We will see below that every pair o

We will see below that every pair of elements in F[x] has a greatest common divisor, which is unique up to multiplying it by a nonzero element of F. We write gcd(a,b) for the unique monic polynomial that is a greatest common divisor of a and b.
Example 2.46. The greatest common divisor of x2 − 1 and x3 + 1 is x + 1.
Notice that
x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) and x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1),
so x+1 is a common divisor. We leave it to you to check that it is the greatest common divisor.
It is not clear, a priori, that every pair of elements has a greatest common divisor. And indeed, there are many rings in which greatest common divisors do not exist, for example in the ring Z[x]. But greatest common divisors do exist in the polynomial ring F[x] when F is a field.
Proposition 2.47 (The extended Euclidean algorithm for F[x]). Let F be a field and let a and b be polynomials in F[x] with b = 0 . Then the greatest common divisor d of a and b exists, and there are polynomials u and v in F[x] such that
a • u + b • v = d.
Proof. Just as in the proof of Theorem 1.7, the polynomial gcd(a,b) can be computed by repeated application of Proposition 2.45, as described in Figure 2.3. Similarly, the polynomials u and v can be computed by substituting one equation into another in Figure 2.3, exactly as described in the proof of Theorem 1.11.
Example 2.48. We use the Euclidean algorithm in the ring F13[x] to compute gcd(x5 − 1,x3 + 2x − 3):

Kết quả (Việt) 1:

Chúng ta sẽ thấy bên dưới mỗi cặp các yếu tố trong F [x] có một ước chung lớn nhất, mà là duy nhất đến nhân nó bởi một yếu tố nonzero của F. Chúng tôi viết gcd(a,b) cho đa thức monic duy nhất là một ước chung lớn nhất của một và b.Ví dụ 2,46. Ước chung lớn nhất của x 2 − 1 và x 3 + 1 là x + 1.Nhận thấy rằng x 2 − 1 = (x + 1)(x − 1) và x 3 + 1 = (x + 1) (x 2 − x + 1),Vì vậy, x + 1 là một ước chung. Chúng tôi rời khỏi nó để bạn kiểm tra rằng nó là ước số chung lớn nhất.Nó là không rõ ràng, một tiên nghiệm, mỗi cặp của các nguyên tố có một ước chung lớn nhất. Và thực sự, có nhiều vòng, trong đó lớn nhất thường thức không tồn tại, ví dụ trong vòng Z [x]. Nhưng lớn nhất thường thức tồn tại trong đa thức vòng F [x] khi F là một lĩnh vực.Döï Luaät 2,47 (mở rộng giải thuật Euclid cho F[x]). Cho F là một lĩnh vực và cho một và b là đa thức FA [x] với b = 0. Sau đó lớn nhất ước chung d của một và b tồn tại, và có là đa thức bạn và v trong F [x] như vậy mà• u + b • v = d.Bằng chứng. Giống như trong chứng minh định lý 1.7, gcd(a,b) đa thức có thể được tính bởi các ứng dụng lặp đi lặp lại của đề xuất 2,45, như được mô tả trong hình 2.3. Tương tự, các đa thức bạn và v có thể được tính bằng cách thay thế một phương trình vào nhau trong hình 2.3, chính xác như mô tả trong giấy tờ chứng minh định lý 1.11. Ví dụ 2,48. Chúng tôi sử dụng các thuật toán Euclid trong vòng F13 [x] để tính toán ƯCLN (x 5 − 1, x 3 + 2 x − 3):

Kết quả (Việt) 2:

Chúng ta sẽ thấy dưới đây mà mỗi cặp phần tử trong F [x] có một ước số chung lớn nhất, mà là duy nhất đến nhân nó bằng một yếu tố khác không của F. Chúng tôi viết gcd (a, b) cho các đa thức Monic duy nhất đó là một ước số chung lớn nhất của a và b.
Ví dụ 2.46. Số chia lớn nhất chung của x2 - 1 và x3 + 1 là x + 1.
Chú ý rằng
x2 - 1 = (x + 1) (x - 1) và x3 + 1 = (x + 1) (x2 - x + 1) ,
nên x + 1 là một ước chung. Chúng tôi để nó vào bạn để kiểm tra xem nó là ước chung lớn nhất.
Nó không phải là rõ ràng, một ưu tiên, mà mỗi cặp phần tử có một ước số chung lớn nhất. Và quả thực, có rất nhiều vòng, trong đó các ước chung lớn nhất không tồn tại, ví dụ như trong vòng Z [x]. Nhưng ước chung lớn nhất tồn tại trong vòng đa thức F [x] khi F là một lĩnh vực.
Dự 2.47 (Thuật toán Euclid mở rộng cho F [x]). Hãy để F là một lĩnh vực và để cho a và b là các đa thức trong [x] F với b = 0. Sau đó, ước số chung lớn nhất d của a và b tồn tại, và có đa thức u và v trong F [x] như vậy mà
một • u + v = b • d.
Chứng minh. Cũng như trong chứng minh của định lý 1.7, các đa thức gcd (a, b) có thể được tính bằng cách áp dụng lặp đi lặp lại của Dự 2,45, như được mô tả trong hình 2.3. Tương tự như vậy, các đa thức u và v có thể được tính bằng cách thay thế một phương trình vào một hình 2.3, chính xác như mô tả trong chứng minh của định lý 1.11.
Ví dụ 2.48. Chúng tôi sử dụng các thuật toán Euclide trong vòng F13 [x] để tính gcd (x5 - 1, x3 + 2x - 3):