Lazy random walk on the n-cycle is

Lazy random walk on the n-cycle is both irreducible and aperiodic for every n.
Remark 1.9. Establishing that a Markov chain is irreducible is not always
trivial; see Example B.5, and also Thurston (1990).
1.4. Random Walks on Graphs
Random walk on the n-cycle, which is shown in Figure 1.3, is a simple case of
an important type of Markov chain.
A graph G = (V, E) consists of a vertex set V and an edge set E, where
the elements of E are unordered pairs of vertices: E ⊂ {{x, y} : x, y ∈ V, x 6 = y}.
We can think of V as a set of dots, where two dots x and y are joined by a line if
and only if {x, y} is an element of the edge set. When {x, y} ∈ E, we write x ∼ y
and say that y is a neighbor of x (and also that x is a neighbor of y). The degree
deg(x) of a vertex x is the number of neighbors of x.
Given a graph G = (V, E), we can define simple random walk on G to be
the Markov chain with state space V and transition matrix

Kết quả (Việt) 1:

Lười biếng ngẫu nhiên đi vào chu kỳ n là irreducible và aperiodic cho mỗi n.Nhận xét 1.9. Thiết lập một xích Markov là irreducible là không luôn luôntầm thường; Xem ví dụ B.5, và cũng là Thurston (1990).1.4. ngẫu nhiên đi bộ trên đồ thịNgẫu nhiên đi ngày n-cycle, được thể hiện trong hình 1.3, là một trường hợp đơn giản củamột loại quan trọng của xích Markov.Đồ thị G = (V, E) bao gồm một tập đỉnh V và một tập cạnh E, nơiCác yếu tố của E được unordered cặp đỉnh: E ⊂ {{x, y}: x, y ∈ V, x 6 = y}.Chúng tôi có thể nghĩ về V như là một tập hợp các dấu chấm, nơi hai dots x và y được tham gia bởi một dòng nếuvà chỉ khi {x, y} là một phần tử của cạnh. Khi {x, y} ∈ E, ta viết x ∼ yvà nói rằng y là một người hàng xóm của x (và cũng rằng x là một người hàng xóm của y). Mức độdeg(x) của một đỉnh x là số láng giềng của x.Cho một đồ thị G = (V, E), chúng tôi có thể xác định đơn giản ngẫu nhiên đi trên G đượcChuỗi Markov với không gian trạng thái V và quá trình chuyển đổi ma trận

Kết quả (Việt) 2:

Bước đi ngẫu nhiên lười biếng trên n-chu kỳ là cả tối giản và không tuần hoàn cho mỗi n.
Ghi chú 1.9. Thiết lập một chuỗi Markov là tối giản không phải lúc nào cũng
tầm thường; xem Ví dụ B.5, và cũng Thurston (1990).
1.4. Random Walks trên đồ thị
đi bộ ngẫu nhiên trên n-chu, được thể hiện trong hình 1.3, là một trường hợp đơn giản của
một loại quan trọng của chuỗi Markov.
Một đồ thị G = (V, E) bao gồm một tập đỉnh V và thiết lập một cạnh E, nơi
các phần tử của E là các cặp có thứ tự của các đỉnh: E ⊂ {{x, y}: x, y ∈ V, x 6 = y}.
Chúng ta có thể nghĩ về V là một tập hợp các dấu chấm, nơi hai chấm và x y được nối bởi một dòng nếu
và chỉ nếu {x, y} là một phần tử của tập hợp cạnh. Khi {x, y} ∈ E, chúng ta viết x ~ y
và nói rằng y là một người hàng xóm của x (và cũng là x là một người hàng xóm của y). Mức độ
deg (x) của một đỉnh x là số hàng xóm của x.
Cho một đồ thị G = (V, E), chúng ta có thể xác định bước đi ngẫu nhiên đơn giản trên G là
chuỗi với không gian trạng thái V và ma trận chuyển đổi Markov