1.1 SYSTEMS 0F LINEAR EQUATIONS A

1.1 SYSTEMS 0F LINEAR EQUATIONS


A linear equation in the variables x1,...,xn is an equation that can be written in the form
a1x1 + a2x2 + ••• + anxn = b
where b and the coefficients a1;... ,an are real or complex numbers, usually known in advance. The subscript n may be any positive integer. In textbook examples and exercises, n is normally between 2 and 5. In real-life problems, n might be 50 or 5000, or even larger.
The equations
4x1 — 5x2 + 2 = x1 and x2 = 2(V6 — x^ + x3
are both linear because they can be rearranged algebraically as in equation (1):
3x1 — 5x2 = —2 and 2x1 + x2 — x3 = 2V6
The equations
4x1 — 5x2 = x1x2 and x2 = 2^fx[ — 6
are not linear because of the presence of x1 x2 in the first equation and ựxĩ in the second.
A system of linear equations (or a lineai- system) is a collection of one or more linear equations involving the same variables — say, x1,... ,xn. An example is
2x1 — x2 + 1.5x3 = 8
4x3 = —7 
A solution of the system is a list (s1 ,s2,..., sn) of numbers that makes each equation a truestatementwhenthevaluesS1,... ,sn aresubstitutedforx1,...,xn,respectively. For instance, (5, 6.5,3/ is a solutionof system (2) because, when these values are substituted in (2) for x1 ,x2,x3, respectively, the equations simplify to 8 = 8 and —7 = —7.
The set of all possible solutions is called the solution set of the linear system. Two linear systems are called equivalent if they have the same solution set. That is, each solution of the first system is a solution of the second system, and each solution of the second system is a solution of the first.
Finding the solution set of a system of two linear equations in two variables is easy because it amounts to finding the intersection of two lines. A typical problem is
x1 — 2x2 = — 1 —x1 + 3x2 = 3
The graphs of these equations are lines, which we denote by ' 1 and '2. A pair of numbers (x1, x2) satisfies both equations in the system if and only if the point (x1, x2) lies on both '1 and '2. In the system above, the solution is the single point (3,2), as you can easily verify. SeeFig. 1.
x2


Of course, two lines need not intersect in a single point—they could be parallel, or they could coincide and hence “intersect” at every point on the line. Figure 2 shows the graphs that correspond to the following systems:



2
X

(a) (b)
FIGURE 2 (a) No solution. (b) Infinitely many solutions.
Figures 1 and 2 illustrate the following general fact about linear systems, to be verified in Section 1.2.

Kết quả (Việt) 1:

1.1 HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 0F Một phương trình tuyến tính trong biến x 1,..., xn là một phương trình mà có thể được viết bằng các hình thứca1x1 + a2x2 + • + anxn = bnơi b và a1 hệ số;..., một là thực hoặc số phức, thường được biết trước. Subscript n có thể là bất kỳ số nguyên dương. Trong ví dụ sách giáo khoa và các bài tập, n là bình thường từ 2 đến 5. Trong vấn đề cuộc sống thực, n có thể 50 hoặc 5000, hoặc thậm chí lớn hơn.Các phương trình4 x 1-5 x 2 + 2 = x 1 và x 2 = 2(V6 — x^ + x3là cả hai tuyến tính bởi vì họ có thể được sắp xếp lại trường như trong phương trình (1):3 x 1-5 x 2 =-2 và 2 x 1 + x 2-x 3 = 2V6Các phương trình4 x 1-5 x 2 = x 1 x 2 và x 2 = 2 ^ fx [— 6không phải là tuyến tính vì sự hiện diện của x 1 x 2 trong phương trình đầu tiên và ựxĩ trong thứ hai.Một hệ thống phương trình tuyến tính (hoặc một hệ thống lineai) là một bộ sưu tập của một hoặc nhiều phương trình tuyến tính liên quan đến các biến cùng — nói, x 1,..., xn. Một ví dụ là2 x 1-x 2 + 1.5x3 = 84 x 3 =-7 Một giải pháp của hệ thống là một danh sách (s1, s2,..., sn) của con số mà làm cho mỗi phương trình một truestatementwhenthevaluesS1,..., aresubstitutedforx1 sn,..., xn, tương ứng. Ví dụ, (5, 6.5,3 / là một hệ thống solutionof (2) bởi vì, khi các giá trị này được thay thế trong (2) cho x 1, x 2, x 3, tương ứng, các phương trình đơn giản hóa để 8 = 8 và — 7 =-7.Các thiết lập của tất cả các giải pháp có thể được gọi là bộ giải pháp hệ thống tuyến tính. Hai hệ thống tuyến tính được gọi là tương đương nếu họ có các giải pháp tương tự thiết lập. Có nghĩa là, mỗi giải pháp của hệ thống đầu tiên là một giải pháp của hệ thống thứ hai, và mỗi giải pháp của hệ thống thứ hai là một giải pháp đầu tiên.Tìm các giải pháp thiết lập của một hệ thống phương trình tuyến tính hai trong hai biến là dễ dàng bởi vì số tiền đến việc tìm kiếm giao điểm của hai dòng. Một vấn đề điển hình làx 1-2 x 2 =-1-x 1 + 3 x 2 = 3Đồ thị của các phương trình là dòng, trong đó chúng tôi biểu thị bởi ' 1 và ' 2. Một cặp số (x 1, x 2) đáp ứng cả hai phương trình trong hệ thống nếu và chỉ nếu điểm (x 1, x 2) nằm trên cả hai ' 1 và ' 2. Trong hệ thống trên, giải pháp là điểm duy nhất (3,2), như bạn có thể dễ dàng xác minh. SeeFig. 1.x 2 Tất nhiên, hai dòng cần không giao nhau ở một điểm duy nhất-họ có thể là song song, hoặc họ có thể trùng và do đó "giao nhau" tại mỗi điểm trên dòng. Hình 2 cho thấy các đồ thị tương ứng với các hệ thống sau: 2X(a) (b).HÌNH 2 (a) không có giải pháp. (b) vô hạn nhiều giải pháp.Con số 1 và 2 minh họa thực tế chung sau đây về hệ thống tuyến tính, để được xác minh trong phần 1.2.

