heights in halves. Then CEN O is a

heights in halves. Then CEN O is a parallelogram, hence, ∠N ED = ∠OCH = |∠A − ∠B| (cf. Problem 2.88). Points N , E and D lie on the circle of 9 points, hence, segment N D is seen from its center under an angle of 2∠N ED = 2|∠A − ∠B|.

5.112. Let O and I be the centers of the circumscribed and inscribed circles, respectively, of triangle ABC, let H be the intersection point of the heights; lines AI and BI intersect the circumscribed circle at points A1 and B1. Suppose that triangle ABC is not an isosceles one. Then OI : IH = OA1 : AH and OI : IH = OB1 : BH. Since OB1 = OA1, we see that AH = BH and, therefore, AC = BC. Contradiction.

5.113. Let O and I be the centers of the circumscribed and inscribed circles, respectively, of triangle ABC, H the orthocenter of triangle A1B1C1. In triangle A1B1C1, draw heights
A1A2, B1B2 and C1C2. Triangle A1B1C1 is an acute one (e.g., ∠B1A1C1 = ∠B+∠C < 90◦),
2
hence, H is the center of the inscribed circle of triangle A2B2C2 (cf. Problem 1.56, a). The corresponding sides of triangles ABC and A2B2C2 are parallel (cf. Problem 1.54 a) and, therefore, there exists a homothety that sends triangle ABC to triangle A2B2C2. This homothety sends point O to point I and point I to point H; hence, line IH passes through point O.

5.114. Let H be be the intersection point of the heights of triangle ABC, let E and M be the midpoints of segments CH and AB, see Fig. 60. Then C1M C2E is a rectangle.

Kết quả (Việt) 1:

đỉnh cao trong nửa. Sau đó, CEN O là một hình bình hành, do đó, ∠N ED = ∠OCH = | ∠A − ∠B | (x. vấn đề 2.88). Điểm N, E và D nằm trên vòng tròn 9 điểm, do đó, phân khúc N D được nhìn thấy từ Trung tâm của nó dưới một góc 2∠N ED = 2 | ∠A − ∠B |.5.112. Hãy để O và tôi đã là các trung tâm của vòng tròn và circumscribed ghi, tương ứng, của tam giác ABC, giả sử H là giao điểm độ cao; dòng AI và BI cắt đường tròn tại điểm A1 và B1. Giả sử rằng tam giác ABC không phải là một trong những cân. Sau đó OI: IH = OA1: AH và OI: IH = OB1: BH. Kể từ khi OB1 = OA1, chúng ta thấy rằng AH = BH, và do đó, AC = BC. Mâu thuẫn.5.113. Hãy để O và tôi là trung tâm của vòng tròn và circumscribed ghi tương ứng, của tam giác ABC, H orthocenter tam giác A1B1C1. Trong tam giác A1B1C1, vẽ heightsA1A2, B1B2 và C1C2. Tam giác A1B1C1 là một trong những cấp tính (ví dụ: ∠B1A1C1 = ∠B + ∠C < 90◦), 2do đó, H là trung tâm của vòng tròn ghi của tam giác A2B2C2 (x. 1.56 vấn đề, một). Hai hình tam giác ABC và A2B2C2, tương ứng là song song (x. vấn đề 1.54 một) và, do đó, có tồn tại một homothety gửi cho tam giác ABC để tam giác A2B2C2. Homothety này gửi điểm O đến điểm I và điểm tôi đến điểm H; Vì thế, dòng IH đi qua điểm O.5.114. Hãy để H là giao điểm của đỉnh cao của tam giác ABC, hãy để E và M midpoints đoạn CH và AB, xem hình 60. Sau đó C1M C2E là một hình chữ nhật.

Kết quả (Việt) 2:

cao trong nửa. Sau đó CEN O là một hình bình hành, do đó, ∠N ED = ∠OCH = | ∠A - ∠B | (x Problem 2.88). Điểm N, E và D nằm trên đường tròn 9 điểm, do đó, phân khúc NĐ được nhìn thấy từ trung tâm của nó dưới một góc 2∠N ED = 2 | ∠A - ∠B |.

5,112. Hãy O và I là trung tâm của vòng tròn circumscribed và ghi tương ứng của tam giác ABC, để cho H là giao điểm của những đỉnh cao; dòng AI và BI cắt nhau đường tròn ngoại tiếp tại các điểm A1 và B1. Giả sử rằng tam giác ABC không phải là một một cân. Sau đó OI: IH = OA1: AH và OI: IH = OB1: BH. Kể từ OB1 = OA1, chúng ta thấy rằng AH = BH và, do đó, AC = BC. Mâu thuẫn.

5,113. Hãy O và I là trung tâm của đường tròn ngoại tiếp và ghi tương ứng của tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác A1B1C1. Trong tam giác A1B1C1, vẽ chiều cao
A1A2, B1B2 và C1C2. Tam giác A1B1C1 là một cấp (ví dụ, ∠B1A1C1 = ∠B + ∠C <90◦),
2
do đó, H là trung tâm của vòng tròn ghi của tam giác A2B2C2 (x Problem 1.56, a). Các mặt tương ứng của tam giác ABC và A2B2C2 là song song (xem vấn đề 1,54 a) và, do đó, có tồn tại một homothety mà gửi tam giác ABC để tam giác A2B2C2. Homothety này sẽ gửi điểm O đến điểm I và điểm tôi đến điểm H; do đó, dòng IH qua điểm O.

5,114. Để cho H là là điểm giao nhau của chiều cao của tam giác ABC, hãy E và M là trung điểm của đoạn CH và AB, xem hình. 60. Sau đó C1M C2E là một hình chữ nhật.