Let S = { m ∈ Z + | m = kn − a for

Let S = { m ∈ Z + | m = kn − a for some k ∈ Z }. If we put k = a2 + 1
then
kn − a = (a2 + 1)n − a ≥ a2 + 1 − a > (a − 1
2
) 2 > 0
and so kn − a ∈ S. Hence S 6= ∅, and by 3.1 it follows that S has a least
element.
Let k0 ∈ Z be chosen so that k0n − a is the least element of S. Then
we have
(1) k0n − a > 0.
Moreover, since (k0 − 1)n − a < k0n − a it follows that (k0 − 1)n − a /∈ S,
and therefore
(2) (k0 − 1)n − a ≤ 0.
Combining (1) and (2) yields
(k0 − 1)n ≤ a < k0n,
and, on subtracting (k0 − 1)n throughout,
0 ≤ a − qn < n
where q = k0 − 1. This establishes the existence part of (∗).
To prove the uniqueness assertion we must show that if q, q 0 are integers
satisfying 0 ≤ a − qn < n and 0 ≤ a − q 0n < n then q = q 0.
Assume that q, q 0 are such integers. Then
(q − q 0)n = (a − q 0n) − (a − qn) < n
since a − q 0n < n and a − qn ≥ 0. Similarly,
(q 0 − q)n = (a − qn) − (a − q 0n) < n.
So we obtain
−n < (q − q 0)n < n,
and, on dividing through by n,
−1 < q − q 0 < 1.
Since q and q 0 are integers it follows that q = q 0, as required

Kết quả (Việt) 1:

Giả sử S = {m ∈ Z + | m = kn − một cho một số k ∈ Z}. Nếu chúng ta đặt k = a2 + 1sau đókN − a = (a2 + 1) n − ≥ một a2 + 1 − một > (một − 12) 2 > 0và vì vậy kn − a ∈ S. do đó S 6 = ∅, và bởi 3.1 it sau S có ít nhất mộtnguyên tố.Hãy để k0 ∈ Z được lựa chọn như vậy đó − k0n một là ít nhất là phần tử của S. đóChúng tôi có(1) k0n − > 0.Hơn nữa, kể từ (k0 − 1) n − một < k0n − a nó sau đó (k0 − 1) n − một /∈ S,và do đó(2) (k0 − 1) n − a ≤ 0.Sản lượng kết hợp (1) và (2)(k0 − 1) n ≤ một < k0n,và ngày trừ (k0 − 1) n trong suốt,0 ≤ − qn < nnơi q = k0 − 1. Điều này thiết lập một phần sự tồn tại của (∗).Để chứng minh khẳng định tính độc đáo chúng tôi phải thấy rằng nếu q, q 0 là các số nguyênđáp ứng 0 ≤ − qn < n và 0 ≤ một 0n q − < n sau đó q = q 0.Giả sử rằng q q 0 là các số nguyên như vậy. Sau đó(q − q 0) n = (một − q 0n) − (một qn −) < nkể từ một 0n q − < n và một − qn ≥ 0. Tương tự như vậy,(q 0 − q) n = (một qn −) − (một − q 0n) < n.Vì vậy, chúng tôi có được−n < (q − q 0) n < n,và, trên phân chia thông qua bởi n,−1 < q − q 0 < 1.Kể từ khi q và q 0 là các số nguyên nó sau đó q = q 0, theo yêu cầu

Kết quả (Việt) 2:

Hãy S = {m ∈ Z + | m = kn - một đối với một số k ∈ Z}. Nếu chúng ta đặt k = a2 + 1
sau đó
kn - a = (a2 + 1) n - a ≥ a2 + 1 - a> (a - 1
2
) 2> 0
và vì vậy kn - a ∈ S. Do đó S 6 = ∅ và 3,1 nó sau đó S có ít nhất một
yếu tố.
Hãy k0 ∈ Z được lựa chọn để k0n đó - một là yếu tố nhất của S. Sau đó,
chúng ta có
(1) k0n -. a> 0
Hơn nữa, kể từ khi (k0 - 1 ) n - một <k0n - một nó sau đó (k0 - 1) n - a / ∈ S,
và do đó
(2) (k0 - 1) n -. a ≤ 0
Kết hợp (1) và (2) sản lượng
(k0 - 1) n ≤ a <k0n,
và, trên trừ (k0 - 1) n trong suốt,
0 ≤ a - qn <n
nơi q = k0 -. 1. Điều này thiết lập một phần tồn tại của (*)
Để chứng minh sự khẳng định tính độc đáo chúng ta phải thấy rằng nếu q, q 0 là các số nguyên
thoả mãn 0 ≤ a - qn <n và 0 ≤ a - q 0n <n sau đó q = q 0.
Giả sử rằng q, q 0 là các số nguyên như vậy. Sau đó
(q - q 0) n = (a - q 0n) - (a - qn) <n
từ a - q 0n <n và a - qn ≥ 0. Tương tự như vậy,
(q 0 - q) n = (a - qn) - (a -. q 0n) <n
Vì vậy, chúng ta có được
-n <(q - q 0) n <n,
và, về phân chia thông qua bởi n,
-1 <q - q 0 <1.
Kể từ khi q và q 0 là số nguyên nó sau đó q = q 0, theo yêu cầu