In the language of expectation (see

In the language of expectation (see Chapter 6) we could say that a statistic is unbiased if its
expectation equals the corresponding population parameter. Thus
X and ^ s
2
are unbiased since
E
X  and E ^ s
2

2
.
EFFICIENT ESTIMATES
If the sampling distributions of two statistics have the same mean (or expectation), then the statistic
with the smaller variance is called an efficient estimator of the mean, while the other statistic is called an
inefficient estimator. The corresponding values of the statistics are called efficient and unefficient estimates.
If we consider all possible statistics whose sampling distributions have the same mean, the one with
the smallest variance is sometimes called the most efficient,or best, estimator of this mean.
EXAMPLE 3. The sampling distributions of the mean and median both have the same mean, namely, the popula-
tion mean. However, the variance of the sampling distribution of means is smaller than the variance of the sampling
distribution of medians (see Table 8.1). Hence the sample mean gives an efficient estimate of the population mean,
while the sample median gives an inefficient estimate of it.
Of all statistics estimating the population mean, the sample mean provides the best (or most efficient) estimate.
In practice, inefficient estimates are often used because of the relative ease with which some of them
can be obtained.
POINT ESTIMATES AND INTERVAL ESTIMATES; THEIR RELIABILITY
An estimate of a population parameter given by a single number is called a point estimate of the
parameter. An estimate of a population parameter given by two numbers between which the parameter
may be considered to lie is called an interval estimate of the parameter.
Interval estimates indicate the precision, or accuracy, of an estimate and are therefore preferable to
point estimates.
EXAMPLE 4. If we say that a distance is measured as 5.28 meters (m), we are giving a point estimate. If, on the
other hand, we say that the distance is 5:28 0:03m (i.e., the distance lies between 5.25 and 5.31m), we are giving an
interval estimate.
A statement of the error (or precision) of an estimate is often called its reliability.
CONFIDENCE-INTERVAL ESTIMATES OF POPULATION PARAMETERS
Let S and
S be the mean and standard deviation (standard error), respectively, of the sampling
distribution of a statistic S. Then if the sampling distribution of S is approximately normal (which as we
have seen is true for many statistics if the sample size N 30), we can expect to find an actual sample
statistic S lying in the intervals S
S to S
S, S 2
S to S 2
S,or S 3
S to S 3
S about
68.27%, 95.45%, and 99.73% of the time, respectively.
Equivalently, we can expect to find (or we can be confident of finding) S in the intervals S
S to
S
S, S 2
S to S 2
S,or S 3
S to S 3
S about 68.27%, 95.45%, and 99.73% of the time,
respectively. Because of this, we call these respective intervals the 68.27%, 95.45%, and 99.73% con-
fidence intervals for estimating S. The end numbers of these intervals (S
S, S 2
S, and S 3
S) are
then called the 68.27%, 95.45%, and 99.73% confidence limits,or fiducial limits.
Similarly, S 1:96
S and S 2:58
S are the 95% and 99% (or 0.95 and 0.99) confidence limits
for S. The percentage confidence is often called the confidence level. The numbers 1.96, 2.58, etc., in
the confidence limits are called confidence coefficients,or critical values, and are denoted by zc. From
confidence levels we can find confidence coefficients, and vice versa.
228 STATISTICAL ESTIMATION THEORY [CHAP. 9

Kết quả (Việt) 1:

