so a + bi is a perfect square after

so a + bi is a perfect square after all. (The point is that we have now argued this correctly,
rather than incorrectly as before.) The derivation of (8.3) from unique factorizzation in
Z[i] is really the key step in this proof. The remainder of the proof will be just a matter of
careful bookkeeping.
Identifying real and imaginary parts in (8.3) gives us
a = m2 − n
2
, b = 2mn.
Therefore c
2 = a
2 +b
2 = (m2 −n
2
)
2 + 4m2n
2 = m4 + 2m2n
2 +n
4 = (m2 +n
2
)
2
. Since c > 0
we see that
c = m2 + n
2
.
Since b > 0, the formula for b shows m and n have the same sign: they are both positive
or both negative. We can negate them both if necessary to assume m and n are positive
without changing the values of a, b, or c. Since a > 0 we have m > n. Because a is odd,
m and n have different parities. If m and n have a common factor, then we get a common
factor in a, b, and c. Therefore primitivity of the triple (a, b, c) makes m and n relatively
prime.
Now we show any triple (m2 −n
2
, 2mn, m2 +n
2
) with m and n positive, relatively prime,
of opposite parity, and m > n, is a primitive Pythagorean triple. Easily it is a Pythagorean
triple. Suppose it is not primitive. Then some prime p divides each of m2 − n
2
, 2mn, and
m2 + n
2
. Since the first term is odd, p 6= 2. Then from p|2mn we have either p|m or p|n.
If p|m, then the relation m2 ≡ n
2 mod p shows n
2 ≡ 0 mod p, so p|n. We were supposing
(m, n) = 1, so we have a contradiction. That shows the triple is primitive. If instead p|n
then we get a contradiction in the same way as before (just interchange the roles of m and
n).
As for the triple being uniquely determined by m and n, (8.3) tells us that the parameters
m and n which describe the triple (a, b, c) are the coordinates of a square root of a + bi. As
there are only two square roots, which just differ by a sign, the uniqueness falls out (since
we take m > 0 and n > 0).
This proof tells us how to produce Pythagorean triples on demand: take any Gaussian
integer α (with non-zero real and imaginary parts) and square it, say α
2 = a + bi. Then
(|a|, |b|, N(α)) is a Pythagorean triple. For example, (17+12i)
2 = 145+408i and 172+122 =
433. Therefore (145, 408, 433) is a Pythagorean triple (check it!). Moreover, since 17 and
12 are relatively prime, this triple is primitive.
To better appreciate this approach to a
2 + b
2 = c
2
, let’s apply it to a
2 + b
2 = c
3
.

Kết quả (Việt) 1:

Vì vậy, một + bi là một hình vuông hoàn hảo sau khi tất cả. (Vấn đề là rằng chúng tôi có bây giờ cho rằng điều này một cách chính xác,chứ không phải là không chính xác như trước.) Các derivation (8.3) từ duy nhất factorizzation trongZ [i] thực sự là bước quan trọng trong bằng chứng này. Phần còn lại của các bằng chứng sẽ là chỉ là một vấn đề củacẩn thận sổ sách kế toán.Xác định các bộ phận thực tế và tưởng tượng trong (8.3) cho chúng tamột = m2 − n2, b = 2mn.Do đó c2 = một2 + b2 = (m2 −n2)2 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2. Kể từ khi c > 0chúng ta thấy rằngc = m2 + n2.Từ b > 0, công thức cho b cho thấy m và n có dấu hiệu giống nhau: cả hai tích cựchoặc cả hai tiêu cực. Chúng tôi có thể phủ nhận cả hai nếu cần thiết để giả sử m và n là tích cựcmà không thay đổi các giá trị của a, b, hoặc c. Kể từ khi một > 0, chúng ta có m > n. Bởi vì một là lẻ,m và n có parities khác nhau. Nếu m và n có một yếu tố thường gặp, sau đó chúng tôi nhận được một phổ biếnyếu tố a, b, và c. Do đó primitivity của bộ ba (a, b, c) làm cho m và n tương đốiThủ tướng chính phủ.Bây giờ chúng tôi hiển thị bất kỳ ba (m2 −n2, 2mn, m2 + n2) với m, n tích cực và tương đối thủ,ngược lại tính chẵn lẻ, và m > n, là ba Pytago nguyên thủy. Một cách dễ dàng nó là một PythagoreTriple. Cho rằng nó không phải là nguyên thủy. Sau đó một số nguyên tố p phân chia mỗi m2 − n2, 2mn, vàm2 + n2. Kể từ khi nhiệm kỳ đầu tiên là lẻ, p 6 = 2. Sau đó từ p|2mn chúng tôi có p|m hoặc p|n.Nếu p|m, sau đó quan hệ m2 ≡ n2 mod p cho thấy n2 ≡ 0 mod p, rất p|n. Chúng tôi đã giả như(m, n) = 1, do đó, chúng tôi có một mâu thuẫn. Cho thấy bộ ba là nguyên thủy. Nếu thay vào đó p|nsau đó chúng tôi nhận được một mâu thuẫn trong cùng một cách như trước (chỉ cần trao đổi vai trò của m vàn).Đối với bộ ba duy nhất được xác định bởi m và n, (8.3) cho chúng ta biết rằng các tham sốm và n miêu tả bộ ba (a, b, c) là tọa độ của một bậc hai của a + bi. Nhưcó chỉ có hai gốc rễ square, chỉ khác nhau bởi một dấu hiệu, sự độc đáo rơi ra (từchúng tôi lấy m > 0 và n > 0).Bằng chứng này cho chúng ta biết làm thế nào để sản xuất Pytago triples theo yêu cầu: có bất kỳ Gaussiansố nguyên α (với các bộ phận thực tế và tưởng tượng-zero) và quảng trường nó, nói α2 = a + bi. Sau đó(|a|, |b|, N(α)) là một ba Pythagore. Ví dụ, (17 + 12i)2 = 145 + 408i và 172 + 122 =433. vì thế (145, 408, 433) là ba Pytago (kiểm tra nó!). Hơn nữa, từ 17 và12 tương đối nguyên tố, này ba là nguyên thủy.Để tốt hơn đánh giá cao cách tiếp cận này cho một2 + b2 = c2, hãy áp dụng nó vào một2 + b2 = c3.

