as well-posed if it maps square int

as well-posed if it maps square integrable truncated signals into signals with the same property. In a power system setting, one typically assumes that the variables at the interface with the environment are known (or pre- dictable)—e.g., that mechanical inputs to all generators are constant, or that they vary according to the known response of turbine regulators.
2) The disturbances of interest will fall into two broad categories—event-type (typically described as outages of specific pieces of equipment) and norm-type (described by their size e.g., in terms of various norms of signals); we will return to this issue shortly. We also observe that in cases when event-type (e.g., switching) disturbances occur repeatedly, a proper analysis framework is that of hybrid systems (for a recent review, see [49]); event-type disturbances may also be initiated by human operators. Our focus is on time horizons of the order of seconds to minutes; on a longer time scale, the effects of market structures may become prominent. In that case, the relevant notion of stability needs re-examination; some leads about systems with distributed decision making may be found in [50].
3) Given our emphasis on stability analysis, we will assume that the actions of all controllers are fully predictable in terms of known system quantities (states), or as functions of time; the dual problem of designing stabilizing controls for nonlinear systems is very challenging, see for example [8], [51].
A typical power system stability study consists of the fol- lowing steps:
1) Make modeling assumptions and formulate a mathemat- ical model appropriate for the time-scales and phenomena under study;
2) Select an appropriate stability definition;
3) Analyze and/or simulate to determine stability, typically using a scenario of events;
4) Review results in light of assumptions, compare with the engineering experience (“reality”), and repeat if necessary.
Before considering specifics about power system stability, we need to assess the required computational effort. In the case of linear system models, the stability question is decidable, and can be answered efficiently in polynomial time [52]. In the case of nonlinear systems, the available algorithms are inherently in- efficient. For example, a related problem of whether all trajec- tories of a system with a single scalar nonlinearity converge to the origin turns out to be very computationally intensive (i.e., NP-hard), and it is unclear if it is decidable at all [52]. Given the large size of power systems and the need to consider event-type perturbations that will inevitably lead to nonlinear models, it is clear that the task of determining stability of a power system will be a challenging one. It turns out, however, that our main tools in reducing the computational complexity will be our ability (and willingness) to utilize approximations, and the particular nature of event-type disturbances that we are analyzing.
We also want to point out that a possible shift in emphasis re- garding various phenomena in power systems (e.g., hybrid as- pects) would necessarily entail a reassessment of notions of sta-

bility. For a recent review on notions of stability in various types of systems (including infinite dimensional ones), see [53].

B. A Scenario for Stability Analysis
We consider the system


where is the state vector (a function of time, but we omit ex- plicitly writing the time argument ), is its derivative, is suf- ficiently differentiable and its domain includes the origin. The system described above is said to be autonomous if is independent of and is said to be nonautonomous otherwise.
A typical scenario for power system stability analysis involves three distinct steps.
1) The system is initially operating in a pre-disturbance equilibrium set (e.g., an equilibrium point or perhaps even a benign limit cycle in the state space); in that set, various driving terms (forces) affecting system variables are balanced (either instantaneously, or over a time interval). We use the notion of an equilibrium set to denote equilibrium points, limit sets and more compli- cated structures like aperiodic attractors (which may be possible in realistic models of power systems). However, in the vast majority of cases of practical interest today, the equilibrium points are the sets of interest.
In general, an equilibrium set, or an attractor, is a set of trajectories in the phase space to which all neigh- boring trajectories converge. Attractors therefore describe the long-term behavior of a dynamical system. A Point at- tractor, or an equilibrium point, is an attractor consisting of a single point in the phase space. A Limit cycle at- tractor, on the other hand, corresponds to closed curves in phase space; limit cycles imply periodic behavior. A chaotic (or aperiodic, or strange) attractor corresponds to a equilibrium set where system trajectories never con- verge to a point or a closed curve, but remain within the same region of phase space. Unlike limit cycles, strange attractors are non-periodic, and trajectories in such sys- tems are very sensitive to the initial conditions.
