2. Notations and basic definitionsWe

2. Notations and basic definitions

We first recall some necessary notions (for more details, we refer to [2]). Let A be a finite alphabet. As usual, A⁄ is the free monoid of all finite words over A. The empty word is denoted by e and A+ = A⁄ — {e}. The length of the word w = a1a2•• •an with ai 2 A is jwj = n, jej = 0. A6n = {w 2 A⁄jjwj 6 n}. A factorization of a word w 2 A⁄ on X, where X # A⁄, is given by the equation w = u1u2•• •un where u1, u2, .. ., un 2 X, n P 1. A subset of A⁄ is called a language. A language X # A+ is a code if every word
w in A⁄ has at most one factorization on X. We denote by X⁄ the submonoid generated by X and X⁄ = X+ [ {e}.
As a general reference for cryptosystems we mention [18], and for the facts concerning the unambiguous languages we refer to [7]. We need also two basic definitions:

Definition 1. A cryptosystem is a five-tuple ðP; C; K; E; DÞ, where the following conditions are satisfied:
1. P is a finite set of possible original (plain) words
2. C is a finite set of possible encoded words
3. K is a finite set of possible keys
4. For each K 2 K, there is an encoding rule eK 2 E and a corresponding decoding rule dK 2 D. Each eK : P ! C and dK : C ! P
are functions such that dK(eK(x)) = x for every x 2 P.

Definition 2. Consider a language X # A+ and a natural number k P 0. Then,

(i) The set X is said to be k-unambiguous if it satisfies the condition: for all k P m P 1 and for all x1, x2, .. ., xk, y1, y2, .. ., ym 2 X, if x1x2•• •xk = y1y2•• •ym, then k = m and xi = yi with i = 1, .. ., k.
In the converse case, if X does not satisfy the above condition, then X is said to be k-ambiguous.
(ii) If there exists the biggest integer k such that X is k-unambiguous, then k is called the unambiguous degree of X. If such an integer does not exist, then X is said to have the unambiguous degree of 1.

Kết quả (Việt) 1:

2. notations và cơ bản definitionsChúng tôi chính thu hồi một số khái niệm cần thiết (cho biết thêm chi tiết, chúng tôi chỉ đến [2]). Giả sử A là một bảng chữ cái finite. Như thường lệ, A⁄ là monoid miễn phí của tất cả các từ finite qua A. Từ có sản phẩm nào được kí hiệu bởi e và A + = A⁄ — {e}. Chiều dài từ w = a1a2•• •an với gia cầm 2 A là jwj = n, jej = 0. A6n = {w 2 A⁄jjwj 6 n}. Một factorization một từ w 2 A⁄ trên X, trong trường hợp X # A⁄, được cho bởi phương trình w = u1u2•• •un nơi u1, u2,... ., Liên Hiệp Quốc 2 X, n P 1. Một tập hợp con của A⁄ được gọi là một ngôn ngữ. Một ngôn ngữ X # A + là một mã số nếu mỗi từw trong A⁄ có tối đa một factorization trên X. Chúng tôi biểu thị bởi X⁄ submonoid được tạo ra bởi X và X⁄ = X + [{e}.Như là một tài liệu tham khảo chung cho cryptosystems, chúng tôi đề cập đến [18], và để các sự kiện liên quan đến ngôn ngữ rõ ràng chúng tôi tham khảo [7]. Chúng ta cần cũng có hai definitions cơ bản:Definition 1. Cryptosystem một là một ðP five-tuple; C; K; E; DÞ, nơi mà các điều kiện sau đây là satisfied:1. P là một tập hợp finite có thể ban đầu (đồng bằng) từ2. C là một tập hợp finite có thể được mã hóa từ3. K là một tập finite có thể khóa4. đối với mỗi 2 K K, đó là một quy tắc mã hóa eK 2 E và một giải mã tương ứng quy tắc dK mất 2 Mỗi eK: P! C và dK: C! Pcó chức năng như vậy mà dK(eK(x)) = x cho mỗi 2 x P.Definition 2. Xem xét một ngôn ngữ X # A + và một số tự nhiên k P 0. Sau đó,(i) tập X được gọi là k-rõ ràng nếu nó satisfies điều kiện: tất cả k P m P 1 và cho tất cả x 1, x 2,... ., xk, y1, y2,... ., ym 2 X, nếu x1x2•• •xk = y1y2•• •ym, sau đó k = m và xi = yi với i = 1,... ., k.Trong trường hợp ngược lại, nếu X không đáp ứng các điều kiện ở trên, sau đó X được gọi là k-mơ hồ.(ii) nếu có tồn tại chiếc lớn nhất số nguyên k như vậy rằng X là k-rõ ràng, sau đó k được gọi là mức độ rõ ràng của X. Nếu một số nguyên không tồn tại, sau đó X nói phải rõ ràng mức độ 1.

