6 Boundary value problemsIn many ap

6 Boundary value problems
In many applications a system of m simultaneous first-order ordinary differential equations
in m unknowns y1(x), y2(x), . . . , ym(x) has to be solved. If each of these variables satisfies
a given condition at the same value a of x then we have an initial value problem for a
system of first-order ordinary differential equations. If the yi
, i = 1, . . . , m, satisfy given
conditions at different values a, b, c, . . . of the independent variable x then we have a
multi-point boundary value problem. In particular, if conditions on the yi
, i = 1, . . . , m,
are imposed at two different values a and b then we have a two-point boundary value
problem.
Example 7 Here is an example of a multipoint (in this case, three-point) boundary value
problem:
y
′′′ − y
′′ + y
′ − y = 0 , y(0) = 1 , y(1) = e , y′
(2) = e
2
.
The exact solution is y(x) = e
x
.
Example 8 This is an example of a two-point boundary value problem:
y
′′ − 2y
3 = 0 , y(1) = 1 , y′
(2) + [y(2)]2 = 0 .
The exact solution is y(x) = 1/x.
In this section we shall consider three classes of methods for the numerical solution of
two-point boundary value problems: shooting methods, matrix methods and collocation
methods.
6.1 Shooting methods
Let us consider the two-point boundary value problem
y
′′ = f(x, y, y′
) , y(a) = A , y(b) = B , (97)
with a < b and x ∈ [a, b]. We shall suppose that (97) has a unique solution. The motivation
behind shooting methods is to convert the two-point boundary value problem into solving
a sequence of initial value problems whose solutions converge to that of the boundary
value problem, so that one can use existing software developed for the numerical solution
of initial value problems: observe that an attempt to solve the boundary value problem
(97) directly will lead to a coupled system of nonlinear equations whose solution may be
a hard problem.
62
Let us make an initial guess s for y
′
(a) and denote by y(x; s) the solution of the initial
value problem
y
′′ = f(x, y, y′
) , y(a) = A , y′
(a) = s . (98)
Introducing the notation u(x; s) = y(x; s), v(x; s) = ∂
∂x y(x; s), we can rewrite (98) as a
system of first-order ordinary differential equations:
∂
∂xu(x; s) = v(x; s) , u(a; s) = A ,
(99)
∂
∂xv(x; s) = f(x, u(x; s), v(x; s)) , v(a; s) = s .
The solution u(x; s) of the initial value problem (99) will coincide with with the solution
y(x) of the boundary value problem (97) provided that that we can find a value of s such
that
φ(s) ≡ u(b; s) − B = 0 . (100)
The essence of the shooting method for the numerical solution of the boundary value
problem (97) is to find a root to the equation (100). Any standard root-finding technique
can be used; here we shall consider two: bisection of the interval which is known to contain
the root and Newton’s method.
6.1.1 The method of bisection
Let us suppose that that two numbers s1 and s2 are known such that
φ(s1) < 0 and φ(s2) > 0 .
We assume, for the sake of definiteness, that s1 < s2. Given that the solution of the initial
value problem (99) depends continuously on the initial data, there must exist at least one
value of s in the interval (s1, s2) such that φ(s) = 0. Thus the interval [s1, s2] contains a
root of the equation (100).
The root of (100) can now be calculated approximately using the method of bisection.
We take the midpoint s3 of the interval [s1, s2], compute u(b, s3) and consider whether
φ(s3) = u(b; s3) − B is positive or negative. If φ(s3) > 0 then it is the interval [s1, s3]
that contains a root of φ, whereas if φ(s3) < 0 then the interval in question is [s3, s2]. By
repeating this process, one can construct a sequence of numbers {sn}∞
n=1 converging the
s. In practice the process of bisection is terminated after a finite number of steps when
the length of the interval containing s has become sufficiently small.
