2.5 Systems of EquationsFor this se

2.5 Systems of Equations
For this section, we have selected non-standard systems of equations. The first example
involves just algebraic manipulations.
Prove that the only positive solution of
x+y2+z3 = 3,
y+z2+x3 = 3,
z+x2+y3 = 3
is (x,y, z) = (1,1,1).
From the difference of the first two equations, we obtain that
x(1−x2)+y(y−1)+z2(z−1) = 0.
From the difference of the last two equations, we obtain that
y(1−y2)+z(z−1)+x2(x−1) = 0.
Multiplying this equation by z and subtracting it from the one above yields
x(x−1)(1+x+xz)= y(y−1)(1+z+yz).
Similarly
y(y−1)(1+y+yx)= z(z−1)(1+x+zx).
2.5. Systems of Equations 51
From the last two relations, it follows that if x,y, and z are positive, then x,y, and z
are all equal to 1, all less than 1, or all greater than 1. The last two possibilities are
excluded, for x+y2+z3 = 3, and the result follows.
The second example is from the 1996 British Mathematical Olympiad.
Find all solutions in positive real numbers a,b,c,d to the following system:
a+b+c+d = 12,
abcd = 27+ab+ac+ad+bc+bd+cd.
Using the Arithmetic Mean–Geometric Mean (AM–GM) inequality in the second
equation, we obtain
abcd ≥ 27+6
√
abcd.
Moving everything to the left and factoring the expression, viewed as a quadratic polynomial
in
√
abcd, yields
(
√
abcd+3)(
√
abcd−9) ≥ 0.
This implies
√
abcd ≥ 9, which combined with the first equation of the system
gives
4 √
abcd ≥ a+b+c+d
4
.
The AM–GM inequality implies that a = b = c = d = 3 is the only solution.
And now a problem with a surprising solution from the 1996 Vietnamese Mathematical
Olympiad.
Find all positive real numbers x and y satisfying the system of equations
√
3x

1+
1
x+y

= 2,

7y

1− 1
x+y

= 4
√
2.
It is natural to make the substitution
√
x = u,
√
y = v. The system becomes
u

1+
1
u2+v2

=
√2
3
,
v

1− 1
u2+v2

=
4
√
√ 2
7
.
But u2+v2 is the square of the absolute value of the complex number z = u+iv. This
suggests that we add the second equation multiplied by i to the first one. We obtain
u+iv+
u−iv
u2+v2 =

√2
3
+i
4
√
√ 2
7

.
52 Chapter 2. Algebra and Analysis
The quotient (u−iv)/(u2+v2) is equal to ¯z/|z|2 = ¯z/(z¯z) = 1/z, so the above equation
becomes
z+
1
z
=

√2
3
+i
4
√
√ 2
7

.
Hence z satisfies the quadratic equation
z2 −

√2
3
+i
4
√
√ 2
7

z+1 = 0
with solutions

√1
3
± √2
21

+i

2
√
√ 2
7
±
√
2

,
where the signs + and − correspond.
This shows that the initial system has the solutions
x =

√1
3
± √2
21
2
, y =

2
√
√ 2
7
±
√
2
2
,
where the signs + and − correspond.
The systems below are to be solved in real numbers, unless specified otherwise.
1. Solve the system of equations
x+log(x+

