We regardα1,α2andηas real positive

We regardα1,α2andηas real positive parameters withα21
which must be rejected. In the second case the imaginary parts of the roots in the right hand sides ofEq. (3.14)have
the same sign but the choice of signs prevents us to obtainκA,κψandκewith the same sign. Again, in this case no
surface waves are admitted. The last rootw++corresponds toz++

Kết quả (Việt) 1:

We regardα1,α2andηas real positive parameters withα2<α1<1 and pose˜ Fs1s2(z)=√z−1+s1η α1z−1+s2α1α2√z−1 α1z−1 α2z−1, (4.1)wheres1ands2take values±1. The function in(4.1)is analytic in the complex plane, except for the real half-axis˜ Γ, where˜ Γ=z=t, t ∈−∞,1α2.In order to apply the Burniston–Siewert (B–S) method[15]for solving the equation˜ Fs1s2 =0 we make a Möbiustransformation to move the points∞,1/α2,1/α1, respectively, to 0,−2 and−1. This is achieved by posingw=21/α2−1/α1z−2/α2+1/α1. (4.2)The transformed function isFs1s2(w)=µw−w1w+s1νw+1w+s2σw+2ww+1ww−w1w, (4.3)wherew1=21/α2−1/α11−2/α2+1/α1,µ=2α2−1α1−1,ν=η2α1α2−2,σ=α1α2−14α1α2−2α2−2α1α2.The quantitiesµ, ν, σturn out to be real and positive and−1runs fromw=0tow=−2 and, for next purposes, will be written asΓ=Γ1∪Γ2∪Γ3whereΓ1={w=t, t ∈[w1,0]},Γ2={w=t, t ∈[−1,w1]},Γ3={w=t, t ∈[−2,−1]}.FromEq. (4.3)we realise that, for anys1ands2, the functionsFs1s2(w)are analytic inCΓand have a pole of order3/2 at the starting pointw=0ofΓ. We denote byF±s1s2(t)the one-sided limits ofFs1s2(w)onΓand introduce theCauchy integralsgs1s2h(w)=12πi
ΓhlnQs1s2h(t)t−wdt, with Qs1s2h(t)=F+s1s2(t)|ΓhF−s1s2(t)|Γh,h=1,2,3. (4.4)The application of the B–S method (see Theorem 14.10a in[16]) requires thatF±s1s2do not vanish at any interiorpoint of the arcsΓhand that lnQs1s2hbe Lipγ(for someγ>0) inΓh(h=1,2,3). Then, it follows that the functionss1s2(w)=exp −hgs1s2h(w)Fs1s2(w) (4.5)is rational and can be valued through the following Laurent series (see[16])Fs1s2(w)=∞ k=0F(k)s1s2wk, exp −hgs1s2h(w)=∞ k=0g(k)s1s2wk, (4.6)M. Romeo / Wave Motion 39 (2004) 93–110 101where, in