In Chapter 8 we introduced the conc

In Chapter 8 we introduced the concept of gravitational potential energy, which is the

energy associated with the configuration of a system of objects interacting via the gravi-
tational force. We emphasized that the gravitational potential-energy function mgy for a

particle–Earth system is valid only when the particle is near the Earth’s surface, where

the gravitational force is constant. Because the gravitational force between two particles

varies as 1/r 2, we expect that a more general potential-energy function—one that is

valid without the restriction of having to be near the Earth’s surface—will be signifi-

cantly different from U ! mgy.

Before we calculate this general form for the gravitational potential energy func-
tion, let us first verify that the gravitational force is conservative. (Recall from Section 8.3

that a force is conservative if the work it does on an object moving between any two

points is independent of the path taken by the object.) To do this, we first note that the

gravitational force is a central force. By definition, a central force is any force that is di-
rected along a radial line to a fixed center and has a magnitude that depends only on

the radial coordinate r. Hence, a central force can be represented by F(r)ˆ

r where ˆ

r is a

unit vector directed from the origin toward the particle, as shown in Figure 13.11.

Consider a central force acting on a particle moving along the general path ! to " in

Figure 13.11. The path from ! to " can be approximated by a series of steps according

to the following procedure. In Figure 13.11, we draw several thin wedges, which are

shown as dashed lines. The outer boundary of our set of wedges is a path consisting of

short radial line segments and arcs (gray in the figure). We select the length of the radial

dimension of each wedge such that the short arc at the wedge’s wide end intersects the ac-
tual path of the particle. Then we can approximate the actual path with a series of zigzag

movements that alternate between moving along an arc and moving along a radial line.

Kết quả (Việt) 1:

Ở chương 8, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về năng lượng tiềm năng hấp dẫn, đó là cácnăng lượng kết hợp với cấu hình của một hệ thống các đối tượng tương tác thông qua gravi-lực lượng tational. Chúng tôi nhấn mạnh rằng tiềm năng năng lượng hấp dẫn có chức năng mgy cho mộtHệ thống hạt-trái đất là hợp lệ chỉ khi các hạt gần bề mặt của trái đất, nơilực hấp dẫn là hằng số. Bởi vì lực hấp dẫn giữa hai hạtthay đổi là 1/r 2, chúng tôi hy vọng rằng một hàm năng lượng tiềm năng tổng quát hơn-một trong đó làhợp lệ không hạn chế phải ở gần bề mặt của trái đất-sẽ là signifi -cantly khác nhau từ U! MGY.Trước khi chúng tôi tính toán hình thức chung này cho hấp dẫn thế năng function, chúng ta trước tiên xác minh rằng lực hấp dẫn là bảo thủ. (Nhớ lại từ mục 8.3một lực lượng được bảo thủ nếu nó không làm việc trên một đối tượng di chuyển giữa bất kỳ haiđiểm là độc lập của con đường thực hiện bởi các đối tượng.) Để làm điều này, chúng tôi lần đầu tiên lưu ý rằng cáclực hấp dẫn là lực lượng Trung tâm. Theo định nghĩa, một lực lượng Trung tâm là bất kỳ lực lượng đó là di-rected dọc theo một bố trí hình tròn xếp hàng đến một trung tâm cố định và có một cường độ mà phụ thuộc chỉ vàor. tọa độ xuyên tâm do đó, một lực lượng Trung tâm có thể được đại diện bởi F(r) liênr đâu liênr là mộtvector đơn vị đạo diễn từ nguồn gốc đối với các hạt, như minh hoạ trong hình 13.11.Hãy xem xét một lực lượng Trung tâm tác động lên một hạt chuyển động dọc theo con đường chung! để "trongCon số 13.11. Con đường từ! để "có thể được ước chừng bằng một loạt các bước theothủ tục sau đây. Trong hình 13.11, chúng tôi rút ra một số mỏng wedges,Hiển thị như là dòng tiêu tan. Ranh giới phía ngoài của chúng tôi thiết lập của wedges là một con đường gồmphân đoạn ngắn đường tròn và vòng cung (màu xám trong hình). Chúng tôi lựa chọn chiều dài của hình trònKích thước của mỗi nêm sao cho ngắn arc của nêm rộng cuối cắt ac-Tual các đường đi của hạt. Sau đó chúng tôi có thể xác định đường dẫn thực tế với một loạt các zigzagphong trào Luân phiên giữa các di chuyển dọc theo một vòng cung và di chuyển dọc theo một đường tròn.

Kết quả (Việt) 2:

Trong chương 8, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về thế năng hấp dẫn, đó là

năng lượng kết hợp với cấu hình của một hệ thống các đối tượng tương tác thông qua các gravi-
lực tational. Chúng tôi nhấn mạnh rằng các chức năng tiềm năng năng lượng MGY hấp dẫn cho một

hệ thống hạt trái đất chỉ có hiệu lực khi các hạt ở gần bề mặt trái đất, nơi mà

lực hấp dẫn là không đổi. Bởi vì lực hấp dẫn giữa hai hạt

khác nhau như là 1 / r 2, chúng tôi hy vọng rằng một tiềm năng năng lượng chức năng một tổng quát hơn đó là

hợp lệ mà không có sự hạn chế của việc phải được ở gần Trái đất bề mặt sẽ signifi-

đáng khác nhau từ U! MGY.

Trước khi chúng tôi tính toán dạng này nói chung về tiềm năng năng lượng hàm hấp dẫn
sự, chúng ta hãy đầu tiên xác minh rằng lực hấp dẫn là bảo thủ. (Nhớ lại từ Phần 8.3

rằng một lực lượng bảo thủ, nếu làm nó trên một đối tượng di chuyển giữa hai

điểm là độc lập với đường đi của đối tượng). Để làm được điều này, đầu tiên chúng ta lưu ý rằng

lực hấp dẫn là một lực lượng trung tâm. Theo định nghĩa, một lực lượng trung tâm là một thế lực nào đó là di-
rected dọc theo một đường xuyên tâm đến một trung tâm cố định và có độ lớn mà chỉ phụ thuộc vào

sự phối hợp xuyên r. Do đó, một lực lượng trung ương có thể được đại diện bởi F (r)

r với

r là

vector đơn vị trực tiếp từ nguồn gốc đối với các hạt, như thể hiện trong hình 13.11.

Hãy xem xét một lực lượng trung diễn xuất trên một hạt chuyển động dọc theo con đường nói chung! để "trong

hình 13.11. Con đường từ! để" có thể được xấp xỉ bằng một loạt các bước theo

các thủ tục sau đây. Trong hình 13.11, chúng tôi rút ra một số nêm mỏng, được

hiển thị như đường đứt nét. Ranh giới ngoài của bộ của chúng ta nêm là một con đường bao gồm

các đoạn đường xuyên tâm ngắn hạn và vòng cung (màu xám trong hình vẽ). Chúng tôi chọn chiều dài của hình tròn

kích thước của mỗi nêm như vậy mà hồ quang ngắn ở góc rộng của nêm giao với ac-
đường tual của hạt. Sau đó, chúng ta có thể gần đúng đường dẫn thực tế với một loạt các ngoằn ngoèo

phong trào mà luân phiên giữa di chuyển dọc theo một vòng cung và di chuyển dọc theo một đường tròn.