Trong ngôn ngữ của kỳ vọng (xem chương 6) chúng tôi có thể nói rằng một số liệu thống kê là không thiên vị nếu của nókỳ vọng bằng tham số dân tương ứng. Do đó X và ^ s2được không thiên vị từE X và E ^ s22.HIỆU QUẢ ƯỚC TÍNHNếu các bản phân phối lấy mẫu thống kê hai đã cùng có nghĩa là (hoặc kỳ vọng), sau đó là số liệu thống kêvới phương sai nhỏ hơn được gọi là một efficient công cụ ước tính có nghĩa là, trong khi số liệu thống kê khác được gọi là mộtinefficient ước tính. Các giá trị tương ứng của các số liệu thống kê được gọi là efficient và unefficient ước tính.Nếu chúng ta xem xét tất cả số liệu thống kê có thể lấy mẫu phân phối mà có cùng một nghĩa là, một vớiphương sai nhỏ nhất đôi khi được gọi là nhất efficient, hoặc tốt nhất, các ước tính này có nghĩa là.VÍ DỤ 3. Lấy mẫu phân phối của trung bình và trung bình có nghĩa là cùng một, cụ thể là, là các popula-tion có nghĩa là. Tuy nhiên, phương sai của phân phối lấy mẫu của phương tiện là nhỏ hơn so với phương sai của việc lấy mẫuphân phối của các số trung vị (xem bảng 8.1). Do đó có nghĩa là mẫu cung cấp cho một dân số ước tính efficient có nghĩa là dân số,trong khi trung bình mẫu cho một dân số ước tính inefficient của nó.Tất cả thống kê ước tính trung bình dân, có nghĩa là mẫu cung cấp tốt nhất (hoặc hầu hết efficient) ước tính.Trong thực tế, ước tính inefficient thường được sử dụng vì tương đối dễ dàng với mà một số của họcó thể thu được.ƯỚC TÍNH ĐIỂM VÀ ƯỚC TÍNH KHOẢNG THỜI GIAN; ĐỘ TIN CẬY CỦA HỌMột ước tính của một tham số dân được đưa ra bởi một số duy nhất được gọi là một ước tính điểm của cáctham số. Một ước tính của một tham số dân được đưa ra bởi hai con số giữa mà các tham sốcó thể được coi là lời nói dối được gọi là một ước tính khoảng thời gian của các tham số.Ước tính khoảng thời gian chỉ ra chính xác, hoặc tính chính xác của một ước tính và do đó thích hợp hơn đểước tính điểm.VÍ DỤ 4. Nếu chúng ta nói rằng khoảng cách đo bằng 5,28 mét (m), chúng tôi đang đưa ra một ước tính điểm. Nếu, trên cácmặt khác, chúng ta nói rằng khoảng cách là 5:28 0: 03m (tức là, lời nói dối của khoảng cách giữa 5,25 và 5.31 m), chúng tôi đang đưa ra mộtước tính khoảng thời gian.Một tuyên bố của lỗi (hay chính xác) của một dân số ước tính thường được gọi là độ tin cậy của nó.ƯỚC TÍNH KHOẢNG TIN CẬY CỦA DÂN THAM SỐCho S và S là có ý nghĩa và độ lệch chuẩn (tiêu chuẩn lỗi), tương ứng, của việc lấy mẫuphân phối của một số liệu thống kê S. Sau đó, nếu phân phối lấy mẫu của S là bình thường khoảng (mà là chúng tôiđã thấy là đúng cho số liệu thống kê nhiều nếu mẫu kích cỡ N 30), chúng tôi có thể mong đợi để nhiều một mẫu thực tếthống kê S nằm trong khoảng S S để S S, S 2 S S 2 s hoặc S 3 S để S 3 S68.27%, 95.45% và 99.73% thời gian, tương ứng.Tương tự, chúng tôi có thể mong đợi để nhiều (hoặc chúng tôi có thể là confident của finding) S trong khoảng S S đểS S, S 2 S S 2 s, hoặc S 3 S S 3 s khoảng 68.27%, 95.45% và 99.73% thời gian,tương ứng. Bởi vì điều này, chúng tôi gọi những khoảng thời gian tương ứng là 68.27%, 95.45% và 99.73% con-fidence khoảng cho ước tính S. Các con số cuối cùng của các khoảng thời gian (S S, S 2 S và S 3 S) làsau đó được gọi là 68.27%, 95.45% và 99.73% confidence giới hạn, hoặc giới hạn fiducial.Tương tự, S 1:96 S và S 2:58 S là 95% và 99% (hoặc 0,95 và 0,99) giới hạn confidencecho S. Tỷ lệ phần trăm confidence thường được gọi là mức độ confidence. Số 1,96, 2,58, vv, trongCác giới hạn confidence được gọi là confidence coefficients, hoặc các giá trị quan trọng, và được kí hiệu bởi zc. Từcấp độ confidence chúng tôi có thể nhiều confidence coefficients, và ngược lại.LÝ THUYẾT DỰ TOÁN THỐNG KÊ 228 [CHAP 9

Kết quả (Việt) 2:

Trong ngôn ngữ của sự mong đợi (xem chương 6), chúng tôi có thể nói rằng một thống kê là không thiên vị nếu nó
kỳ vọng bằng các tham số tương ứng. Do vậy? X và s ^
2
là không thiên vị vì
E? X ? và E ^ s
2? 2. TOÁN HIỆU QUẢ Nếu sự phân bố lấy mẫu của hai số liệu thống kê có giá trị trung bình như nhau (hoặc kỳ vọng), sau đó các số liệu thống kê với phương sai nhỏ hơn được gọi là e ffi cient ước lượng giá trị trung bình, trong khi các thống kê khác được gọi là một ine ffi cient ước lượng. Các giá trị tương ứng của các số liệu thống kê được gọi là e ffi hụt và une ffi dự cient. Nếu chúng ta xem xét tất cả các số liệu thống kê có thể có phân phối lấy mẫu có nghĩa là cùng, một với phương sai nhỏ nhất đôi khi được gọi là cient e ffi nhất, hay nhất, ước lượng trung bình này. Ví dụ 3 . Các bản phân phối mẫu của trung bình và trung bình cả hai đều có cùng một ý nghĩa, cụ thể là, các nhóm dân cư tion bình. Tuy nhiên, phương sai của phân phối mẫu của phương tiện là nhỏ hơn so với các phương sai của mẫu phân phối của trung vị (xem Bảng 8.1). Do đó giá trị trung bình mẫu cho một ước tính cient e ffi dân số có nghĩa là, trong khi trung bình mẫu cho một ước tính ine ffi cient của nó. Trong tất cả các số liệu thống kê ước tính dân số có ý nghĩa, giá trị trung bình mẫu cung cấp là tốt nhất (hoặc hầu hết các e ffi cient) ước tính. Trong thực tế, ước tính cient ine ffi thường được sử dụng vì sự dễ dàng tương đối mà một số trong số họ có thể thu được. DỰ POINT và dự toán khoảng thời; TIN CẬY CỦA HỌ Một ước tính của một tham số được đưa ra bởi một số duy nhất được gọi là một ước lượng điểm của tham số. Một ước tính của một tham số được đưa ra bởi hai con số từ mà các tham số có thể được coi là nằm được gọi là một ước tính khoảng thời gian của các tham số. Ước tính Interval thấy tính chính xác, hoặc chính xác, các ước tính và do đó thích hợp hơn để chỉ ước tính. Ví dụ 4 . Nếu chúng ta nói rằng một khoảng cách được đo là 5,28 mét (m), chúng tôi đang đưa ra một ước lượng điểm. Nếu, mặt khác, chúng ta nói rằng khoảng cách là 05:28 0: 03m (tức là, khoảng cách nằm giữa 5,25 và 5.31m), chúng tôi đang đưa ra một ước tính khoảng thời gian. Một tuyên bố của các lỗi (hay chính xác) của một ước tính thường được gọi là độ tin cậy của nó. TOÁN TỰ TIN-INTERVAL CỦA DÂN SỐ Hãy? S và? S có giá trị trung bình và độ lệch chuẩn (sai số chuẩn), tương ứng, lấy mẫu phân bố của một số liệu thống kê S. Sau đó, nếu việc phân phối mẫu của S là khoảng bình thường (mà như chúng ta đã thấy là đúng đối với nhiều số liệu thống kê nếu kích thước mẫu N 30), chúng ta có thể mong đợi để fi nd một mẫu thực tế thống kê S nằm trong khoảng thời gian? S S? S? S,? S 2? S để 2? S, hay? S 3? S? S 3? S về? S 68,27%, 95,45% và 99,73% thời gian tương ứng. Tương tự, chúng ta có thể mong đợi để fi nd (hoặc chúng tôi có thể có con fi vết lõm của fi nding )? S trong khoảng S? S để S S?, S 2? S để S 2? S, hay S 3? S để S 3? S khoảng 68,27%, 95,45% và 99,73% thời gian, tương ứng. Bởi vì điều này, chúng ta gọi là những khoảng thời gian tương ứng với 68,27%, 95,45% và 99,73% con- khoảng dence fi để ước lượng? S. Những con số cuối những khoảng thời gian (??? S S, S 2 S, và S 3 S) được sau đó được gọi là 68,27%, 95,45% và 99,73% giới hạn con fi dence, hoặc fi giới hạn ducial. Tương tự như vậy, S 1: 96 S và S 2: 58 S là 95% và 99% (tương đương 0,95 và 0,99) con fi dence giới hạn cho S. Tỷ lệ con fi dence thường được gọi là cấp nguï cuûa con fi. Các con số 1.96, 2.58, vv, trong các giới hạn nguï cuûa con fi được gọi là cients con fi dence COE ffi, hoặc giá trị quan trọng, và được biểu hiện bằng ZC. Từ mức fi nguï cuûa con chúng ta có thể fi nd con fi dence cients ffi COE, và ngược lại. 228 THỐNG KÊ ƯỚC LÝ THUYẾT [CHAP. 9