Question B. If there is a periodic

Question B. If there is a periodic attractor of (1.7.10), how many points converge to it?
Once again, we need more machinery to answer this question.
Question C. Can there be several distinct periodic attractors for (1.7.10)?
This question leads us to the Li-Yorke famous result “Period Three Implies Chaos” [92]. To explain this and more general results requires the intro¬duction of the so-called Schwarzian derivative of f (x). We will come back to these questions in Chapter 6.
Exercises 1.7
Unless otherwise stated, all the problems here refer to the logistic difference equation (1.7.1).
1. Use the stair step diagram for on [0,1], k = 1, 2, 3, ..., to demon¬strate that F4 has at least 2k periodic points of period k (including periodic points of periods that are divisors of k).
2. Find the exact solution of x(n +1) = 4x(n)[1 — x(n)].
3. Let x* = (p — 1)/p be the equilibrium point of (1.7.1). Show that:
(i) For 1 < p < 3, x* is an attracting fixed point.
(ii) For p > 3, x* is a repelling fixed point.
4. Prove that lim„^TO F2n(x) = 2 if 0 < x < 1.
5. Let 1 < p < 2 and let x* = (p — 1)/p be the equilibrium point of (1.7.1). Show that if x* < x < 2, then lim„^TO Fn(x) = x*.
6. Prove that the 2-cycle given by (1.7.4) is attracting if 3 < p < 1 + %/6.
7. Verify formula (1.7.6). Then show that the 2-cycle in (1.7.4) is attracting when p = 1 + %/6.
8. Verify that p2 ~ 3.54 using a calculator or a computer.
*9. (Project). Show that the map (x) = sinpx leads to the same value
for the Feigenbaum number 5.
10. Show that if p — p1 < e, then |Fp(x) — Fpi(x)| < e for all x G [0,1].
11. Show that (1.7.7) can be transformed to the logistic equation (1.7.8),
2
with c = 2 — ^4-.
**
12. (a) Find the equilibrium points y1 ,y2 of (1.7.7).
(b) Find the values of c where yi* is attracting or unstable.
*
(c) Find the values of c where y2 is attracting or unstable.

Kết quả (Việt) 1:

Câu hỏi sinh Nếu có một attractor định kỳ (1.7.10), bao nhiêu điểm hội tụ về nó?Một lần nữa, chúng ta cần thêm máy móc để trả lời câu hỏi này.Câu hỏi C. Có thể có là một số khác biệt định kỳ attractors cho (1.7.10)?Câu hỏi này dẫn chúng ta đến kết quả nổi tiếng Li-Yorke "Khoảng thời gian ba ngụ ý Chaos" [92]. Để giải thích điều này và đòi hỏi tổng quát hơn kết quả intro¬duction của cái gọi là Schwarzian đạo hàm của f (x). Chúng tôi sẽ trở lại với những câu hỏi trong chương 6.Bài tập 1.7Trừ khi được nêu, tất cả các vấn đề ở đây đề cập đến hậu cần khác biệt phương (1.7.1).1. sử dụng sơ đồ bước cầu thang trên [0,1], k = 1, 2, 3,..., để demon¬strate F4 có ít nhất 2 k điểm định kỳ của giai đoạn k (bao gồm cả điểm định kỳ trong giai đoạn đang thức k).2. tìm giải pháp chính xác của x (n + 1) = 4x(n) [1-x(n)].3. cho x * = (p-1) /p là điểm cân bằng (1.7.1). Cho thấy rằng:(i) cho 1 < p < 3, x * là một cố định điểm thu hút.(ii) cho p > 3, x * là đẩy lùi một điểm cố định.4. chứng minh rằng lim "^ F2n(x) đó = 2 nếu 0 < x < 1.5. cho 1 < p < 2 và cho x * = (p-1) /p là điểm cân bằng (1.7.1). Hiển thị nếu x * < x < 2, rồi lim "^ Fn(x) đó = x *.6. chứng minh rằng chu kỳ 2 được đưa ra bởi (1.7.4) là thu hút nếu 3 < p < 1 + %/6.7. kiểm tra lại công thức (1.7.6). Sau đó hiển thị các chu kỳ 2 năm (1.7.4) là thu hút khi p = 1 + %/6.8. xác minh rằng p2 ~ 3,54 bằng cách sử dụng một máy tính hoặc máy tính.* 9. (Dự án). Thấy rằng bản đồ (x) = sinpx dẫn đến cùng một giá trịFeigenbaum số 5.10. Hiển thị rằng nếu p — p1 < e, sau đó | FP(x) — Fpi (x) | < e cho tất cả x G [0,1].11. Hiển thị đó (1.7.7) có thể được biến đổi phương trình logistic (1.7.8),2với c = 2-^ 4-.**12. (a) tìm cân bằng điểm y1, y2 (1.7.7).(b) tìm các giá trị của c mà yi * là thu hút hay không ổn định.*(c) tìm các giá trị của c mà y2 là thu hút hay không ổn định.

