Proposition 2.22 (Shanks’s Babystep

Proposition 2.22 (Shanks’s Babystep–Giantstep Algorithm). Let G be a group and let g ∈ G be an element of order N ≥ 2√. The following algorithm• solves the discrete logarithm problem gx = h in O( N logN) steps.
, so in particular, n > √N.
(2) Create two lists,
List 1: e, g, g2, g3,..., gn,
List 2: h, h • g−n, h • g−2n, h • g−3n,..., h • g−n2.
(3) Find a match between the two lists, say gi = hg−jn.
(4) Then x = i + jn is a solution to gx = h.
Proof. We begin with a couple of observations. First, when creating List 2, we start by computing the quantity u = g−n and then compile List 2 by computing h,h • u,h • u2,...,h • un. Thus creating the two lists takes approximately 2n multiplications. Second, assuming that a match exists, we can find a match in a small multiple of log(n) steps using standard sorting and searching algorithms, so Step (3) takes≈O√ O(logn√) steps. Hence the total running time for the algorithm is (nlogn) = O( N logN). For this last step we have used the fact that n N, so

In order to prove that the algorithm works, we must show that Lists 1 and 2 always have a match. To see this, let x be the unknown solution to gx = h and write x as
x = nq + r with 0 ≤ r < n.
We know that 1 ≤ x < N, so
√

Kết quả (Việt) 1:

Döï 2,22 (Shanks của thuật toán Babystep-Giantstep). Cho G là một nhóm và cho g ∈ G là một phần tử của thứ tự N ≥ 2√. Algorithm• sau giải quyết vấn đề lôgarit rời rạc gx = h trong O (N logN) bước. , do đó, trong cụ thể, n > √N.(2) tạo ra hai danh sách, Danh sách 1: e, g, g2, g3,..., gn, Danh sách 2: h, h • g−n, h • g−2n, h • g−3n,..., h • g−n2.(3) tìm thấy một kết hợp giữa hai danh sách, nói gi = hg−jn.(4) sau đó x = i + jn là một giải pháp cho gx = h.Bằng chứng. Chúng tôi bắt đầu với một vài quan sát. Trước tiên, khi tạo danh sách 2, chúng tôi bắt đầu bằng cách tính toán số lượng u = g−n và sau đó biên dịch danh sách 2 bởi máy tính h, h • u, h • u2,..., h • Liên Hiệp Quốc. Tạo hai danh sách mất khoảng 2n multiplications. Thứ hai, giả định rằng một trận đấu tồn tại, chúng tôi có thể tìm thấy một trận đấu trong bội nhỏ log(n) bước bằng cách sử dụng tiêu chuẩn phân loại và tìm kiếm thuật toán, do đó bước (3) takes≈O√ O(logn√) bước. Do đó tất cả thời gian cho các thuật toán là (nlogn) = O (N logN). Cho này bước cuối cùng chúng tôi đã sử dụng một thực tế rằng N n, vì vậy Để chứng minh rằng các thuật toán hoạt động, chúng tôi phải cho rằng danh sách 1 và 2 luôn luôn có một trận đấu. Để thấy điều này, hãy để x là giải pháp không rõ để gx = h và viết x như x = nq + r với 0 ≤ r < n.Chúng ta biết rằng 1 ≤ x < N, vì vậy√

Kết quả (Việt) 2:

Dự 2.22 (Babystep-Giantstep Algorithm Shanks của). Cho G là một nhóm và để g ∈ G là một yếu tố của tự N ≥ 2√. Các thuật toán sau đây • giải quyết các vấn đề rời rạc logarit gx = h trong O (N logN) bước.
, vì vậy đặc biệt, n> √N.
(2) Tạo hai danh sách,
Danh sách 1: e, g, g2, g3, .. ., gn,
Danh sách 2:. h, h • g-n, h • g-2n, h • g-3n, ..., h • g-n2
(3) Tìm một trận đấu giữa hai danh sách, nói gi = hg-jn.
(4) Sau đó x = i + jn là một giải pháp cho GX = h.
Proof. Chúng ta bắt đầu với một vài quan sát. Đầu tiên, khi tạo Danh mục 2, chúng ta bắt đầu bằng cách tính toán số lượng u = g-n và sau đó biên dịch Danh sách 2 bằng cách tính toán h, h • u, h • u2, ..., h • un. Nhờ đó tạo ra hai danh sách có phép nhân khoảng 2n. Thứ hai, giả định rằng một trận tồn tại, chúng ta có thể tìm thấy một trận đấu trong một nhiều nhỏ của log (n) bước sử dụng phân loại tiêu chuẩn và các thuật toán tìm kiếm, vì vậy Bước (3) takes≈O√ O (logn√) bước. Do đó tổng thời gian chạy cho các thuật toán là (nlogn) = O (N logN). Đối với bước cuối cùng này, chúng tôi đã sử dụng thực tế là n N, vì vậy Để chứng minh rằng các công trình thuật toán, chúng ta phải thấy rằng Lists 1 và 2 luôn luôn có một trận đấu. Để thấy điều này, hãy để x là giải pháp không biết đến GX = h và viết x là x = NQ + r với 0 ≤ r <n. Chúng tôi biết rằng 1 ≤ x <N, do √