x2+1) = y,
y+log(y+

y2+1) = z,
z+log(z+

z2 +1) = x.
2. Solve the system
log(2xy) = logxlogy,
log(yz) = logylogz,
log(2zx) = logz logx.
3. Solve the system of equations
xy+yz+zx = 12,
xyz = 2+x+y+z
in positive real numbers x,y, z.
2.5. Systems of Equations 53
4. Find all real solutions to the system of equations
4x2
4x2+1
= y,
4y2
4y2+1
= z,
4z2
4z2 +1
= x.
5. Find ax5+by5 if the real numbers a,b,x, and y satisfy the system of equations
ax+by= 3,
ax2+by2 = 7,
ax3+by3 = 16,
ax4+by4 = 42.
6. Find all solutions to the system of equations
6(x−y−1) = 3(y−z−1) = 2(z−x−1) = xyz−(zyz)−1
in nonzero real numbers x,y, z.
7. Find all integer solutions to the system
3 = x+y+z= x3+y3+z3.
8. Solve the system
x+
2
x
= 2y,
y+
2
y
= 2z,
z+
2
z
= 2x.
9. Solve the system of equations
(x+y)3 = z,
(y+z)3 = x,
(z+x)3 = y.
10. Solve the system
x2 −|x| = |yz|,
y2 −|y| = |zx|,
z2 −|z| = |xy|.
54 Chapter 2. Algebra and Analysis
11. Find the solutions to the system of equations
x+y
+{z}= 1.1,
x
+{y}+z= 2.2,
{x}+y+z
= 3.3,
where 
and {} denote respectively the greatest integer and fractional part functions.
12. For a given complex number a, find the complex solutions to the system
(x1 +x2+x3)x4 = a,
(x1 +x2+x4)x3 = a,
(x1 +x3+x4)x2 = a,
(x2 +x3+x4)x1 = a.
13. Find all real numbers a for which there exist nonnegative real numbers x1,x2,x3,x4,x5
satisfying the system
5Σ
k=1
kxk = a,
5Σ
k=1
k3xk = a2,
5Σ
k=1
k5xk = a3.
14. Solve the system of equations
x3−9(y2−3y+3)= 0,
y3−9(z2−3z+3)= 0,
z3 −9(x2−3x+3)= 0.
15. Solve the system
ax+by= (x−y)2,
by+cz= (y−z)2,
cz+ax = (z−x)2,
where a,b,c > 0.
16. Let a,b,c be positive real numbers, not all equal. Find all solutions to the system
of equations
x2 −yz = a,
y2 −zx = b,
z2 −xy = c,
in real numbers x,y, z.

Kết quả (Việt) 1:

2.5 hệ thống phương trìnhĐối với phần này, chúng tôi đã chọn các hệ thống không đạt tiêu chuẩn của phương trình. Ví dụ đầu tiênliên quan đến việc thao tác chỉ đại số.Chứng minh rằng các giải pháp chỉ tích cực củax + y2 + z3 = 3,y + z2 + x 3 = 3,z + x 2 + y3 = 3là (x, y, z) = (1,1,1).Từ sự khác biệt của các phương trình đầu tiên hai, chúng tôi có được màx(1−X2)+y(y−1)+z2(z−1) = 0.Từ sự khác biệt của các phương trình cuối hai, chúng tôi có được mày(1−y2)+z(z−1)+X2(x−1) = 0.Nhân phương trình này bởi z và trừ nó từ một ở trên sản lượngx(x−1)(1+x+XZ) = y(y−1)(1+z+yz).Tương tự như vậyy(y−1)(1+y+yx) = z(z−1)(1+x+zx).2.5. Hệ thống phương trình 51Từ cuối hai mối quan hệ, nó sau đó nếu x, y, và z là tích cực, sau đó x, y, và zTất cả bằng 1, tất cả ít hơn 1, hoặc tất cả lớn hơn 1. Khả năng cuối hai làloại trừ, cho x + y2 + z3 = 3, và kết quả sau.Ví dụ thứ hai là từ Olympic Toán Anh năm 1996.Tìm thấy tất cả các giải pháp trong số dương thực a, b, c, d để hệ thống sau:a + b + c + d = 12,ABCD = 27 + ab ac + quảng cáo + TCN bd + cd.Sử dụng bất bình đẳng trung bình cộng-hình học có nghĩa là (AM-GM) trong lần thứ haiphương trình, chúng tôi có đượcABCD ≥ 27 + 6√ABCD.Di chuyển tất cả mọi thứ bên trái và bao thanh toán các biểu hiện, xem như là một đa thức bậc haiở√ABCD, sản lượng(√ABCD + 3) ()√ABCD−9) ≥ 0.Điều này có nghĩa√ABCD ≥ 9, kết hợp với phương trình đầu tiên của hệ thốngcung cấp cho4 √ABCD ≥ a + b + c + d4.Bất đẳng thức AM-GM ngụ ý rằng một = b = c = d = 3 là giải pháp duy nhất.Và bây giờ là một vấn đề với giải pháp đáng ngạc nhiên từ toán học Việt Nam 1996Olympic.Tìm tất cả các số thực dương x và y đáp ứng hệ thống phương trình√3 x1 +1x + y= 2,7y1− 1x + y= 4√2.Nó là tự nhiên để làm cho sự thay thế√x = u,√y = v. Hệ thống sẽ trở thànhu1 +1U2 + v2=√23,v1− 1U2 + v2=4√√ 27.Nhưng u2 + v2 là hình vuông của giá trị tuyệt đối của z số phức = u + iv. Điều nàycho thấy rằng chúng tôi thêm phương trình thứ hai nhân với tôi để người đầu tiên. Chúng tôi có đượcu + iv +u−IVU2 + v2 =√23+ tôi4√√ 27.52 chương 2. Đại số và phân tíchThương (u−iv)/(u2+v2) là tương đương với ¯z/|z|2 = ¯z/(z¯z) = 1/z, vì vậy phương trêntrở thànhz +1z=√23+ tôi4√√ 27.Do đó z thỏa mãn phương trình bậc haiz2 −√23+ tôi4√√ 27z + 1 = 0với giải pháp√13± √221+ tôi2√√ 27±√2,nơi các dấu hiệu + và − tương ứng.Điều này cho thấy rằng hệ thống ban đầu có các giải phápx =√13± √2212, y =2√√ 27±√22,nơi các dấu hiệu + và − tương ứng.Các hệ thống dưới đây là để được giải quyết trong số thực, trừ khi được chỉ định khác.1. giải quyết hệ phương trìnhx + đăng nhập (x +x 2 + 1) = y,y + đăng nhập (y +y2 + 1) = z,z + đăng nhập (z +z2 + 1) = x.2. giải quyết hệ thốnglog(2xy) = logxlogy,log(YZ) = logylogz,log(2zx) = logz logx.3. giải quyết hệ phương trìnhxy yz ++ zx = 12,XYZ = 2 + x + y + ztrong số thực dương x, y, z.2.5. Hệ thống phương trình 534. Tìm tất cả các giải pháp thực tế để hệ thống phương trình4 x 24 x 2 + 1= y,4y24y2 + 1= z,4Z24Z2 + 1= x.5. tìm thấy ax5 + by5 nếu số thực a, b, x và y đáp ứng hệ thống phương trìnhax + by = 3,ax2 + by2 = 7,ax3 + by3 = 16,ax4 + by4 = 42.6. Tìm tất cả các giải pháp hệ thống của phương trình6(x−y−1) = 3(y−z−1) = 2(z−x−1) = −1 xyz− (zyz)ở nonzero số thực x, y, z.7. tìm thấy tất cả số nguyên giải pháp hệ thống3 = x + y + z = x 3 + y3 + z3.8. giải quyết hệ thốngx +2x= 2y,y +2y= 2,z +2z= 2 x.9. giải quyết hệ phương trình(x + y) 3 = z,(y + z) 3 = x,(z + x) 3 = y.10. giải quyết hệ thốngx 2 −|x| = |yz|,y2 −|y| = |zx|,z2 −|z| = |xy|.54 chương 2. Đại số và phân tích11. tìm thấy các giải pháp hệ thống của phương trìnhx + y+ {z} = 1.1, x+ (y) + z = 2.2,{x} + y + z= 3.3,nơi và {} biểu thị lần lượt các số nguyên lớn nhất và phân đoạn phần chức năng.12. đối với một số khu phức hợp a, tìm các giải pháp phức tạp cho hệ thống(x 1 + x 2 + 3) x 4 = a,(x 1 + x 2 + x 4) x 3 = a,(x 1 + x 3 + x 4) x 2 = a,(x 2 + 3 + x 4) x 1 = một.13. Tìm tất cả các số thực một cho đó có tồn tại số thực vô x 1, x 2, x 3, x 4, x 5đáp ứng hệ thống5Σk = 1kxk = một,5Σk = 1k3xk = a2,5Σk = 1k5xk = a3.14. giải quyết hệ phương trìnhx3−9(y2−3y+3) = 0,Y3−9(z2−3z+3) = 0,Z3 −9(x2−3x+3) = 0.15. giải quyết hệ thốngax + by = (x−y) 2,bởi + cz = (y−z) 2,cz + ax = (z−x) 2,nơi a, b, c > 0.16. cho a, b, c là số thực dương, không phải tất cả bằng. Tìm tất cả các giải pháp hệ thốngphương trìnhx 2 −yz = a,y2 −zx = b,z2 −xy = c,trong số thực x, y, z.

