We have µ(s, v) = 1≤j≤k c(ej ). For

We have µ(s, v) = 1≤j≤k c(ej ). For i ∈ 1..k let vi be the target node of ei and
define t0 = 0 and v0 = s. Then d[vi ] ≤1≤j≤i c(ej ) after time ti as a simple
induction shows. This is clear for i = 0 since d[s] is initialized to zero and d-values
are only decreased. After the relaxation of ei = R[ti ] for i > 0, we have d[vi ] ≤
d[vi−1 ] + c(ei ) ≤ 1≤j≤i c(ej ). Thus after time tk , we have d[v] ≤ µ(s, v). Since
d[v] cannot go below µ(s, v) by Lemma 26, we have d[v] = µ(s, v) after time tk and
hence after performing all relaxations in R.
Let us next prove that the parent information traces out shortest paths. We do so
under the additional assumption that shortest paths are unique and leave the general
case to the reader. After the relaxations in R, we have d[vi ] = µ(s, vi ) for 1 ≤ i ≤ k.
When d[vi ] was set to µ(s, vi ) by an operation relax (u, vi ), the existence of a path
of length µ(s, vi ) from s to vi was established. Since, by assumption, the shortest
path from s to vi is unique, we must have u = vi−1 and hence parent[vi ] = vi−1 .

Kết quả (Việt) 1:

Chúng tôi có μ (s, v) = 1≤j≤k c (ej). Cho tôi ∈ 1..k cho vi là nút mục tiêu của ei và
define t0 = 0 và v0 = s. Sau đó d [vi] ≤1≤j≤i c (ej) sau khi thời gian ti là một đơn giản
cho thấy cảm ứng. Đây là rõ ràng cho tôi = 0 kể từ khi d [s] được khởi tạo zero và d-giá trị
chỉ giảm. Sau khi thư giãn ei = R [ti] cho tôi > 0, chúng tôi có d [vi] ≤
d [vi−1] c (ei) ≤ 1≤j≤i c (ej). Vì vậy sau khi thời gian tk, chúng tôi có d [v] ≤ μ (s, v). Kể từ khi
d [v] không thể đi dưới đây μ (s, v) bởi bổ đề 26, chúng tôi có d [v] = μ (s, v) sau thời gian tk và
do đó sau khi thực hiện tất cả thư giãn ở R.
cho chúng tôi tiếp theo chứng minh rằng thông tin phụ huynh dấu vết trong con đường ngắn nhất. Chúng tôi làm như vậy
theo giả định bổ sung rằng con đường ngắn nhất là duy nhất và để lại tướng
trường hợp đến người đọc. Sau khi thư giãn trong R, chúng tôi có d [vi] = μ (s, vi) với 1 ≤ tôi ≤ k.
khi d [vi] đã được thiết lập để μ (s, vi) bởi một hoạt động thư giãn (u, vi), sự tồn tại của một con đường
chiều dài μ (s, vi) từ s để vi được thành lập. Kể từ khi, bởi giả định, ngắn nhất
đường đi từ s tới vi là duy nhất, chúng ta phải có u = vi−1 và do đó phụ huynh [vi] = vi−1.

Kết quả (Việt) 2:

Chúng ta có μ (s, v) = 1 ≤ j ≤ kc (ej). Cho i ∈ 1 .. k cho vi là nút mục tiêu của ei và
xác định t0 = 0 và v0 = s. Sau đó d [vi] ≤ 1 ≤ j ≤ ic (ej) sau thời gian ti như một đơn giản
cho thấy cảm ứng. Này là rõ ràng cho i = 0 từ d [s] được khởi tạo bằng không và d-giá trị
chỉ giảm. Sau khi thư giãn của ei = R [ti] cho i> 0, chúng ta có d [vi] ≤
d [vi-1] + c (ei) ≤ 1 ≤ j ≤ ic (ej). Do đó sau khi thời gian tk, chúng ta có d [v] ≤ μ (s, v). Từ
d [v] không thể xuống thấp hơn μ (s, v) của Bổ đề 26, chúng ta có d [v] = μ (s, v) sau thời gian tk và
do đó sau khi thực hiện tất cả các nới lỏng trong R.
Hãy để chúng tôi tiếp theo chứng minh rằng phụ huynh thông tin vạch ra đường đi ngắn nhất. Chúng tôi làm như vậy
theo giả định thêm rằng đường đi ngắn nhất là duy nhất và rời khỏi chung
trường hợp cho người đọc. Sau khi nới lỏng trong R, chúng ta có d [vi] = μ (s, vi) cho 1 ≤ i ≤ k.
Khi d [vi] được thiết lập để μ (s, vi) bởi một hoạt động thư giãn (u, vi), sự tồn tại của một con đường
dài μ (s, vi) từ s đến vi được thành lập. Kể từ đó, theo giả thiết, ngắn
đường đi từ s đến vi là duy nhất, chúng ta phải có u = vi-1 và vì vậy cha mẹ [vi] = vi-1.