6.1.2 The Newton–Raphson method
An alternative to the method of bisection is to compute a sequence {sn}∞
n=1 generated by
the Newton–Raphson method:
sn+1 = sn − φ(sn)/φ′
(sn) , (101)
with the starting value s0 chosen arbitrarily in a sufficiently small interval surrounding the
root. For example, a suitable s0 may be found by performing a few steps of the method of
63
bisection. If s0 is a sufficiently good approximation to the required root of (100) the theory
of the Newton–Raphson method ensures that, in general, we have quadratic convergence
of the sequence {sn}∞
n=0 to the root s.
From the point of view of implementing (101) the first question that we need to clarify
is how one can compute compute φ
′
(sn). To do so, we introduce the new dependent
variables
ξ(x; s) = ∂u(x; s)
∂s , η(x; s) = ∂v(x; s)
∂s
and differentiate the initial value problem (99) with respect to s to obtain a second initial
value problem:
∂ξ(x; s)
∂x = η(x; s) , ξ(a; s) = 0 ,
(102)
∂η(x; s)
∂x = p(x; s)ξ(x; s) + q(x; s)η(x; s) , η(a; s) = 1 ,
where
p(x; s

Kết quả (Việt) 1:

6 vấn đề giá trị biên giớiTrong nhiều ứng dụng một hệ thống của m đồng thời đặt hàng đầu tiên bình thường differential equationstrong m ẩn số y1(x), y2(x),..., ym(x) đã được giải quyết. Nếu mỗi người trong số các biến thỏa mãnmột điều kiện nhất định cùng một giá trị một của x sau đó chúng tôi có một vấn đề giá trị ban đầu cho mộthệ phương trình vi phân thường đặt hàng đầu tiên. Nếu yi, i = 1,..., m, đáp ứng đượcCác điều kiện tại các giá trị khác nhau a, b, c,... của biến độc lập x sau đó chúng tôi có mộtCác vấn đề giá trị biên giới đa điểm. Trong cụ thể, nếu điều kiện trên là yi, i = 1, . . . , m,được áp dụng tại hai giá trị khác nhau một và b sau đó chúng tôi có một giá trị hai điểm biênvấn đề.Ví dụ 7 đây là một ví dụ về một giá trị biên giới đa (trong trường hợp này, ba điểm)vấn đề:y′′′ − y′′ + y′ − y = 0, y(0) = 1, y(1) = e, y′(2) = e2.Các giải pháp chính xác là y(x) = ex.Ví dụ 8 đây là một ví dụ về một vấn đề giá trị hai điểm biên giới:y′′ − 2y3 = 0, y(1) = 1, y′(2) + [2] 2 = 0.Các giải pháp chính xác là y(x) = 1 / x.Trong phần này chúng ta sẽ xem xét ba lớp học của phương pháp này cho giải pháp sốranh giới hai điểm giá trị vấn đề: bắn phương pháp, phương pháp ma trận và collocationphương pháp.6.1 bắn phương phápChúng ta hãy xem xét vấn đề giá trị hai điểm biêny′′ = f (x, y, y′), y(a) = A, y(b) = B, (97)với một < b và x ∈ [a, b]. Chúng tôi sẽ giả sử rằng (97) có một giải pháp duy nhất. Động lựcphía sau bắn phương pháp là để chuyển đổi vấn đề giá trị hai điểm biên giới vào giải quyếtmột chuỗi các vấn đề về giá trị ban đầu các giải pháp mà