Fractal DimensionStudents (and teac

Fractal Dimension

Students (and teachers) are often fascinated by the fact that certain geometric images have fractional dimension. The Sierpinski triangle provides an easy way to explain why this must be so.

To explain the concept of fractal dimension, it is necessary to understand what we mean by dimension in the first place. Obviously, a line has dimension 1, a plane dimension 2, and a cube dimension 3. But why is this? It is interesting to see students struggle to enunciate why these facts are true. And then: What is the dimension of the Sierpinski triangle?

They often say that a line has dimension 1 because there is only 1 way to move on a line. Similarly, the plane has dimension 2 because there are 2 directions in which to move. Of course, there really are 2 directions in a line -- backward and forward -- and infinitely many in the plane. What the students really are trying to say is there are 2 linearly independent directions in the plane. Of course, they are right. But the notion of linear independence is quite sophisticated and difficult to articulate. Students often say that the plane is two-dimensional because it has ``two dimensions,'' meaning length and width. Similarly, a cube is three-dimensional because it has ``three dimensions,'' length, width, and height. Again, this is a valid notion, though not expressed in particularly rigorous mathematical language.

Another pitfall occurs when trying to determine the dimension of a curve in the plane or in three-dimensional space. An interesting debate occurs when a teacher suggests that these curves are actually one-dimensional. But they have 2 or 3 dimensions, the students object.

So why is a line one-dimensional and the plane two-dimensional? Note that both of these objects are self-similar. We may break a line segment into 4 self-similar intervals, each with the same length, and ecah of which can be magnified by a factor of 4 to yield the original segment. We can also break a line segment into 7 self-similar pieces, each with magnification factor 7, or 20 self-similar pieces with magnification factor 20. In general, we can break a line segment into N self-similar pieces, each with magnification factor N.

A square is different. We can decompose a square into 4 self-similar sub-squares, and the magnification factor here is 2. Alternatively, we can break the square into 9 self-similar pieces with magnification factor 3, or 25 self-similar pieces with magnification factor 5. Clearly, the square may be broken into N^2 self-similar copies of itself, each of which must be magnified by a factor of N to yield the original figure. See Figure 8. Finally, we can decompose a cube into N^3 self-similar pieces, each of which has magnification factor N.

Kết quả (Việt) 1:

Kích thước fractalSinh viên (và giáo viên) thường bị cuốn hút bởi thực tế là một số hình ảnh có kích thước phân đoạn. Tam giác Sierpinski cung cấp một cách dễ dàng để giải thích tại sao điều này phải như vậy.Để giải thích các khái niệm về kích thước fractal, nó là cần thiết để hiểu những gì chúng tôi có ý nghĩa bởi kích thước ở nơi đầu tiên. Rõ ràng, một dòng có kích thước 1, kích thước máy bay 2, và một kích thước khối 3. Nhưng tại sao điều này? Nó là thú vị để xem sinh viên đấu tranh để enunciate lý do tại sao những sự kiện này là có thật. Và sau đó: kích thước của tam giác Sierpinski là gì?Họ thường nói rằng một dòng có kích thước 1, bởi vì chỉ có 1 cách để di chuyển trên một dòng. Tương tự như vậy, chiếc máy bay có kích thước 2 vì có 2 hướng dẫn trong đó để di chuyển. Tất nhiên, có thực sự là 2 hướng theo một đường - lạc hậu và chuyển tiếp - và có nhiều người trong máy bay vô hạn. Những gì các học sinh thật sự đang cố gắng để nói là có 2 hướng tuyến tính độc lập trong máy bay. Tất nhiên, họ có quyền. Nhưng khái niệm độc lập tuyến tính là khá phức tạp và khó khăn để nói lên. Sinh viên thường nói rằng máy bay hai chiều bởi vì nó có '' hai chiều,'' có nghĩa là chiều dài và chiều rộng. Tương tự, một khối lập phương là ba chiều bởi vì nó có '' ba chiều,'' chiều dài, chiều rộng và chiều cao. Một lần nữa, đây là một khái niệm hợp lệ, mặc dù không bày tỏ bằng ngôn ngữ toán học đặc biệt khắt khe.Một pitfall xảy ra khi cố gắng để xác định kích thước của một đường cong trên mặt phẳng hoặc trong không gian ba chiều. Một cuộc tranh luận thú vị xảy ra khi một giáo viên gợi ý rằng những đường cong được thực sự hết. Nhưng họ có kích thước 2 hoặc 3, các đối tượng học sinh.Vậy tại sao là một chiều và máy bay hai chiều? Lưu ý rằng cả hai của các đối tượng tương tự tự. Chúng tôi có thể phá vỡ một đoạn đường vào khoảng thời gian tương tự như tự 4, với chiều dài tương tự, và ecah trong đó có thể được phóng đại bởi một nhân tố của 4 mang lại các phân đoạn ban đầu. Chúng tôi cũng có thể phá vỡ một đoạn đường vào 7 tự tương tự như miếng, mỗi yếu tố phóng đại 7 hoặc 20 miếng tự tương tự với các yếu tố phóng đại 20. Nói chung, chúng tôi có thể phá vỡ một đoạn đường thành miếng tương tự như tự N, mỗi yếu tố phóng đại N.Hình vuông là khác nhau. Chúng tôi có thể phân hủy một hình vuông thành 4 ô vuông giống tự phụ, và các yếu tố phóng đại ở đây là 2. Ngoài ra, chúng tôi có thể phá vỡ các hình vuông vào 9 mảnh tự tương tự với các yếu tố phóng đại 3, hoặc 25 mảnh tự tương tự với yếu tố phóng đại 5. Rõ ràng, hình vuông có thể được chia thành N ^ 2 tự tương tự như các bản sao của chính nó, mỗi trong số đó phải được phóng đại một yếu tố của N để mang lại các con số ban đầu. Xem hình 8. Cuối cùng, chúng tôi có thể phân hủy một khối thành N ^ 3 miếng tự tương tự, mỗi trong số đó có yếu tố phóng đại N.

