In Example 2.39(f) we observed that

In Example 2.39(f) we observed that if R is any ring, then we can create a polynomial ring with coefficients taken from R. This ring is denoted by
R[x] = {a0 + a1x + a2x2 + ••• + anxn : n ≥ 0 and a0,a1,...,an ∈ R}.
The degree of a nonzero polynomial is the exponent of the highest power of x that appears. Thus if
a(x) = a0 + a1x + a2x2 + ••• + anxn
with = 0, then a(x) has degree n. We denote the degree of a by deg(a), and we call an the leading coefficient of a(x). A nonzero polynomial whose leading coefficient is equal to 1 is called a monic polynomial. For example, 3 + x2 is a monic polynomial, but 1 + 3x2 is not.
Especially important are those polynomial rings in which the ring R is a field; for example, R could be Q or R or C or a finite field Fp. (For cryptography, by far the most important case is the last named one.) One reason why it is so useful to take R to be a field F is because virtually all of the properties of Z that we proved in Section 1.2 are also true for the polynomial ring F[x]. This section is devoted to a discussion of the properties of F[x].
Back in high school you undoubtedly learned how to divide one polynomial by another. We recall the process by doing an example. Here is how one divides x5 + 2x4 + 7 by x3 − 5:
x2 + 2x R 5x2 + 10x + 7

In other words, x5 +2x4 +7 divided by x3 −5 gives a quotient of x2 +2x with a remainder of 5x2 + 10x + 7. Another way to say this is to write x5 + 2x4 + 7 = (x2 + 2x) • (x3 − 5) + (5x2 + 10x + 7).
Notice that the degree of the remainder 5x2 +10x+7 is strictly smaller than the degree of the divisor x3 − 5.
We can do the same thing for any polynomial ring F[x] as long as F is a field. Rings of this sort that have a “division with remainder” algorithm are called Euclidean rings.

Kết quả (Việt) 1:

Trong ví dụ 2.39(f) chúng tôi quan sát thấy rằng nếu R là bất kỳ vòng, sau đó chúng tôi có thể tạo ra một vòng đa thức với hệ số Lấy từ R. Vòng này là biểu hiện bằngR [x] = {a0 + a1x + a2x2 + • + anxn: n ≥ 0 và a0, a1,..., một ∈ R}.Mức độ của một đa thức nonzero là số mũ của quyền lực cao nhất của x xuất hiện. Vì vậy nếua(x) = a0 + a1x + a2x2 + • + anxnvới = 0, thì a(x) có bậc n. Chúng tôi biểu thị mức độ một bởi deg(a), và chúng tôi gọi một hệ số hàng đầu của a(x). Một đa thức nonzero có hệ số hàng đầu là bằng 1 được gọi là một đa thức monic. Ví dụ, 3 + x 2 là một đa thức monic, nhưng 1 + 3 x 2 không phải là.Đặc biệt quan trọng là những vòng đa thức trong đó vòng R là một lĩnh vực; Ví dụ, R có thể Q hoặc R hoặc C hoặc một trường hữu hạn Fp. (đối với mật mã học, quan trọng nhất trường hợp là cuối cùng được đặt theo tên một.) Một lý do tại sao nó là như vậy có ích để có R là một lĩnh vực F là bởi vì hầu như tất cả các thuộc tính của Z mà chúng tôi đã chứng minh trong phần 1.2 cũng là đúng cho đa thức vòng F [x]. Phần này dành cho một cuộc thảo luận của các thuộc tính của F [x].Trở lại tại trường trung học, bạn chắc chắn đã học được làm thế nào để chia một đa thức khác. Chúng tôi gợi lại quá trình này bằng cách thực hiện một ví dụ. Ở đây là làm thế nào một phân chia x 5 + 2 x 4 + 7 bởi x 3 − 5: x 2 + 2 x R 5 x 2 + 10 x + 7 Nói cách khác, x 5 + 2 x 4 + 7 chia cho x 3 −5 cung cấp cho một thương của x 2 + 2 với một phần còn lại của 5 x 2 + 10 x + 7. Một cách khác để nói điều này là để viết x 5 + 2 x 4 + 7 = (x 2 + 2 x) • (x 3 − 5) + (5 x 2 + 10 x + 7).Nhận thấy rằng mức độ của phần còn lại 5 x 2 + 10 x + 7 là nghiêm chỉnh nhỏ hơn so với mức độ − ước số x 3 5.Chúng tôi có thể làm điều tương tự cho bất kỳ đa thức vòng F [x] miễn là F là một lĩnh vực. Các vành đai của loại này có một thuật toán "phân chia với thời gian còn lại" danh xưng trong tiếng Pháp là nhẫn Euclid.

Kết quả (Việt) 2:

Trong Ví dụ 2.39 (f), chúng tôi quan sát thấy rằng nếu R là bất nhẫn, sau đó chúng ta có thể tạo ra một vòng đa thức với hệ số lấy từ R. Chiếc nhẫn này được ký hiệu là
R [x] = {a0 + a1x + a2x2 + ••• + anxn : n ≥ 0 và a0, a1, ..., an ∈ R}.
Mức độ của một đa thức khác không là số mũ của quyền lực cao nhất của x xuất hiện. Vì vậy, nếu
một (x) = a0 + a1x + a2x2 + ••• + anxn
với = 0, sau đó a (x) có bậc n. Chúng tôi biểu thị mức độ của một bởi deg (a), và chúng ta gọi là hệ số hàng đầu của a (x). Một đa thức khác không có đạo hệ số bằng 1 được gọi là một đa thức Monic. Ví dụ, 3 + x2 là một đa thức Monic, nhưng 1 + 3x2 là không.
Đặc biệt quan trọng là những vòng đa thức trong đó vòng R là một lĩnh vực; Ví dụ, R có thể là Q hoặc R hoặc C hay một trường hữu hạn Fp. (Đối với mật mã, bởi đến nay các trường hợp quan trọng nhất là một trong những tên cuối cùng). Một lý do tại sao nó là rất hữu ích để có R là một lĩnh vực F là bởi vì hầu như tất cả các thuộc tính của Z mà chúng tôi chứng minh trong phần 1.2 cũng là đúng sự thật cho vòng đa thức F [x]. Phần này được dành cho một cuộc thảo luận về các thuộc tính của [x] F.
Quay trở lại trường trung học bạn chắc chắn đã học được cách chia một đa thức của người khác. Chúng ta nhớ lại quá trình bằng cách làm một ví dụ. Dưới đây là cách người ta chia x5 + 2x4 + 7 bởi x3 - 5:
x2 + 2x R 5x2 + 10x + 7 Nói cách khác, x5 + 2x4 7 chia cho x3 -5 cho một thương của x2 + 2x với phần còn lại của 5x2 + 10x + 7. Một cách khác để nói điều này là để viết x5 + 2x4 + 7 = (x2 + 2x) • (x3 - 5). + (5x2 + 10x + 7) Chú ý rằng mức độ của 5x2 còn lại + 10x + 7 là đúng nhỏ hơn so với mức độ của x3 ước -. 5 Chúng ta có thể làm điều tương tự cho bất kỳ vòng đa thức F [x] miễn là F là một lĩnh vực. Nhẫn kiểu này mà có một "bộ phận còn lại với" thuật toán được gọi là nhẫn Euclide.