hội tụ của các ranh giớivấn đề giá trị, do đó, rằng ai có thể sử dụng phần mềm hiện có được phát triển cho các giải pháp sốvấn đề giá trị ban đầu: quan sát là một nỗ lực để giải quyết vấn đề giá trị biên giới(97) trực tiếp sẽ dẫn đến một hệ thống cùng các phương trình phi tuyến, giải pháp mà có thểmột vấn đề khó khăn.62Hãy để chúng tôi làm cho một đoán ban đầu, y s′(a) và biểu thị bởi y (x; s) giải pháp ban đầuvấn đề giá trịy′′ = f (x, y, y′), y(a) = A, y′(a) = s. (98)Giới thiệu các ký hiệu u (x; s) = y (x; s) v (x; s) = ∂∂x y (x; s), chúng tôi có thể viết lại (98) như là mộthệ phương trình vi phân thường đặt hàng đầu tiên:∂∂xu (x; s) v (x; s) = u(a; s) = A,(99)∂∂XV (x; s) = f (x, u (x; s) v (x; s)), v(a; s) = s.Giải pháp u (x; s) về vấn đề giá trị ban đầu (99) sẽ trùng với với các giải phápy(x) vấn đề giá trị biên (97) cung cấp rằng rằng chúng tôi có thể tìm thấy một giá trị của s như vậymàΦ(s) ≡ u (b; s) − B = 0. (100)Bản chất của phương pháp chụp hình cho các giải pháp số của các giá trị biên giớivấn đề (97) là để tìm một gốc để phương trình (100). Bất kỳ kỹ thuật gốc-tìm kiếm tiêu chuẩncó thể được sử dụng; ở đây chúng tôi sẽ xem xét hai: bisection khoảng thời gian mà được biết là có chứagốc và phương pháp của Newton.6.1.1 các phương pháp của bisectionChúng ta hãy giả sử rằng hai số s1 và s2 được biết đến như vậy màΦ(S1) < 0 và φ(s2) > 0.Chúng tôi giả định, vì lợi ích của definiteness, s1 rằng < s2. Cho rằng giải pháp ban đầuvấn đề giá trị (99) liên tục phụ thuộc vào các dữ liệu ban đầu, có phải tồn tại ít nhất một tronggiá trị của s trong khoảng (s1, s2) như vậy là φ(s) = 0. Như vậy khoảng thời gian [s1, s2] có chứa mộtthư mục gốc của phương trình (100).Gốc (100) bây giờ có thể được tính toán xấp xỉ bằng phương pháp bisection.Chúng tôi mất s3 trung điểm của đoạn [s1, s2], tính u (b, s3) và xem xét liệuΦ(S3) = u (b; s3) − B là tích cực hay tiêu cực. Nếu φ(s3) > 0 thì nó là khoảng thời gian [s1, s3]có chứa một gốc φ, trong khi nếu φ(s3) < 0 sau đó khoảng thời gian trong câu hỏi là [s3, s2]. Bởilặp lại quá trình này, một trong những có thể xây dựng một chuỗi các con số {sn} ∞n = 1 hội tụ cács. trong thực tế quá trình bisection kết thúc sau khi một số hữu hạn các bước khiđộ dài của khoảng thời gian có chứa s đã trở thành đầy đủ nhỏ.6.1.2 phương pháp Newton-Raphson theMột thay thế cho phương pháp bisection là để tính toán một ∞ chuỗi {sn}n = 1 được tạo ra bởiphương pháp Newton-Raphson:SN + 1 = sn − φ (sn) / φ′(sn), (101)với giá trị khởi đầu s0 chọn tùy tiện trong một khoảng thời gian đủ nhỏ xung quanh cácgốc. Ví dụ, s0 phù hợp có thể được tìm thấy bằng cách thực hiện một vài bước của phương