where (x, y) is the position and θ

where (x, y) is the position and θ the angle of the wheel. Is the system nonlinear locally controllable at (0, 0, 0)? (Hint: Linearization gives no information; use the definition directly)
The linearized system is not controllable. The system is however nonlinear locally controllable. This can be seen directly from the definition as follows:
We must show that we can drive the system from (0, 0, 0) to a near by state (xT, yT,θ T) using small control signals u1 and u2. By the sequence u = (u1, u2) = (0, ǫ1),u = (ǫ1, 0),u = (0,−ǫ1), u = (−ǫ2, 0) (or in words: "turn left, forward, turn right, backwards") one can move to the state (0, yT, 0).
Then apply (ǫ3, 0) and then (0, ǫ4) to end up in (xT, yT,θ T). For any time T > 0 this movement can be done with small ǫi if xT, yT and θ T are small

Kết quả (Việt) 1:

nơi (x, y) là vị trí và θ là góc của bánh xe. Là hệ thống phi tuyến địa phương kiểm soát (0, 0, 0)? (Gợi ý: Linearization cung cấp thông tin không; sử dụng định nghĩa trực tiếp)Hệ thống linearized không phải là không thể điều khiển. Tuy nhiên là hệ thống phi tuyến điều khiển tại địa phương. Điều này có thể được nhìn thấy trực tiếp từ định nghĩa như sau:Chúng ta phải thể hiện rằng chúng tôi có thể lái xe hệ thống từ (0, 0, 0) để một gần bằng bang (xT, yT, i T) bằng cách sử dụng nhỏ điều khiển tín hiệu u1 và u2. Bởi tự u = (u1, u2) = (0, ǫ1), u = (ǫ1, 0), u = (0, −ǫ1), u = (−ǫ2, 0) (hay trong lời nói: "quay lại, chuyển tiếp, rẽ phải, ngược") một trong những có thể chuyển sang trạng thái (0, yT, 0).Sau đó áp dụng (ǫ3, 0) và sau đó (0, ǫ4) kết thúc tại (xT, yT, i T). Đối với bất kỳ thời gian T > 0 phong trào này có thể được thực hiện với ǫi nhỏ nếu xT, yT và θ T là nhỏ

Kết quả (Việt) 2:

nơi (x, y) là vị trí và θ góc của bánh xe. Là hệ thống phi tuyến có thể điều khiển cục bộ tại (0, 0, 0)? (Gợi ý: tuyến tính không đưa ra thông tin, sử dụng các định nghĩa trực tiếp)
Các hệ thống tuyến tính là không kiểm soát được. Tuy nhiên hệ thống này là phi tuyến kiểm soát tại địa phương. Điều này có thể được nhìn thấy trực tiếp từ định nghĩa như sau:
Chúng ta phải thấy rằng chúng tôi có thể lái xe hệ thống từ (0, 0, 0) đến một gần của nhà nước (xt, yt, θ T) sử dụng nhỏ tín hiệu điều khiển u1 và u2. Bằng chuỗi u = (u1, u2) = (0, ǫ1), u = (ǫ1, 0), u = (0, -ǫ1), u = (-ǫ2, 0) (hay nói cách: "rẽ trái , về phía trước, rẽ phải, đi lùi ") người ta có thể di chuyển sang trạng thái (0, YT, 0).
sau đó áp dụng (ǫ3, 0) và sau đó (0, ǫ4) để kết thúc trong (xt, yt, θ T). Đối với bất kỳ thời gian T> 0 chuyển động này có thể được thực hiện với ǫi nhỏ nếu xt, yt và θ T nhỏ