By switching to this thinking, they

By switching to this thinking, they were able to utilize a representative rectangle, characteristic of the adding up pieces symbolic form, to describe how R and dt interacted via multiplication to produce . Then, as Clay stated, all of the “numbers of revolutions” over each piece are “added up” to capture the total number of revolutions the motor experienced during the entire 10-hour period. As discussed before, the students throughout the interviews used the differential, such as “dt,” as part of the rectangle to imply that they conceived of the rectangle as having an infinitesimal width. This conceptually allows for infinitely many slices to be placed under the curve, which permits the consideration of calculating an exact value, as opposed to an approximation.Thus, the adding up pieces conception, together with its signature feature of a representative rectangle, was productive for these students, even where the anti-derivative and area under a curve interpretations failed to be (see Fig. 4). Ironically this conceptualization gave rise to a meaning for what the area represented, even when the area conception itself was unable to.

Kết quả (Việt) 1:

Chuyển đổi sang suy nghĩ này, họ đã có thể sử dụng một hình chữ nhật đại diện, đặc trưng của thêm lên miếng hình thức biểu tượng, để mô tả cách R và dt tương tác thông qua nhân để sản xuất. Sau đó, như đất sét đã nêu, tất cả các "số lượng cách mạng" trong mỗi phần được "thêm" để nắm bắt số cuộc cách mạng, tất cả các động cơ có kinh nghiệm trong giai đoạn 10 giờ toàn bộ. Như thảo luận trước, các sinh viên trong suốt các cuộc phỏng vấn sử dụng vi phân, chẳng hạn như "dt," như là một phần của hình chữ nhật để ngụ ý rằng họ hình thành của các hình chữ nhật có chiều rộng infinitesimal một. Điều này khái niệm cho phép vô hạn nhiều lát được đặt dưới đường cong, cho phép xem xét tính toán một giá trị chính xác, như trái ngược với một xấp xỉ. Vì vậy, thêm lên miếng quan niệm, cùng với các tính năng chữ ký của một hình chữ nhật đại diện, được sản xuất cho các sinh viên, ngay cả nơi chống đạo hàm và các khu vực dưới một diễn giải đường cong không phải (xem hình 4). Trớ trêu thay conceptualization này đã tăng lên đến một ý nghĩa cho những gì khu vực đại diện, ngay cả khi những quan niệm tích chính nó là không thể.

Kết quả (Việt) 2:

Bằng cách chuyển sang tư duy này, họ đã có thể sử dụng một hình chữ nhật đại diện, đặc trưng của việc thêm lên miếng hình thức tượng trưng, ​​để mô tả cách R và DT tương tác thông qua phép nhân để sản xuất. Sau đó, như Clay nói, tất cả các "con số của các cuộc cách mạng" trên mỗi mảnh được "bổ sung" để nắm bắt tổng số vòng quay động cơ kinh nghiệm trong toàn bộ giai đoạn 10 giờ. Như đã thảo luận trước đó, các học sinh trong suốt cuộc phỏng vấn sử dụng sự khác biệt, chẳng hạn như "dt", như là một phần của hình chữ nhật để ngụ ý rằng họ quan niệm của hình chữ nhật là có một chiều rộng vô cùng. Điều này cho phép cho khái niệm vô hạn lát để được đặt dưới đường cong, mà cho phép xem xét tính toán một giá trị chính xác, như trái ngược với một approximation.Thus, việc thêm lên miếng thai, cùng với tính năng chữ ký của đại diện một hình chữ nhật, được sản xuất cho các em học sinh, kể cả trường hợp chống phái sinh và diện tích dưới đường cong một cách giải thích không được (xem hình. 4). Trớ trêu thay khái niệm này đã dẫn đến một ý nghĩa cho những gì khu vực biểu diễn, thậm chí khi thụ thai ở khu vực đó là không thể.