particularF(0)s1s2=µ+s1ν+s2σ, F(1)s1s2=−12[(µ+s2σ)w1−s1ν−3s2σ],F(2)s1s2=−18[(µ+s2σ)w21+6s2σw1+s1ν+s2σ].All the zeros ofss1s2(w)are the zeros ofFs1s2(w)and, ultimately, the solutions of the dispersion equations arethe roots of polynomials. In view of further developments we observe that onΓ1F+s1s2(t)|Γ1 =µiw1−tt+s1νi −t+1t−s2σi −t+2t−t+1tw1−tt=−F−s1s2(t)|Γ1, (4.7)while onΓ2andΓ3Qs1s22 =1−iRs1s221+iRs1s22, with Rs1s22 =−s1ν√−(t+1)/t√(t−w1)/t[µ−s2σ√−(t+2)/t√−(t+1)/t],Qs1s23 =1−iRs1s231+iRs1s23, with Rs1s23 =−s2σ√−(t+2)/t√−(t+1)/t√(t−w1)/tµ√(t−w1)/t+s1ν√−(t+1)/t. (4.8)Now we derivess1s2(w)for each pair(s1,s2).(1) s1=s2=−1. FromEq. (4.7)we find thatF±−−vanish at an internal pointw∗ofΓ1. In order to satisfy the neces-sary requirements we splitΓ1intoΓ11∪Γ12whereΓ11={w=t :t ∈[w∗,0]},Γ12={w=t :t ∈[w1,w∗]},and, in turn, we obtain lnQ−−11 =πi,lnQ−−12 =−πi. Accordingly, the function exp[−hg−−h(w)] turnsout to have a zero of order 1/2atw=0 and a pole of order 1 atw=w∗. Remembering that F−−has a poleof order 3/2atw=0 and a zero atw=w∗we conclude thats−−(w)takes the following forms−−(w)=s(0)−−+s(1)−−w.The coefficientss(0)−−ands(1)−−follow from the Laurent expansions(4.6).Wehaves(0)−−=F(0)−−,s(1)−−=F(0)−−g(1)−−+F(1)−−g(0)−−,s(2)−−=F(0)−−g(2)−−+F(1)−−g(1)−−+F(2)−−g(0)−−, (4.9)whereg(0)−−=1,g(1)−−=12(2w∗−w1)+I(1)−−,g(2)−−=12(w∗2−12w21)+I(2)−−+12g(1)2−−, (4.10)withI(1)−−=1π
w1−1arctanR−−2(t)dt+
−1−2arctanR−−3(t)dt,I(2)−−=1π
w1−1tarctanR−−2(t)dt+
−1−2tarctanR−−3(t)dt. (4.11)The unknownw∗can be valued by the conditions(2)−−=0 and we conclude thatF−−(w)has the two zerosw(1)−−=w∗,w(2)−−=−s(1)−−s(0)−−.102 M. Romeo / Wave Motion 39 (2004) 93–110(2) s1=+1,s2=−1. In this case, we obtain lnQ+−1(t)=πion the wholeΓ1and the function exp[−hg+−h(w)]has a zero of order 1/2atw=0 and no poles. It turns out thats+−(w)=s
(0)
+−+
s
(1)
+−
w
,
where the coefficientss
(0)
+−ands
(1)
+−are valued by the corresponding formulae(4.9)and
g
(0)
+−=1,g(1)
+−=
1
2w1+I
(1)
+−.
We conclude thatF+−(w)has only the zerow+−=−s
(1)
+−/s
(0)
+−.
(3) s1=−1,s2=+1. We have lnQ
−+
1
(t)=−πion the wholeΓ1and exp[−