Kết quả (Việt) 2:

Câu hỏi B. Nếu có một thu hút khách hàng định kỳ (1.7.10), bao nhiêu điểm hội tụ về nó?
Một lần nữa, chúng ta cần nhiều máy móc hơn để trả lời câu hỏi này.
Câu hỏi C. Có thể có một vài attractors kỳ riêng biệt cho (1.7.10 )?
câu hỏi này dẫn chúng ta đến Li-Yorke nổi tiếng kết quả "thời Tam Ngụ ý Chaos" [92]. Để giải thích điều này và kết quả tổng quát hơn đòi hỏi các intro¬duction của cái gọi là đạo hàm Schwarzia của f (x). Chúng tôi sẽ trở lại với những câu hỏi trong chương 6.
Bài tập 1.7
Trừ khi có quy định, tất cả các vấn đề ở đây đề cập đến các phương trình khác biệt logistic (1.7.1).
1. Sử dụng sơ đồ bước cầu thang để vào [0,1], k = 1, 2, 3, ..., để demon¬strate mà F4 có ít nhất 2k điểm định kỳ của thời kỳ k (bao gồm điểm định kỳ của thời kỳ đó là ước của k).
2. Tìm các giải pháp chính xác của x (n + 1) = 4x (n) [1 - x (n)].
3. Cho x * = (p - 1) / p là điểm cân bằng của (1.7.1). Chứng minh rằng:
(i) Đối với 1 <p <3, x * là một điểm cố định thu hút.
(Ii) Đối với p> 3, x * là một chất chống thấm điểm cố định.
4. Chứng minh rằng lim "^ ĐẾN F2n (x) = 2 nếu 0 <x <1.
5. Hãy để 1 <p <2 và để cho x * = (p - 1) / p là điểm cân bằng của (1.7.1). Chứng minh rằng nếu x * <x <2, sau đó lim "^ ĐẾN Fn (x) = x *.
6. Chứng minh rằng 2 chu kỳ nhất định bởi (1.7.4) đang thu hút nếu 3 <p <1 +% / 6.
7. Xác minh công thức (1.7.6). Sau đó cho thấy 2 vòng trong (1.7.4) đang thu hút khi p = 1 +% / 6.
8. Xác minh rằng p2 ~ 3.54 sử dụng một máy tính hoặc một máy tính.
* 9. (Dự án). Cho thấy rằng các bản đồ (x) = sinpx dẫn đến cùng một giá trị
cho số Feigenbaum 5.
10. Chứng minh rằng nếu p - p1 <e thì | fp (x) - FPI (x) | <E với mọi x G [0,1].
11. Chứng minh rằng (1.7.7) có thể được chuyển thành các phương trình logistic (1.7.8),
2
với c = 2 -. ^ 4-
**
12. (a) Tìm các điểm cân bằng y1, y2 của (1.7.7).
(b) Tìm các giá trị của c nơi yi * đang thu hút hoặc không ổn định.
*
(c) Tìm các giá trị của c nơi y2 đang thu hút hoặc không ổn định.