Kết quả (Việt) 2:

Kích thước Fractal Học sinh (và giáo viên) thường bị cuốn hút bởi thực tế là một số hình ảnh hình học có kích thước phân đoạn. Các tam giác Sierpinski cung cấp một cách dễ dàng để giải thích lý do tại sao điều này phải được như vậy. Để giải thích các khái niệm về chiều fractal, nó là cần thiết để hiểu những gì chúng tôi có nghĩa là bởi kích thước ở nơi đầu tiên. Rõ ràng, một dòng có kích thước 1, một chiều mặt phẳng 2, và theo chiều khối 3. Nhưng tại sao điều này? Nó là thú vị để xem các sinh viên đấu tranh để nêu rỏ lý do tại sao những sự kiện này là đúng sự thật. Và sau đó: kích thước của tam giác Sierpinski là gì Họ thường nói rằng một dòng có kích thước 1 vì chỉ có 1 cách để di chuyển trên một đường thẳng. Tương tự như vậy, chiếc máy bay có kích thước 2 vì có 2 hướng, trong đó để di chuyển. Tất nhiên, có thực sự là 2 hướng trong một dòng - lạc hậu và chuyển tiếp - và vô hạn trong mặt phẳng. Những gì các sinh viên thực sự đang cố gắng để nói là có 2 hướng độc lập tuyến tính trong mặt phẳng. Tất nhiên, họ đúng. Nhưng khái niệm độc lập tuyến tính là khá phức tạp và khó khăn để nói lên. Học sinh thường nói rằng chiếc máy bay là hai chiều vì nó có '' hai chiều, '' có nghĩa là chiều dài và chiều rộng. Tương tự như vậy, một khối là ba chiều bởi vì nó có '' ba chiều, '' chiều dài, chiều rộng và chiều cao. Một lần nữa, đây là một quan niệm giá trị, mặc dù không được thể hiện bằng ngôn ngữ toán học đặc biệt nghiêm ngặt. Cạm bẫy khác xảy ra khi cố gắng để xác định kích thước của một đường cong trong mặt phẳng hoặc trong không gian ba chiều. Một cuộc tranh luận thú vị xảy ra khi một giáo viên cho thấy những đường cong này là thực sự một chiều. Nhưng họ có 2 hoặc 3 chiều, các sinh viên phản đối. Vậy tại sao là một dòng một chiều và máy bay hai chiều? Lưu ý rằng cả hai đối tượng đều tự tương tự. Chúng tôi có thể phá vỡ một đoạn thẳng thành 4 khoảng thời gian tự tương tự, đều có cùng độ dài, và ecah trong đó có thể được phóng đại bởi một nhân tố của 4 để nhường phân khúc gốc. Chúng tôi cũng có thể phá vỡ một đoạn thẳng thành 7 mảnh tự tương tự, mỗi yếu tố phóng đại 7 hoặc 20 miếng tự tương tự với hệ số phóng đại 20. Nhìn chung, chúng ta có thể phá vỡ một đoạn thẳng vào N tự tương tự như miếng, mỗi với độ phóng đại yếu tố N. Một hình vuông là khác nhau. Chúng ta có thể phân hủy một hình vuông thành 4 tự tương tự như tiểu hình vuông, và các yếu tố phóng đại ở đây là 2. Ngoài ra, chúng tôi có thể phá vỡ vuông thành 9 miếng tự tương tự với hệ số phóng đại 3, hoặc 25 miếng tự tương tự với độ phóng đại tố 5 . rõ ràng, hình vuông có thể được chia thành N ^ 2 tự tương tự như bản sao của chính nó, mỗi trong số đó phải được phóng đại bởi một nhân tố của N để mang lại con số ban đầu. Xem Hình 8. Cuối cùng, chúng ta có thể phân hủy một khối lập phương thành N ^ 3 miếng tự giống nhau, mỗi trong số đó có độ phóng đại tố N.