g
−+
h
] has a pole of order 1/2
atw=0. As a consequence,s−+(w)must have a pole of order two atw=0. We get
s−+(w)=s
(0)
−++
s
(1)
−+
w
+
s
(2)
−+
w2
.
In this case,
g
(0)
−+=1,g(1)
−+=−1
2w1+I
(1)
−+,g(2)
−+=−1
4w
2
1+I
(2)
−++
1
2

1
2w1−I
(1)
−+
2
.
We conclude thatF−+(w)has two zeros,w
(1)
−+,w
(2)
−+.
(4) s1 =s2 =+1. As in the first caseF
±
++(t) vanish at an internal pointw
∗
1
ofΓ1. Hence, we pose again
Γ1 =Γ11∪Γ12and obtain lnQ
++
11
(t)=−πi,lnQ
++
12
(t)=πi. The function exp[−

h
g
++
h
] turns out to
have a pole of order 1/2atw=0 and a zero of order 1 atw
∗
1
. Sincew
∗
1
is also a zero ofF++the functions++
has at least a zero of order twow=w
∗
1
. Sincew=0 turns out to be a pole of order two fors++, we obtain
s++(w)=s
(0)
+++
s
(1)
++
w
+
s
(2)
++
w2
It follows thatw
∗
1
is a double root ofs++=0 and, consequently, it satisfies the equation
w
∗
1=−
s
(1)
++
2s
(0)
++
,
wheres
(1)
++must be valued by takingg
(1)
++=
1
2(w1−2w
∗
1
)+I
(1)
++. Hence, F++(w) =0 has only one root
w++=w
∗
1
.
In summary, we have found six roots of equation: Fs1s2
(w) =0. The corresponding values of the roots of
Eq. (3.15)will be denoted byz
(1)
−−,z
(2)
−−,z+−,z
(1)
−+,z
(2)
−+,z++. We can show that only one of these roots represents
an effective surface wave. In view of the Möbius transformation(4.2), the rootw
(1)
−−corresponds toz
(1)
−−<1. Owing
to (3.14)this implies that κA,κψandκeare imaginary and must be taken with the same sign. Hence, inequalities
(3.3) are satisfied by a proper choice of sign. The rootw
(2)
−−corresponds toz
(2)
−−>1 and makesκAreal. This
contradicts the restrictions(3.3)and gives no surface waves. The same holds forw+−which givesz+−>1. The
rootsw
(1)
−+,w
(2)
−+may be real or complex conjugate. In the first case they correspond again toz
(1)
−+>1 andz
(2)
−+>1
which must be rejected. In the second case the imaginary parts of the roots in the right hand sides ofEq. (3.14)have
the same sign but the choice of signs prevents us to obtainκA,κψandκewith the same sign. Again, in this case no
surface waves are admitted. The last rootw++corresponds toz++<1 andκA,κψ,κeturn out to be imaginary, but
with different signs.
M. Romeo / Wave Motion 39 (2004) 93–110 103
We conclude thatEq. (3.15)admit only one root which represents a SH electromagnetoacoustic surface wave.
Explicitly, it is given by
z
(1)
−−=
1
α1
+2

1
α2
−
1
α1

1−
2
α− α
2−4β
, (4.12)
where
α=
F
(1)
F(0)
−
1
2
w1+I
(1)
−−,β=−
1
2
w1

F
(1)
F(0)
+
1
4
w1+I
(1)
−− +

F
(1)
F(0)
+
1
2
I
(1)
−− I
(1)
−−+
F
(2)
F(0)
+I
(2)
−−.

Kết quả (Việt) 2:

Chúng tôi regardα1, α2andηas thông số thực dương withα2 <α1 <1 và đặt ra
~ Fs1s2
(z) =
√
z-1 + s1η α1z-1 + s2
a1
a2
√
z-1 α1z-1 α2z-1, (4.1)
wheres1ands2take giá trị ± 1. Các chức năng trong (4.1) tích trong mặt phẳng phức, trừ nửa trục thực
~ Γ, nơi
~ Γ =
?
z = t, t ∈
?
-∞,
1
α2
??
.
Để áp dụng các Burniston- Siewert (B-S) phương pháp [15] để giải quyết các phương trình
~ Fs1s2 = 0 ta làm cho một Mobius
chuyển để di chuyển points∞, 1 / α2,1 / α1, tương ứng 0, -2 và 1. Điều này đạt được bằng cách giả
w = 2
1 / α2-1 / α1
z-2 / α2 + 1 / α1
. (4.2)
Chức năng chuyển đổi là
Fs1s2
(w) = μ
w-w1
w
+ s1ν
w + 1
w
+ s2σ
w + 2
w
w + 1
w
w-w1
w
, quantitiesμ, ν, σturn ra là thực tế và tích cực và-1






