pháp63bisection. Nếu s0 là một xấp xỉ tốt đủ để các gốc yêu cầu (100) lý thuyếtcủa Newton-Raphson phương pháp đảm bảo rằng, nói chung, chúng tôi có bậc hai hội tụcủa ∞ chuỗi {sn}n = 0 s gốc.Từ điểm nhìn của việc thực hiện các câu hỏi đầu tiên chúng ta cần phải làm rõ (101)là như thế nào một trong những có thể tính toán tính φ′(sn). Để làm như vậy, chúng tôi giới thiệu phụ thuộc mớibiếnΞ (x; s) = ∂u (x; s)∂s, η (x; s) = ∂v (x; s)∂svà phân biệt vấn đề giá trị ban đầu (99) đối với để có được một ban đầu thứ hai của bạnvấn đề giá trị:∂ξ (x; s)∂x = η (x; s), ξ(a; s) = 0,(102)∂η (x; s)∂x = p (x; s) ξ (x; s) + q (x; s) η (x; s), η(a; s) = 1,nơip (x; s

Kết quả (Việt) 2:

6 vấn đề giá trị Boundary
Trong nhiều ứng dụng một hệ thống m bậc phương trình vi phân thường đồng thời
trong m ẩn số y1 (x), y2 (x),. . . , Ym (x) đã được giải quyết. Nếu mỗi người trong các biến này đáp ứng
một điều kiện được đưa ra tại cùng một giá trị a của x sau đó chúng ta có một vấn đề giá trị ban đầu cho một
hệ thống thứ tự đầu tiên phương trình vi phân thường. Nếu yi
, i = 1,. . . , M, đáp ứng được
các điều kiện tại các giá trị khác nhau a, b, c,. . . của x biến độc lập sau đó chúng tôi có một
vấn đề giá trị biên đa điểm. Đặc biệt, nếu các điều kiện trên yi
, i = 1,. . . , M,
được áp đặt tại hai giá trị khác nhau a và b sau đó chúng ta có một giá trị ranh giới hai điểm
. Vấn đề
Ví dụ 7 Dưới đây là một ví dụ của một đa điểm (trong trường hợp này, ba điểm) giá trị ranh giới
vấn đề:
y
'' '- y
'' + y
'- y = 0, y (0) = 1, y (1) = e, y'
(2) = e
2
.
Các giải pháp chính xác là y (x) = e
x
.
Ví dụ 8 này là một ví dụ về một vấn đề giá trị ranh giới hai điểm:
y
'' - 2y
3 = 0, y (1) = 1, y '
. (2) + [y (2)] 2 = 0
giải pháp chính xác là y (x ) = 1 / x.
trong phần này chúng ta sẽ xem xét ba lớp học của phương pháp cho các giải pháp số của
hai điểm vấn đề giá trị ranh giới: phương pháp chụp hình, phương pháp ma trận và sắp xếp thứ tự
. phương pháp
6.1 phương pháp Shooting
chúng ta hãy xem xét các vấn đề giá trị biên giới hai điểm
y
'' = f (x, y, y '
), y (a) = A, y (b) = b, (97)
với a <b và x ∈ [a, b]. Chúng tôi sẽ giả sử rằng (97) có một giải pháp duy nhất. Những động lực
đằng sau phương pháp chụp là để chuyển đổi các bài toán biên hai điểm vào giải quyết
một chuỗi các vấn đề giá trị ban đầu mà các giải pháp hội tụ với các ranh giới
vấn đề giá trị, vì vậy mà ta có thể sử dụng phần mềm hiện tại được phát triển cho giải pháp số
của vấn đề giá trị ban đầu : quan sát rằng một nỗ lực để giải quyết vấn đề giá trị biên
(97) trực tiếp sẽ dẫn đến một hệ thống kết hợp các phương trình phi tuyến có giải pháp có thể
là một vấn đề khó khăn.
