vector u is said to be dominant, or

vector u is said to be dominant, or better than the solution x(2) with performance vector v, if

both the following conditions hold: (i) the solution x(1) is no worse than x(2) in all objectives

and (ii) the solution x(1) is strictly better than x(2) in at least one objective. This notion can be

generalized in the following equation:

u ≺ v iff [∀i ∈ {1, 2,..., n}, ui ≤ vi] ∩ [∃i ∈ {1, 2,..., n}|ui < vi] (7.14)

where it holds that u ≺ v ⇔ x(1) ≺ x(2). For a given finite set of solutions, we need to perform

pairwise comparisons to find out which solutions dominate and which are dominated. From

these comparisons, we can find a subset of the finite set of solutions such that any two solutions

which do not dominate each other, and all the other solutions of the finite set, are dominated

by one or more members of this subset. This subset is called the non-dominated set for the

given set of solutions. A solution is said to be Pareto-optimal if it is not dominated by any

other possible solution. This is described by:

x(1) ∈ xPO iff ∃/ x(2) ∈ |x(2) ≺ x(1) (7.15)

where xPO is the set of Pareto optimal solutions and is the set of all feasible solutions.

The Pareto front is the set of points in the criterion space that correspond to Pareto-optimal

solutions.

In an MOEA, a randomly selected population is generated within a specific range. Each

individual of the population is evaluated with the objective functions. Figure 7.1 shows many

solutions trading off differently between the objectives for a two-objective minimization

problem. Any two solutions from the feasible objective space can be compared. For a pair of

solutions, it can be seen that one solution is better than the other in the first objective but worse

in the second objective. The individuals that fall close to either axes or the origin of the two-
dimensional objective space are better than those away from the axes or origin. In the objective

Kết quả (Việt) 1:

vector u nói được chi phối, hoặc tốt hơn so với giải pháp x(2) với hiệu suất vector v, nếuGiữ cả hai điều kiện sau: (i) x(1) giải pháp là không tồi tệ hơn x(2) trong tất cả các mục tiêuvà (ii) giải pháp x(1) là nghiêm ngặt hơn x(2) trong ít nhất một mục tiêu. Khái niệm này có thểTổng quát trong phương trình sau đây:u ≺ v iff [∀i ∈ {1, 2,..., n}, giao diện người dùng ≤ vi] ∩ [∃i ∈ {1, 2,..., n} |ui < vi] (7.14)nơi mà nó giữ rằng u ≺ v ⇔ x(1) ≺ x(2). Cho một tập hữu hạn nhất định của giải pháp, chúng ta cần phải thực hiệncử so sánh để tìm ra giải pháp mà thống trị và đó bị áp đảo. Từnhững so sánh, chúng tôi có thể tìm thấy một tập hợp con của hữu hạn thiết lập của giải pháp như vậy rằng bất cứ hai giải phápmà không làm chiếm ưu thế lẫn nhau, và tất cả các giải pháp khác của bộ hữu hạn, bị áp đảobởi một hoặc nhiều thành viên của nhóm này. Tập con này được gọi là tập hợp phòng không chủ yếu cho cáctập hợp các giải pháp. Một giải pháp được gọi là tối ưu Pareto nếu nó không bị chi phối bởi bất kỳgiải pháp có thể. Điều này được mô tả bởi:x(1) ∈ xPO iff ∃ / x(2) ∈ |x(2) ≺ x(1) (7,15)nơi xPO là tập hợp của Pareto giải pháp tối ưu và là tập hợp của tất cả các giải pháp khả thi.Phía trước Pareto là tập hợp các điểm trong không gian tiêu chuẩn tương ứng phải tối ưu Paretogiải pháp.Trong một MOEA, một dân số lựa chọn ngẫu nhiên được tạo ra trong một phạm vi cụ thể. Mỗicá nhân dân được đánh giá với các chức năng mục tiêu. Hình 7,1 cho thấy nhiềugiải pháp thương mại ra một cách khác nhau giữa các mục tiêu cho một hai-mục tiêu giảm thiểuvấn đề. Bất kỳ giải pháp hai từ không gian mục tiêu khả thi có thể được so sánh. Cho một cặpgiải pháp, nó có thể được nhìn thấy rằng một giải pháp là tốt hơn so với khác trong mục tiêu đầu tiên nhưng tồi tệ hơntrong mục tiêu thứ hai. Các cá nhân rơi gần với trục hoặc nguồn gốc của hai-không gian chiều của mục tiêu tốt hơn so với những người xa trục hoặc nguồn gốc. Trong mục tiêu

Kết quả (Việt) 2:

vector u được cho là chi phối, hoặc tốt hơn (2) giải pháp x với vector hiệu suất v, nếu cả hai điều kiện sau đây giữ: (i) các giải pháp x (1) là không tồi tệ hơn x (2) trong tất cả các mục tiêu và (ii) các giải pháp x (1) là đúng hơn x (2) trong ít nhất một mục tiêu. Khái niệm này có thể được khái quát trong các phương trình sau: u ≺ v iff [∀i ∈ {1, 2, ..., n}, ui ≤ vi] ∩ [∃i ∈ {1, 2, ..., n} | ui <vi] (7.14) mà nó cho rằng u ≺ v ⇔ x (1) ≺ x (2). Đối với một tập hợp hữu hạn được đưa ra các giải pháp, chúng ta cần phải thực hiện các so sánh cặp để tìm ra các giải pháp chi phối và được thống trị. Từ những so sánh này, chúng ta có thể tìm thấy một tập hợp con của tập hợp hữu hạn của các giải pháp như vậy mà bất kỳ hai giải pháp mà không chiếm ưu thế cho nhau, và tất cả các giải pháp khác của các tập hữu hạn, bị chi phối bởi một hoặc nhiều thành viên của nhóm này. Tập hợp này được gọi là tập không bị chi phối cho các tập hợp các giải pháp. Một giải pháp được cho là tối ưu Pareto-nếu nó không bị chi phối bởi bất kỳ giải pháp khác có thể có. Điều này được mô tả bởi: x (1) ∈ XPO iff ∃ / x (2) ∈ | x (2) ≺ x (1) (7.15), nơi XPO là tập hợp của Pareto giải pháp tối ưu và là tập hợp của tất cả các giải pháp khả thi. Mặt trước Pareto là tập hợp các điểm trong không gian tiêu chuẩn tương ứng với Pareto tối ưu giải pháp. Trong một MOEA, dân cư lựa chọn ngẫu nhiên được tạo ra trong một phạm vi cụ thể. Mỗi cá nhân của dân số được đánh giá với chức năng khách quan. Hình 7.1 cho thấy nhiều giải pháp kinh doanh tắt khác nhau giữa các mục tiêu cho một giảm thiểu hai quan vấn đề. Bất kỳ hai giải pháp từ các không gian Mục tiêu khả thi có thể được so sánh. Đối với một cặp của các giải pháp, có thể thấy rằng một trong những giải pháp là tốt hơn so với các khác trong mục tiêu đầu tiên nhưng tệ hơn trong mục tiêu thứ hai. Các cá nhân mà rơi gần một trong hai trục hoặc nguồn gốc của hai không gian quan chiều là tốt hơn so với những người xa các trục hoặc nguồn gốc. Trong mục tiêu