật, người đầu tiên trong số đó có một cơ sở với trái endpoint 5.5 và cuối cùng trong đó có một cơ sở với quyền -Tay Endpoint 10.5. Bây giờ, nếu chúng ta gần đúng P_B (6≤X≤10) bởi P_N (6≤X≤10), có nghĩa là, nếu chúng ta không thực hiện việc sửa nửa số nguyên, chúng tôi, có hiệu lực, bỏ đi khoảng một nửa số đầu tiên và một nửa của hình chữ nhật mới nhất của các bảng xếp hạng thanh xác suất từ việc xem xét, đánh giá thấp như vậy, xác suất yêu cầu. Chúng tôi cũng có thể gần đúng xác suất nhị thức cá nhân. Ví dụ,
P_B (X = 8) ≅P_N (7.5≤X≤8.5)
〖〗 = P _N ((-0.5) /2≤Z≤0.5/2)
〖〗 = P _N (-0.25≤Z≤0.25)
= 0,5987-0,4013 = 0,1974
Sử dụng bảng xác suất nhị thức, chúng ta có thể thấy rằng giá trị chính xác của P_B (X = 8) là 0,1964. Như vậy chúng ta thấy từ ví dụ 5.7.1 rằng thủ tục để xấp xỉ xác suất nhị thức bởi sự phân bố bình thường liên quan đến việc thiết lập các trung bình và phương sai của phân phối chuẩn Tạo xấp xỉ, và sau đó thực hiện các sửa chữa bán nguyên cần thiết cho sự liên tục.