62
chúng ta hãy làm một đoán ban đầu của cho y
'
(a) và ký hiệu là y (x; s) là giải pháp của các ban đầu
giá trị vấn đề
y
'' = f (x, y, y '
), y (a) = A, y'
(a) = s. (98)
Giới thiệu các ký hiệu u (x; s) = y (x; s), v (x; s) = ∂
∂xy (x; s), chúng ta có thể viết lại (98) như là một
hệ thống đầu tiên đặt hàng thông thường phương trình vi phân:
∂
∂xu (x; s) = v (x; s), u (a; s) = A,
(99)
∂
∂xv (x; s) = f (x, u (x; s) , v (x; s)), v (a;. s) = s
các giải pháp u (x; s) của vấn đề giá trị ban đầu (99) sẽ trùng với với các giải pháp
y (x) của vấn đề giá trị biên ( 97) với điều mà chúng ta có thể tìm thấy một giá trị của s
đó
φ (s) ≡ u (b; s) - b = 0. (100)
Bản chất của phương pháp chụp cho các giải pháp số của các giá trị ranh giới
vấn đề (97) là để tìm một gốc cho phương trình (100). Bất kỳ kỹ thuật gốc tìm hiểu tiêu chuẩn
có thể được sử dụng; ở đây chúng ta sẽ xem xét hai: chia làm hai đoạn của khoảng thời gian mà được biết đến có chứa
. gốc và phương pháp của Newton
6.1.1 Các phương pháp chia làm hai đoạn
Giả sử rằng hai số s1 và s2 được biết đến như là
φ (s1) <0 và φ (s2)> 0.
Chúng tôi cho rằng, vì lợi ích của tính xác định, đó s1 <s2. Cho rằng các giải pháp của các ban đầu
vấn đề giá trị (99) phụ thuộc liên tục trên các dữ liệu ban đầu, thì phải có ít nhất một
giá trị của s trong khoảng (s1, s2) sao cho φ (s) = 0. Như vậy khoảng [s1 , s2] chứa một
thư mục gốc của phương trình (100).
các gốc rễ của (100) có thể được tính toán xấp xỉ bằng cách sử dụng phương pháp chia làm hai đoạn.
Chúng tôi lấy s3 trung điểm của đoạn [s1, s2], tính u (b, s3 ) và xem xét liệu
φ (s3) = u (b; s3) - b là tích cực hay tiêu cực. Nếu φ (s3)> 0 thì nó là khoảng thời gian [s1, s3]
có chứa một thư mục gốc của φ, trong khi đó nếu φ (s3) <0 thì khoảng thời gian trong câu hỏi là [s3, s2]. Bằng cách
lặp đi lặp lại quá trình này, người ta có thể xây dựng một chuỗi các số {sn} ∞
n = 1 hội tụ các
s. Trong thực tế quá trình chia làm hai đoạn kết thúc sau một số hữu hạn các bước khi
chiều dài của khoảng thời gian có chứa s đã trở nên đủ nhỏ.
6.1.2 Các phương pháp Newton-Raphson
Một thay thế cho các phương pháp chia làm hai đoạn là để tính toán một chuỗi {sn} ∞
n = 1 được tạo ra bởi
các phương pháp Newton-Raphson:
sn + 1 = sn - φ (sn) / φ '
(sn), (101)
với giá trị ban đầu s0 chọn tùy tiện trong một khoảng thời gian đủ nhỏ xung quanh
gốc. Ví dụ, một s0 phù hợp có thể được tìm thấy bằng cách thực hiện một vài bước của phương pháp
63
chia làm hai đoạn. Nếu s0 là một xấp xỉ đủ tốt để các gốc yêu cầu (100) lý thuyết
của phương pháp Newton-Raphson đảm bảo rằng, nói chung, chúng tôi có hội tụ bậc hai
của dãy {sn} ∞
n = 0 vào thư mục gốc của.
Từ điểm của việc thực hiện (101) câu hỏi đầu tiên mà chúng ta cần phải làm rõ
là như thế nào người ta có thể tính toán tính toán φ
'
(sn). Để làm như vậy, chúng tôi giới thiệu các thuộc mới
biến
ξ (x; s) = ∂u (x; s)
∂s, η (x; s) = ∂v (x; s)
∂s
và phân biệt các vấn đề giá trị ban đầu ( 99) đối với s để có được một khởi đầu thứ hai với
vấn đề giá trị:
∂ξ (x; s)
∂x = η (x; s), ξ (a; s) = 0,
(102)
∂η (x; s)
∂x = p (x; s) ξ (x; s) + q (x; s) η (x; s), η (a; s) = 1,
nơi
p (x; s