2) Next, a disturbance acts on the system. An event-type (or incident-type) disturbance is characterized by a spe- cific fault scenario (e.g., short circuit somewhere in the transmission network followed by a line disconnection in- cluding the duration of the event—“fault clearing time”), while norm-type (described by their size in terms of var- ious norms of signals—e.g., load variations) disturbances are described by their size (norm, or signal intensity). A problem of some analytical interest is determining the maximum permissible duration of the fault (the so called “critical clearing time”) for which the subsequent system response remains stable. This portion of stability analysis requires the knowledge of actions of protective relaying.
3) After an event-type disturbance, the system dynamics is studied with respect to a known post-disturbance equi- librium set (which may be distinct from ). The system initial condition belongs to a (known) starting set
, and we want to characterize the system motion with

Kết quả (Việt) 1:

như được đặt ra nếu nó bản đồ vuông integrable tín hiệu cắt ngắn vào tín hiệu với cùng một tài sản. Trong một thiết lập hệ thống điện, một thường giả định rằng các biến giao diện với môi trường được biết đến (hoặc trước dictable)—e.g., cơ khí đầu vào cho tất cả các máy phát điện được liên tục, hoặc là họ khác nhau tùy theo được biết đến phản ứng tuabin Regulators.2) những rối loạn của lãi suất sẽ rơi vào hai loại rộng-loại sự kiện (thường được mô tả như là sự cố mất điện của phần cụ thể của thiết bị) và loại chuẩn (được mô tả bởi kích thước của họ ví dụ, trong điều khoản của các tiêu chuẩn khác nhau của tín hiệu); chúng tôi sẽ trở lại vấn đề này một thời gian ngắn. Chúng tôi cũng quan sát rằng trong trường hợp khi loại sự kiện (ví dụ như, chuyển đổi) rối loạn xảy ra nhiều lần, một khuôn khổ thích hợp phân tích là hệ thống lai (cho một đánh giá gần đây, xem [49]); sự kiện-loại rối loạn cũng có thể được khởi xướng bởi nhà điều hành của con người. Mục tiêu của VSIP là vào thời gian tầm nhìn of the Order of giây phút; trên quy mô thời gian lâu hơn, ảnh hưởng của cơ cấu thị trường có thể trở nên nổi bật. Trong trường hợp đó, khái niệm có liên quan về sự ổn định cần tái khám; một số dẫn về hệ thống phân phối ra quyết định có thể được tìm thấy trong [50].3) cho chúng tôi nhấn mạnh vào sự ổn định phân tích, chúng tôi sẽ giả định rằng các hành động của tất cả các bộ điều khiển là hoàn toàn dự đoán được trong điều khoản của hệ thống được biết đến với số lượng (Kỳ), hoặc như chức năng của thời gian; vấn đề kép của thiết kế, ổn định điều khiển cho các hệ thống phi tuyến là rất khó khăn, xem ví dụ [8], [51].Một điển hình năng lượng hệ thống ổn định nghiên cứu bao gồm các fol - lowing bước:1) thực hiện mô hình giả định và xây dựng một mathemat - ical mô hình phù hợp với quy mô thời gian và các hiện tượng đang được nghiên cứu;2) chọn một định nghĩa thích hợp ổn định;3) phân tích và/hoặc mô phỏng để xác định sự ổn định, thường bằng cách sử dụng một kịch bản của sự kiện;4) xem xét các kết quả trong ánh sáng của giả định, so sánh với các kỹ thuật kinh nghiệm ("thực tế"), và lặp lại nếu cần thiết.Trước khi xem xét chi tiết cụ thể về sức mạnh hệ thống ổn định, chúng ta cần để đánh giá những nỗ lực tính toán cần thiết. Trong trường hợp của mô hình tuyến tính hệ thống, câu hỏi sự ổn định là decidable, và có thể được trả lời một cách hiệu quả trong thời gian đa thức [52]. Trong trường hợp hệ thống phi tuyến, các thuật toán có vốn tại - hiệu quả. Ví dụ, một vấn đề liên quan của cho dù trajec-tories tất cả của một hệ thống với một nonlinearity duy nhất vô hướng hội tụ về nguồn gốc hóa ra là rất computationally chuyên sâu (tức là, NP-khó khăn), và nó là không rõ ràng nếu nó là decidable tại tất cả [52]. Do kích thước lớn của hệ thống năng lượng và sự cần thiết phải xem xét loại sự kiện nhiễu loạn mà chắc chắn sẽ dẫn đến các mô hình phi tuyến, nó