(x2 −1)2+2(x−1)2 ≥ 0,which is clear

(x2 −1)2+2(x−1)2 ≥ 0,
which is clearly true.
The second example appeared at the Romanian Mathematical Olympiad in 1981,
proposed by T. Andreescu.
Determine whether there exists a one-to-one function f : R→R with the property
that for all x,
f (x2)−( f (x))2 ≥ 1
4
.
We will show that such functions do not exist. The idea is extremely simple: look
at the two numbers that are equal to their squares, namely x = 0 and x = 1, for which
f (x) and f (x2) are equal. Plugging x = 0 into the relation, we obtain
f (0)−( f (0))2 ≥ 1
4
.
Moving everything to the right side yields
0 ≥

f (0)− 1
2
2
.
This implies f (0) = 12
. Similarly, plugging x = 1 we obtain f (1) = 12
, which is the
same as f (0), and so f cannot be one-to-one.
We list below a number of problems that can be solved by applying similar ideas.

Kết quả (Việt) 1:

(x 2 −1) 2 + 2 (x−1) 2 ≥ 0,đó là sự thật rõ ràng.Ví dụ thứ hai xuất hiện tại Romania Olympic toán năm 1981,đề nghị của T. Andreescu.Xác định cho dù có tồn tại một-một hàm f: R→R với các tài sảnmà với mọi x,f (x 2) − (f (x)) 2 ≥ 14.Chúng tôi sẽ hiển thị rằng chức năng như vậy không tồn tại. Ý tưởng là rất đơn giản: nhìntại hai con số là tương đương với của hình vuông, cụ thể là x = 0 và x = 1, màf (x) và f (x 2) đều được bình đẳng. Cắm x = 0 vào mối quan hệ, chúng tôi có đượcf (0) − (f (0)) 2 ≥ 14.Di chuyển tất cả mọi thứ để sản lượng bên phải0 ≥f (0) − 122.Điều này ngụ ý f (0) = 12. Tương tự, cắm x = 1 chúng ta có được f (1) = 12, đó là cáctương tự như f (0), và f vì vậy không thể được-một.Chúng tôi liệt kê dưới đây một số vấn đề có thể được giải quyết bằng cách áp dụng những ý tưởng tương tự.

Kết quả (Việt) 2:

(x2 -1) 2 + 2 (x-1) 2 ≥ 0,
mà rõ ràng là đúng.
Ví dụ thứ hai xuất hiện tại Rumani thi Olympic Toán học năm 1981,
bởi T. Andreescu đề xuất.
Xác định liệu có tồn tại một one-to- hàm f: R → R với các tài sản
đó cho tất cả x,
f (x2) - (f (x)) 2 ≥ 1 4. Chúng ta sẽ thấy các chức năng như vậy không tồn tại. Ý tưởng rất đơn giản: hãy nhìn vào hai con số đó là bằng hình vuông của họ, cụ thể là x = 0 và x = 1, mà f (x) và f (x2) đều bình đẳng. Cắm x = 0 vào các mối quan hệ, chúng ta có được f (0) - (f (0)) 2 ≥ 1 4. Di chuyển tất cả mọi thứ để lợi suất bên phải 0 ≥? F (0) - 1 2? 2. Điều này có nghĩa f ( 0) = 12. Tương tự như vậy, cắm x = 1 chúng ta có được f (1) = 12, đó là giống như f (0), và như vậy e không thể là một-một. Chúng tôi liệt kê dưới đây một số vấn đề mà có thể được giải quyết bằng cách áp dụng những ý tưởng tương tự.