Kết quả (Việt) 2:

1.1 HỆ THỐNG 0F phương trình tuyến tính Một phương trình tuyến tính trong các biến x1, ..., xn là một chương trình có thể được viết dưới dạng a1x1 + a2x2 + ••• + anxn = b trong đó b và các hệ số a1; ..., một là thực hay phức tạp số, thường được biết trước. Subscript n có thể là các số nguyên dương. Trong ví dụ và bài ​​tập sách giáo khoa, n là bình thường giữa 2 và 5. Trong các vấn đề thực tế cuộc sống, n có thể là 50 hoặc 5000, hoặc thậm chí lớn hơn. Các phương trình 4x1 - 5x2 + 2 = x1 và x2 = 2 (V6 - x ^ + x3 đều tuyến tính bởi vì chúng có thể được sắp xếp lại đại số như trong phương trình (1): 3x1 - 5x2 = -2 và 2x1 + x2 - x3 = 2V6 Các phương trình 4x1 - 5x2 = x1x2 và x2 = 2 ^ fx [- 6 là không tuyến tính . vì sự hiện diện của x1 x2 trong phương trình đầu tiên và ựxĩ trong lần thứ hai Một hệ phương trình tuyến tính (hay một hệ thống lineai-) là một tập hợp của một hoặc nhiều phương trình tuyến tính liên quan đến các biến tương tự - nói, x1, ... ., xn Một ví dụ là 2x1 - x2 + 1.5x3 = 8 4x3 = -7  Một giải pháp của hệ thống là một danh sách (s1, s2, ..., sn) của số đó làm cho mỗi phương trình một truestatementwhenthevaluesS1, ..., sn aresubstitutedforx1, ..., xn, tương ứng. Ví dụ, (5, 6.5,3 / là một hệ thống solutionof (2) bởi vì, khi những giá trị được thay thế vào (2) cho x1, x2, x3, tương ứng, các phương trình đơn giản hóa đến 8 = 8 và -7 = -7. Các thiết lập của tất cả các giải pháp có thể được gọi là bộ giải pháp của hệ thống tuyến tính. Hai hệ thống tuyến tính được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp cùng một giải pháp. Đó là, mỗi giải pháp của hệ thống đầu tiên là một giải pháp của hệ thống thứ hai, và mỗi giải pháp của hệ thống thứ hai là một giải pháp đầu tiên. Việc tìm kiếm các giải pháp thiết lập một hệ thống của hai phương trình tuyến tính theo hai biến là dễ dàng bởi vì nó tích để tìm kiếm các giao điểm của hai dòng. Một vấn đề điển hình là x1 - 2x2 = - 1 -X 1 + 3x2 = 3 Các đồ thị của các phương trình đường thẳng, mà chúng biểu thị bằng '1 và' 2. Một cặp số (x1, x2) thỏa mãn cả hai phương trình trong hệ thống nếu và chỉ nếu điểm (x1, x2) nằm trên cả hai '1 và' 2. Trong các hệ thống ở trên, giải pháp này là điểm duy nhất (3,2), như bạn có thể dễ dàng xác minh. SeeFig. 1. x2 Tất nhiên, hai dòng không cần phải cắt nhau tại một điểm duy nhất, họ có thể là song song, hoặc họ có thể trùng và do đó "giao nhau" ở mọi điểm trên đường dây. Hình 2 cho thấy các đồ thị tương ứng với các hệ thống sau: 2 X (a) (b) Hình 2 (a) Không có giải pháp. (B) Infinitely nhiều giải pháp. Hình 1 và 2 minh họa thực tế chung sau đây về các hệ thống tuyến tính, để được xác nhận tại mục 1.2.