là rõ ràng rằng việc xác định sự ổn định của một hệ thống điện sẽ là một thách thức. Nó chỉ ra, Tuy nhiên, chúng tôi công cụ chính trong việc giảm sự phức tạp tính toán đồng hồ sẽ chỉ của chúng tôi khả năng (và sẵn sàng) để sử dụng xấp xỉ, và bản chất cụ thể của rối loạn loại sự kiện mà chúng tôi phân tích.We also want to point out that a possible shift in emphasis re- garding various phenomena in power systems (e.g., hybrid as- pects) would necessarily entail a reassessment of notions of sta- bility. For a recent review on notions of stability in various types of systems (including infinite dimensional ones), see [53].B. A Scenario for Stability AnalysisWe consider the system where is the state vector (a function of time, but we omit ex- plicitly writing the time argument ), is its derivative, is suf- ficiently differentiable and its domain includes the origin. The system described above is said to be autonomous if is independent of and is said to be nonautonomous otherwise.A typical scenario for power system stability analysis involves three distinct steps.1) The system is initially operating in a pre-disturbance equilibrium set (e.g., an equilibrium point or perhaps even a benign limit cycle in the state space); in that set, various driving terms (forces) affecting system variables are balanced (either instantaneously, or over a time interval). We use the notion of an equilibrium set to denote equilibrium points, limit sets and more compli- cated structures like aperiodic attractors (which may be possible in realistic models of power systems). However, in the vast majority of cases of practical interest today, the equilibrium points are the sets of interest.In general, an equilibrium set, or an attractor, is a set of trajectories in the phase space to which all neigh- boring trajectories converge. Attractors therefore describe the long-term behavior of a dynamical system. A Point at- tractor, or an equilibrium point, is an attractor consisting of a single point in the phase space. A Limit cycle at- tractor, on the other hand, corresponds to closed curves in phase space; limit cycles imply periodic behavior. A chaotic (or aperiodic, or strange) attractor corresponds to a equilibrium set where system trajectories never con- verge to a point or a closed curve, but remain within the same region of phase space. Unlike limit cycles, strange attractors are non-periodic, and trajectories in such sys- tems are very sensitive to the initial conditions.2) Next, a disturbance acts on the system. An event-type (or incident-type) disturbance is characterized by a spe- cific fault scenario (e.g., short circuit somewhere in the transmission network followed by a line disconnection in- cluding the duration of the event—“fault clearing time”), while norm-type (described by their size in terms of var- ious norms of signals—e.g., load variations) disturbances are described by their size (norm, or signal intensity). A problem of some analytical interest is determining the maximum permissible duration of the fault (the so called “critical clearing time”) for which the subsequent system response remains stable. This portion of stability analysis requires the knowledge of actions of protective relaying.3) After an event-type disturbance, the system dynamics is studied with respect to a known post-disturbance equi- librium set (which may be distinct from ). The system initial condition belongs to a (known) starting set
, and we want to characterize the system motion with

Kết quả (Việt) 2:

cũng-đặt ra nếu nó bản đồ vuông tín hiệu cắt ngắn khả tích thành các tín hiệu có cùng một tài sản. Trong một thiết lập hệ thống điện, người ta thường giả định rằng các biến tại giao diện với môi trường được biết đến (hoặc dictable trước) -eg, mà yếu tố đầu vào cơ khí cho tất cả các máy phát là không đổi, hoặc là họ thay đổi tùy theo phản ứng được biết đến cơ quan quản lý tuabin .