Kết quả (Việt) 2:

2.5 Hệ thống Equations
Đối với phần này, chúng tôi đã lựa chọn các hệ thống phi tiêu chuẩn của phương trình. Ví dụ đầu tiên
liên quan đến việc thao tác chỉ đại số.
Chứng minh rằng các giải pháp tích cực duy nhất của
x + y2 + z3 = 3,
y + z2 + x3 = 3,
z + x2 + y3 = 3
là (x, y, z) = (1, 1,1).
Từ sự khác biệt của hai phương trình đầu tiên, chúng ta có được là
x (1-x2) + y (y-1) + z2 (z-1) = 0.
Từ sự khác biệt của hai phương trình cuối cùng, chúng tôi được rằng
y (1-y2) + z (z-1) + x2 (x-1) = 0.
Nhân phương trình này bằng cách z và trừ nó từ một trên lãi suất của
x (x-1) (1 + x + xz ) = y (y-1) (1 + z + yz).
Tương tự như vậy
y (y-1) (1 + y + yx) = z (z-1) (1 + x + zx).
2.5. Hệ thống của phương trình 51
Từ hai quan hệ cuối cùng, nó sau đó nếu x, y, z là tích cực, sau đó x, y, và z
đều bằng 1, tất cả ít hơn 1, hoặc tất cả lớn hơn 1. Hai cuối cùng khả năng được
loại trừ, cho x + y2 + z3 = 3, và kết quả sau.
Ví dụ thứ hai là từ năm 1996 British Mathematical Olympiad.
Tìm tất cả các giải pháp trong các số thực dương a, b, c, d để hệ thống sau đây:
a + b + c + d = 12,
abcd = 27 + ab + ac + ad + bc + bd + cd.
Sử dụng Mean Arithmetic Mean-Geometric (AM-GM) bất bình đẳng trong lần thứ hai
phương trình, ta có
≥ abcd 27 + 6
√
abcd.
Di chuyển tất cả mọi thứ bên trái và bao thanh toán các biểu thức, xem như là một đa thức bậc hai
trong
√
abcd, sản lượng (√ abcd + 3) (√ abcd-9) ≥ 0. Điều này ngụ ý √ ≥ abcd 9, trong đó kết hợp với các phương trình đầu tiên của hệ thống cung cấp cho 4 √ abcd ≥ a + b + c + d 4. Các bất đẳng thức AM-GM ngụ ý rằng a = b = c = d = 3 là giải pháp duy nhất. Và bây giờ là một vấn đề với một giải pháp đáng ngạc nhiên từ năm 1996 Việt Toán học Olympiad. Tìm tất cả các số thực dương x và y thỏa mãn hệ phương trình √ 3x? 1+ 1 x + y? = 2,? 7y? 1- 1 x + y? = 4 √ 2. Nó là tự nhiên để làm cho thay √ x = u, √ y = v. Hệ thống này trở nên u? 1+ 1 u2 + v2? = √2 3, v? 1- 1 u2 + v2? = 4 √ √ 2 7. Nhưng u2 + v2 là phương của giá trị tuyệt đối của số phức z = u + iv. Điều này cho thấy rằng chúng ta thêm phương trình thứ hai nhân với tôi đến đầu tiên. Chúng tôi có được u + iv + u-iv u2 + v2 =? √2 3 + i 4 √ √ 2 7?. 