We use a second order minmod based

We use a second order minmod based MUSCL spatial discretization [106]
to approximate the spatial derivative in (1.1). It is easy to prove, by using
Harten’s lemma [34] (see Chapter 11), that the forward Euler time discretization
with this second order MUSCL spatial operator is total variation
diminishing (TVD) under the Courant-Friedrichs-Levy (CFL) condition:

t ≤

x
2maxj |unj
|
. (1.7)
Thus
t =
x
2maxj |un
j |
is used in the calculation.
We consider two second order Runge–Kutta methods for the time discretization.
The first is the second order SSP Runge–Kutta method given
in [92]:
u(1) = un +
tF (un) (1.8)
un+1 =
1
2
un +
1
2
u(1) +
1
2

tF(u(1)),
the second is the method:
u(1) = un − 20
tF (un) (1.9)
un+1 = un +
41
40

tF(un) −
1
40

tF(u(1)).
It is easy to verify that both methods are second order accurate in time.
However, it can be easily verified that the second method (1.9) is not SSP.
In Figure 1.1 (reproduced from [92]) we show the results of the SSP Runge–
Kutta method (1.8) and the non-SSP method (1.9), after the shock moves
about 50 grids. We can clearly see that the non-SSP result is oscillatory
(there is an overshoot).
Such oscillations are also observed when the non-SSP Runge–Kutta
method coupled with a second order TVD MUSCL spatial discretization is

Kết quả (Việt) 1:

Chúng tôi sử dụng một thứ hai đặt hàng minmod dựa trên MUSCL không gian discretization [106]để ước tính đạo hàm không gian trong (1.1). Nó rất dễ dàng để chứng minh, bằng cách sử dụngBổ đề của Harten [34] (xem chương 11), Euler phía trước thời gian discretizationvới thứ tự thứ hai này MUSCL không gian là tất cả các biến thểgiảm dần (TVD) với điều kiện Courant Friedrichs Levy (CFL):t ≤x2maxj | unj|. (1.7)Do đó t = x2maxj | unj |được sử dụng trong tính toán.Chúng ta hãy xem xét hai phương pháp đơn đặt hàng Runge-Kutta thứ hai cho discretization thời gian.Đầu tiên là phương pháp SSP Runge-Kutta đưa ra lệnh thứ haitrong [92]:u(1) = un + tF (un) (1.8)un + 1 =12un +12u(1) +12tF(u(1)),Thứ hai là phương pháp:u(1) = Liên Hiệp Quốc − 20 tF (un) (1.9)un + 1 = un +4140tF(un) −140tF(u(1)).Nó rất dễ dàng để kiểm chứng rằng cả hai phương pháp chính xác trong thời gian lệnh thứ hai.Tuy nhiên, nó có thể được dễ dàng xác nhận rằng phương pháp thứ hai (1.9) không phải là SSP.Ở hình 1.1 (sao chép từ [92]), chúng tôi hiển thị các kết quả của các SSP Runge-Phương pháp Kutta (1.8) và phương pháp SSP (1.9), sau những cú sốc chuyểnkhoảng 50 lưới. Chúng ta có thể thấy rõ kết quả SSP là oscillatory(đó là một vượt qua).Dao động như vậy cũng quan sát thấy khi non-Runge-Kuttaphương pháp kết hợp với một lệnh thứ hai TVD MUSCL không gian discretization là

Kết quả (Việt) 2:

Chúng tôi sử dụng một trật tự minmod thứ hai dựa MUSCL không gian rời rạc [106]
để gần đúng đạo hàm không gian trong (1.1). Nó rất dễ dàng để chứng minh, bằng cách sử dụng
Harten của Bổ đề [34] (xem Chương 11), mà phía trước Euler thời gian rời rạc
với trật tự thứ hai MUSCL hành không gian này là tổng số biến thể
giảm bớt (TVD) dưới sự-Friedrichs-Levy Courant (CFL) điều kiện :
? t ≤
x?
2maxj | unj
|
. (1.7)
Như vậy t = x?
2maxj | un
j |
. Được sử dụng trong tính toán
Chúng tôi xem xét hai bậc hai phương pháp Runge-Kutta lần rời rạc.
Đầu tiên là lệnh thứ hai phương pháp SSP Runge-Kutta cho
trong [92] :
? u (1) = un + TF (un) (1.8)
un + 1 =
1
2
un +
1
2
u (1) +
1
2
TF (u (1)),?
thứ hai là phương thức:
u ( 1) = un - 20 TF (un) (1.9)
un + 1 = un +
41
40
TF (un) -
1
40
TF (u (1?)).
Nó rất dễ dàng để xác minh rằng cả hai phương pháp là tự thứ hai chính xác trong thời gian.
Tuy nhiên, nó có thể dễ dàng xác minh rằng phương pháp thứ hai (1.9) không phải là SSP.
trong hình 1.1 (sao chép từ [92]), chúng tôi hiển thị kết quả của SSP Runge-
phương pháp Kutta (1.8) và không phương pháp SSP (1.9), sau cú sốc chuyển
khoảng 50 lưới. Chúng ta có thể thấy rõ rằng kết quả không SSP là dao động
(có một vượt qua).
Dao động như vậy cũng được quan sát thấy khi không SSP Runge-Kutta
phương pháp cùng với một trật tự thứ hai TVD MUSCL rời rạc không gian là