2) Các rối loạn tâm sẽ rơi vào hai loại rộng-sự kiện-type (thường được mô tả như cúp các phần cụ thể của thiết bị) và chuẩn mực loại (mô tả bởi kích thước ví dụ như họ, về các chỉ tiêu khác nhau của tín hiệu); chúng tôi sẽ trở lại vấn đề này trong thời gian ngắn. Chúng tôi cũng quan sát thấy rằng trong trường hợp khi sự kiện-loại (ví dụ, chuyển đổi) rối loạn xảy ra nhiều lần, một khuôn khổ phân tích đúng là của hệ thống hybrid (cho một đánh giá gần đây, xem [49]); sự kiện kiểu rối loạn cũng có thể được khởi xướng bởi các nhà khai thác của con người. Chúng tôi tập trung vào những chân trời thời gian của thứ tự của giây đến vài phút; trên một quy mô thời gian dài, ảnh hưởng của cơ cấu thị trường có thể trở nên nổi bật. Trong trường hợp đó, các khái niệm có liên quan của sự ổn định cần kiểm tra lại; một số khách hàng tiềm năng về các hệ thống với việc ra quyết định phân bổ có thể được tìm thấy trong [50].
3) Cho chúng tôi nhấn mạnh vào phân tích sự ổn định, chúng tôi sẽ giả định rằng các hành động của tất cả các bộ điều khiển hoàn toàn có thể dự đoán về số lượng hệ thống được biết đến (tiểu bang), hoặc như các chức năng thời gian; vấn đề kép của thiết kế điều khiển ổn định cho hệ thống phi tuyến là rất khó khăn, xem ví dụ [8], [51].
Một nghiên cứu sự ổn định hệ thống điện điển hình bao gồm các bước rống fol:
1) Hãy giả định mô hình và xây dựng một ical Toán học mô hình thích hợp cho thời gian, quy mô và hiện tượng được nghiên cứu;
2) Chọn một định nghĩa ổn định thích hợp;
3) Phân tích và / hoặc mô phỏng để xác định sự ổn định, thường sử dụng một kịch bản của các sự kiện;
4) kết quả xét trong ánh sáng của các giả định, so sánh với các kinh nghiệm kỹ thuật ("thực tế"), và lặp lại nếu cần thiết.
Trước khi xem xét chi tiết cụ thể về sự ổn định hệ thống điện, chúng ta cần phải đánh giá các nỗ lực tính toán cần thiết. Trong trường hợp của mô hình hệ thống tuyến tính, câu hỏi ổn định là decidable, và có thể được trả lời một cách hiệu quả trong thời gian đa thức [52]. Trong trường hợp hệ thống phi tuyến, các thuật toán có sẵn vốn đã trong- hiệu quả. Ví dụ, một vấn đề liên quan của Đảng Bảo thủ cho dù tất cả trajec- của một hệ thống với một phi tuyến vô hướng đơn hội tụ về nguồn gốc hóa ra là rất tính toán chuyên sâu (tức là, NP-hard), và nó là không rõ ràng nếu nó là decidable ở tất cả [ 52]. Với kích thước lớn của hệ thống quyền lực và sự cần thiết phải xem xét sự kiện kiểu nhiễu loạn mà chắc chắn sẽ dẫn đến các mô hình phi tuyến, rõ ràng là nhiệm vụ xác định sự ổn định của một hệ thống điện sẽ là một thử thách. Hóa ra, tuy nhiên, các công cụ chính của chúng tôi trong việc làm giảm sự phức tạp tính toán là khả năng của chúng tôi (và sẵn sàng) sử dụng gần đúng, và các tính chất đặc biệt của sự kiện-loại rối loạn mà chúng ta đang phân tích.