Kết quả (Việt) 2:

nên a + bi là một hình vuông hoàn hảo sau khi tất cả. (Vấn đề là bây giờ chúng tôi đã lập luận này một cách chính xác,
chứ không phải là không chính xác như trước đây.) Các nguồn gốc của (8.3) từ factorizzation duy nhất trong
Z [i] thực sự là bước quan trọng trong việc chứng minh này. Phần còn lại của chứng minh sẽ chỉ là vấn đề
kế toán cẩn thận.
Xác định phần thực và ảo trong (8.3) cho chúng ta
một = m2 - n
2
., B = 2 triệu
Do đó c
2 = a
2 + b
2 = (m2 -n
2
)
2 + 4m2n
2 = m4 + 2m2n
2 + n
4 = (m2 + n
2
)
2
. Kể từ khi c> 0
, chúng ta thấy rằng
c = m2 + n
2
.
Kể từ khi b> 0, công thức cho b lãm m và n có cùng dấu: họ đều là tích cực
hay tiêu cực cả. Chúng ta có thể phủ nhận cả hai nếu cần thiết để giả m và n là tích cực
mà không thay đổi các giá trị của a, b, hoặc c. Kể từ khi a> 0 ta có m> n. Bởi vì một là lẻ,
m và n có lứa khác nhau. Nếu m và n có một yếu tố phổ biến, sau đó chúng ta có được một phổ biến
yếu tố a, b, và c. Vì vậy primitivity của ba (a, b, c) làm cho m và n tương đối
nguyên tố.
Bây giờ chúng tôi hiển thị bất kỳ ba (m2 -n
2
, 2 triệu, m2 + n
2
) với m và n tích cực, tương đối nguyên tố,
của lứa đẻ ngược lại, và m> n, là một nguyên thủy Pythagore ba. Dễ dàng đó là một Pythagore
ba. Giả sử nó không phải là nguyên thủy. Sau đó, một số tố p chia mỗi m2 - n
2
, 2 triệu, và
m2 + n
2
. Kể từ nhiệm kỳ đầu tiên là số lẻ, p 6 = 2. Sau đó, từ p | 2 triệu chúng tôi có hai p | m hoặc p |. N
Nếu p | m, sau đó mối quan hệ m2 ≡ n
2 mod p cho n
2 ≡ 0 mod p, vậy p | n. Chúng tôi đã giả
(m, n) = 1, do đó chúng ta có một sự mâu thuẫn. Điều đó cho thấy ba là nguyên thủy. Nếu thay vì p | n
sau đó chúng ta có được một sự mâu thuẫn trong cùng một cách như trước (chỉ trao đổi các vai trò của m và
n.)
Đối với ba được xác định duy nhất bởi m và n, (8.3) cho chúng ta biết rằng các tham số
m và n trong đó mô tả ba (a, b, c) là tọa độ của một căn bậc hai của a + bi. Khi
chỉ có hai căn bậc hai, mà chỉ khác nhau bởi một dấu hiệu, sự độc đáo rơi ra ngoài (kể từ khi
chúng ta lấy m> 0 và n> 0).
Bằng chứng này cho chúng ta biết làm thế nào để sản xuất Pythagore gấp ba theo yêu cầu: có bất kỳ Gaussian
α nguyên ( với non-zero phần thực và ảo) và vuông nó, nói α
2 = a + bi. Sau đó
(| a |, | b |, N (α)) là một Pythagore ba. Ví dụ, (17 + 12i)
2 = 145 + 408i và 172 + 122 =
433. Do đó (145, 408, 433) là một bộ ba Pythagore (kiểm tra xem nó!). Hơn nữa, kể từ 17 và
12 là nguyên tố cùng, ba này là nguyên thủy.
Để đánh giá tốt hơn cách tiếp cận này cho
2 + b
2 = c
2
, hãy áp dụng nó vào một
2 + b
2 = c
3
.