52 Chương 2. Đại số và Phân tích Số thương (u-iv) / (u2 + v2) là bằng Z / | z | 2 = z / (ZZ) = 1 / z, do đó phương trình trên trở thành z + 1 z =? √2 3 + i 4 √ √ 2 7?. đáp ứng Do đó z các phương trình bậc hai z2 -? √2 3 + i 4 √ √ 2 7? z + 1 = 0 với các giải pháp? √1 3 ± √2 21? + i? 2 √ √ 2 7 ± √ 2?, nơi mà các dấu hiệu + và -. tương ứng với chương trình này rằng hệ thống ban đầu có các giải pháp x =? √1 3 ± √2 21? 2, y =? 2 √ √ 2 7 ± √ 2 2?, nơi mà các dấu hiệu + và -. tương ứng với các hệ thống dưới đây sẽ được giải quyết trong số thực, trừ khi có quy định khác. 1. Giải quyết những hệ phương trình x + log (x +? X2 + 1) = y, y + log (y +? Y2 + 1) = z, z + log (z +? Z2 1) = x. 2. Giải quyết các hệ thống log (2xy) = logxlogy, log (yz) = logylogz, log (2zx) = logz logx. 3. Giải quyết những hệ phương trình xy + yz + zx = 12, xyz = 2 + x + y + z trong dương các số thực x, y, z. 2.5. Hệ thống của phương trình 53 4. Tìm tất cả các giải pháp thực sự cho hệ phương trình 4x2 4x2 + 1 = y, 4y2 4y2 + 1 = z, 4z2 4z2 1 = x. 5. Tìm ax5 + by5 nếu các số thực a, b, x, và y thỏa mãn hệ phương trình ax + by = 3, AX2 + BY2 = 7, ax3 + by3 = 16, ax4 + by4 = 42. 6. Tìm tất cả các giải pháp cho các hệ phương trình 6 (x-y-1) = 3 (y-z-1) = 2 (z-x-1) = xyz- (zyz) -1 trong nonzero số thực x, y, z. 7. Tìm tất cả các giải pháp số nguyên cho hệ thống 3 = x + y + z = x3 + y3 + z3. 8. Giải quyết các hệ thống x + 2 x = 2y, y + 2 y = 2Z, z + 2 z = 2x. 9. Giải quyết những hệ phương trình (x + y) 3 = z, (y + z) 3 = x, (z + x) 3 = y. 10. Giải quyết các hệ thống x2 - | x | = | yz |, y2 - | y | = | zx |, z2 - | z | = | xy |. 54 Chương 2. Đại số và Phân tích 11. Tìm giải pháp cho các hệ phương trình x + y + {z} = 1,1, x + {y} + z = 2,2, {x} + y + z = 3,3, nơi  và {} là tương ứng với số nguyên lớn nhất và các chức năng phần phân đoạn. 12. Đối với một số phức tạp cho một, tìm ra các giải pháp phức tạp để hệ thống (x1 + x2 + x3) x4 = a, (x1 + x2 + x4) x3 = a, (x1 + x3 + x4) x2 = a, (x2 + x3 + x4) x1 = a. 13. Tìm tất cả các số thực a cho đó có tồn tại không âm số thực x1, x2, x3, x4, x5 đáp ứng hệ thống 5Σ k = 1 kxk = a, 5Σ k = 1 k3xk = a2, 5Σ k = 1 k5xk = a3. 14. Giải quyết những hệ phương trình x3-9 (y2-3y + 3) = 0, y3-9 (z2-3z + 3) = 0, z3 -9 (x2-3x + 3) = 0. 15. Giải quyết các hệ thống ax + by = (x-y) 2, bởi + cz = (y-z) 2, cz + ax = (z-x) 2, trong đó a, b, c> 0. 16. Cho a, b, c là các số thực dương, không phải tất cả như nhau. Tìm tất cả các giải pháp cho các hệ thống của phương trình x2 -yz = a, y2 -zx = b, z2 -xy = c, trong số thực x, y, z.