Chúng tôi cũng muốn chỉ ra rằng một thể chuyển trọng tâm tái Garding hiện tượng khác nhau trong hệ thống điện (ví dụ, khía như- lai) sẽ thiết phải kéo theo một đánh giá lại các khái niệm như đập trách. Đối với một đánh giá gần đây về khái niệm của sự ổn định trong các loại hệ thống (bao gồm cả những cái vô hạn chiều), xem [53]. B. Kịch bản cho Stability Analysis Chúng tôi xem xét các hệ thống mà là vector trạng thái (một hàm của thời gian, nhưng chúng ta bỏ qua Ex- plicitly viết lập luận thời gian), là dẫn xuất của nó, là suf- ficiently vi và phạm vi của nó bao gồm các nguồn gốc. Các hệ thống được mô tả ở trên được cho là tự trị nếu là độc lập và được cho là nonautonomous khác. Một kịch bản điển hình để phân tích sự ổn định hệ thống điện bao gồm ba bước riêng biệt. 1) Hệ thống này là bước đầu hoạt động trong một trạng thái cân bằng trước sự xáo trộn thiết (ví dụ: , một điểm cân bằng hoặc thậm chí một chu kỳ giới hạn lành tính trong không gian trạng thái); trong tập hợp đó, điều kiện lái xe khác nhau (lực lượng) ảnh hưởng đến các biến hệ thống được cân bằng (hoặc ngay lập tức, hoặc trong một khoảng thời gian). Chúng tôi sử dụng các khái niệm về một trạng thái cân bằng thiết lập để biểu thị điểm cân bằng, bộ giới hạn và nhiều hơn nữa cấu trúc phức tạp vốn như attractors không tuần hoàn (có thể là có thể trong mô hình thực tế của hệ thống điện). Tuy nhiên, trong phần lớn các trường hợp hiện nay lãi suất thực tế, các điểm cân bằng là những bộ quan tâm. Nói chung, một bộ cân bằng, hoặc rất thu hút khách, là một tập hợp các quỹ đạo trong không gian pha mà tất cả các quỹ đạo nhàm chán xóm tụ . Do đó attractors mô tả hành vi lâu dài của một hệ thống động. Một máy kéo tại- Point, hoặc một điểm cân bằng, là rất thu hút khách bao gồm một điểm duy nhất trong không gian pha. Một chu kỳ Limit tại- máy kéo, mặt khác, tương ứng với các đường cong khép kín trong không gian pha; chu kỳ giới hạn hàm ý hành vi kỳ. A rất thu hút khách hỗn loạn (hoặc không tuần hoàn, hoặc lạ) tương ứng với một trạng thái cân bằng thiết lập nơi bờ vực quỹ đạo hệ thống không bao giờ con- đến một điểm hoặc một đường cong khép kín, nhưng vẫn nằm trong cùng một vùng của không gian pha. Không giống như chu kỳ giới hạn, attractors lạ là không định kỳ, và những bước tiến trong các hệ thống như vậy là rất nhạy cảm với các điều kiện ban đầu. 2) Tiếp theo, một sự xáo trộn hoạt động trên hệ thống. Một sự kiện-type (hay sự cố-type) rối loạn đặc trưng bởi một kịch bản lỗi cific (ví dụ, ngắn mạch ở đâu đó trong mạng truyền dẫn theo sau bởi một ngắt dòng cluding thời hạn của event- "lỗi thanh toán bù trừ thời gian") , trong khi chỉ tiêu loại (mô tả bởi kích thước của họ về định mức ới var- các tín hiệu ví dụ, biến thể tải) rối loạn được mô tả bởi kích thước của chúng (định mức, hoặc cường độ tín hiệu). Một vấn đề quan tâm của một số phân tích được xác định thời gian tối đa cho phép của các lỗi (còn được gọi là "thời gian giải trừ quan trọng") mà hệ thống phản ứng tiếp theo vẫn ổn định. Điều này phần của phân tích ổn định đòi hỏi các kiến thức về các hành động bảo vệ rơ le bảo vệ. 3) Sau khi một sự kiện kiểu xáo trộn, sự năng động hệ thống được nghiên cứu liên quan đến một tiếng sau xáo trộn với equi- bộ Librium (có thể khác biệt với). Các điều kiện ban đầu hệ thống thuộc về một (biết) tập khởi đầu, và chúng tôi muốn để mô tả chuyển động hệ thống với