Kết quả (Việt) 2:

2. Ký hiệu và cơ bản nitions fi de Chúng fi đầu tiên nhớ lại một số khái niệm cần thiết (để biết thêm chi tiết, chúng tôi tham khảo [2]). Cho A là một bảng chữ cái hữu hạn. Như thường lệ, A/ là monoid miễn phí tất cả các từ fi nite qua A. Từ rỗng được ký hiệu là e và A + = A/ - {e}. Chiều dài của từ w = a1a2 •• • một với ai 2 A là jwj = n, jej = 0. A6n = {w 2 A/jjwj 6 n}. Một nhân tử của một từ w 2 A/ trên X, trong đó X # A/, được cho bởi phương trình w = u1u2 •• • un nơi u1, u2, ..., Un 2 X, n P 1. Một tập hợp con của A/ được gọi là ngôn ngữ. Một ngôn ngữ X # A + là một mã nếu mỗi từ w trong A/ có ít nhất một thừa số trên X. Chúng tôi biểu thị bởi X/ các submonoid tạo bởi X và X/ = X + [{e}. Như một tham chiếu chung của hệ thống mã hóa chúng tôi đề cập đến [18], và cho các sự kiện liên quan đến ngôn ngữ rõ ràng, chúng tôi tham khảo [7]. Chúng tôi cũng cần hai nitions de fi cơ bản: De fi Định nghĩa 1. Một hệ mật là một fi ve-tuple DP; C; K; E; DTH, nơi các điều kiện sau đây được đáp ứng: 1. P là một tập hợp hữu hạn của thể ban đầu (đồng bằng) từ 2. C là một tập hữu hạn các từ mã hóa có thể 3. K là một tập hợp hữu hạn của thể khóa 4. Đối với mỗi K 2 K, có một nguyên tắc mã hóa eK 2 E và một quy tắc giải mã tương ứng DK 2 D. Mỗi eK: P! C và dk: C! P là những chức năng như vậy mà DK (eK (x)) = x với mọi x 2 P. De fi Định nghĩa 2. Xem xét một ngôn ngữ X # A + và một số tự nhiên k P 0. Sau đó, (i) Các tập X được cho là k -unambiguous nếu nó thỏa mãn es điều kiện:.. cho tất cả k P m P 1 và cho tất cả x1, x2, .., xk, y1, y2, .., ym 2 X, nếu x1x2 •• • xk = y1y2 •• • ym, sau đó k = m và xi = yi với i = 1, ..., k. Trong trường hợp ngược lại, nếu X không đáp ứng các điều kiện nêu trên, sau đó X được cho là k-không rõ ràng. (ii) Nếu có tồn tại các số nguyên k lớn nhất sao cho X là k-rõ ràng, sau đó k được gọi là mức độ rõ ràng của X. Nếu một số nguyên như vậy không tồn tại, sau đó X được cho là có mức độ rõ ràng của 1.