As a final test case, we investigat

As a final test case, we investigate the accuracy of the proposed schemes in conjunction with various high order
spatial discretization operators. We perform several tests that demonstrate that these methods converge with the
correct order for linear and nonlinear problems. In the first study (Example 3), we refine the grid only in time, and
show that if the spatial discretization is sufficiently accurate the multi-derivative methods exhibit the design-order
of convergence. We also compare the performance of the third order multi-derivative method to the three stage
third order explicit SSP Runge–Kutta method (SSPRK3,3) [32] and show that the convergence properties are the
same, indicating that the additional error in approximating Ft does not affect the accuracy of the method. In the
second study (Example 4) we co-refine the spatial and temporal grid by setting
t = 
x for a fixed , and shrink

x. We observed that since the order of the spatial method is higher than the order of the temporal discretization,
the time-stepping method achieves the design-order of accuracy both for linear and nonlinear problems.
Example 3a: temporal grid refinement with pseudospectral approximation of the spatial derivative.
We begin with a linear advection problem Ut + Ux = 0 with periodic boundary conditions and initial conditions
u0(x) = 0:5 + 0:5 sin(x) on the spatial domain x 2 [0; 2]. We discretize the spatial grid with N = 41 equidistant
points and use the Fourier pseudospectral differentiation matrix D [10] to compute F 

Kết quả (Việt) 1:

Là một trường hợp thử nghiệm cuối cùng, chúng tôi điều tra tính chính xác của các chương trình được đề xuất kết hợp với các đơn đặt hàng caokhông gian discretization nhà khai thác. Chúng tôi thực hiện một số xét nghiệm chứng minh rằng những phương pháp này hội tụ với cácđúng thứ tự cho các vấn đề về tuyến tính và phi tuyến. Trong nghiên cứu đầu tiên (ví dụ 3), chúng tôi lọc lưới chỉ trong thời gian, vàHiển thị rằng nếu không gian discretization là đủ chính xác các phương pháp đa bắt nguồn từ triển lãm để thiết kếhội tụ. Chúng tôi cũng so sánh hiệu suất của trật tự thứ ba đa bắt nguồn từ phương pháp giai đoạn baThứ tự thứ ba phương pháp rõ ràng SSP Runge-Kutta (SSPRK3, 3) [32] và hiển thị các thuộc tính hội tụ cáctương tự, chỉ ra lỗi bổ sung trong số Ft không ảnh hưởng đến tính chính xác của phương pháp. Trong cácHai nghiên cứu (ví dụ 4) chúng ta đồng tinh chỉnh lưới không gian và thời gian bằng cách đặt t = x cho một cố định, và co lạix. Chúng tôi quan sát thấy rằng kể từ khi đặt hàng của các phương pháp không gian là cao hơn so với thứ tự thời gian discretization,thời gian-bước phương pháp đạt được thiết kế để cả hai chính xác cho các vấn đề về tuyến tính và phi tuyến.Ví dụ 3a: thời gian lưới sàng lọc với xấp xỉ pseudospectral của đạo hàm không gian.Chúng tôi bắt đầu với một vấn đề tuyến tính advection Ut + Ux = 0 với điều kiện biên định kỳ và các điều kiện ban đầuu0(x) = 0:5 + 0:5 sin(x) trên tên miền không gian x 2 [0; 2]. Chúng tôi discretize lưới không gian với N = 41 equidistantđiểm và sử dụng ma trận sự khác biệt pseudospectral Fourier D [10] để tính toán F