chạy fromw = 0tow = -2, và cho các mục đích tiếp theo, sẽ được viết asΓ = Γ1∪Γ2∪Γ3where
Γ1 = {w = t, t ∈ [w1,0]}, Γ2 = {w = t, t ∈ [- 1, W1]}, Γ3 = {w = t, t ∈ [-2, -1]}.
FromEq. (4.3), chúng tôi nhận ra rằng, cho anys1ands2, các functionsFs1s2
(w) là phân tích Inc Γand có một cực của tự
3/2 tại bắt đầu pointw = 0ofΓ. Chúng tôi biểu BYF
±
s1s2
(t) các giới hạn một chiều ofFs1s2
(w) onΓand giới thiệu
Cauchy tích
g
s1s2
h
(w) =
1
2πi
?
Γh
lnQ
s1s2
h
(t)
t-w
dt, với Q
s1s2
h
(t ) =
F
+
s1s2
(t) | Γh
F
-
s1s2
(t) | Γh
, h = 1,2,3. (4.4)
Việc áp dụng các phương pháp B-S (xem Định lý 14.10a trong [16]) đòi hỏi thatF
±
s1s2
không tan biến tại bất kỳ nội thất
điểm của arcsΓhand rằng lnQ
s1s2
h
được Lipγ (cho someγ> 0) inΓh (h = 1,2,3). Sau đó, nó sau đó các chức năng
ss1s2
(w) = exp -
?
h
g
s1s2
h
(w)
?
Fs1s2
(w) (4,5)
là hợp lý và có thể được đánh giá thông qua các chuỗi Laurent sau (xem [16])
Fs1s2
(w ) =
? ∞
k = 0
F
(k)
s1s2
tuần
, exp -
?
h
g
s1s2
h
(w)
?
=
? ∞
k = 0
g
(k)
s1s2
tuần
, (4.6)
M. Romeo / Làn sóng chuyển động 39 (2004) 93-110 101
nơi, đặc biệt là
F
(0)
s1s2
= μ + s1ν + s2σ, F
(1)
s1s2
= -1
2
[(μ + s2σ) W1-s1ν-3s2σ],
F
(2)
s1s2
= -1
8
[(μ + s2σ) w
2
+ 1 + 6s2σw1 s1ν + s2σ].
Tất cả các số không ofss1s2
(w) là số không ofFs1s2
(w), và cuối cùng, các giải pháp của phương trình phân tán là
gốc rễ của đa thức. Theo quan điểm của sự phát triển hơn nữa chúng tôi nhận thấy rằng onΓ1
F
+
s1s2
(t) | Γ1 = μi
W1-t
t
+ s1νi -
t + 1
t
-s2σi -
t + 2
t
-
t + 1
t
W1-t
t
= -F
-
s1s2
(t) | Γ1
, (4.7)
trong khi onΓ2andΓ3
Q
s1s2
2 =
1-iR
s1s2
2
1 + iR
s1s2
2
, với R
s1s2
2 =
-s1ν
√
- (t + 1) / t
√
(t-W1) / t [μ-s2σ
√
- (t + 2) / t
√
- (t + 1) / t]
,
Q
s1s2
3 =
1-iR
s1s2
3
1 + iR
s1s2
3
, với R
s1s2
3 =
-s2σ
√
- ( t + 2) / t
√
- (t + 1) / t
√
(t-W1) / t
L
√
(t-W1) / t + s1ν
√
- (t + 1) / t
. (4.8)
Bây giờ chúng ta derivess1s2
(w) cho mỗi cặp (s1, s2).
(1) s1 = s2 = -1. FromEq. (4.7) chúng ta thấy thatF
±
--vanish tại một pointw nội *
ofΓ1. Để đáp ứng các yêu cầu neces-lại cần chúng tôi splitΓ1intoΓ11∪Γ12whereΓ11 = {w = t: t ∈ [w *
, 0]}, Γ12 = {w = t: t ∈ [w1, w
*
]},
và ngược lại , chúng ta có được lnQ
-
11 = πi, lnQ
-
12 = -πi. Theo đó, các chức năng exp [-
?
h
g
-
h
(w)] bỏ
ra để có một số không thứ tự 1 / 2atw = 0 và một điểm cực của thứ tự 1 ATW = w *
. Luôn nhớ rằng F - có một cực
bậc 3 / 2atw = 0 và một số không ATW = w *
chúng tôi kết luận thats lý - (w) có dạng sau đây
s - (w) = s
(0)
- +
s
(
1) -
w
.
Các coefficientss
(0) --ands (1) --follow từ Laurent (4.11) Các unknownw * có thể được đánh giá bởi các điều kiện (2) - = 0 và chúng tôi kết luận thatF - (w) có hai số w (1) - = w * , w (2) - = - s (1) - s (0) - . 102 M. Romeo / Làn sóng chuyển động 39 (2004) 93-110 (2) s1 = + 1, s2 = -1. Trong trường hợp này, chúng ta có được lnQ + - 1 (t) = πion các wholeΓ1and hàm exp [- ? h g + - h (w)] có một điểm không để 1 / 2atw = 0 và không có cực. Nó chỉ ra rằng s + - (w) = s (0) + - + s (1) + - w , nơi coefficientss (0) + -ands (1) + -là giá trị của các công thức tương ứng (4.9) và g (0) + - = 1, g (1) + - = 1 2w1 + I (1) + -. Chúng tôi kết luận thatF + - (w) có chỉ zerow + - = - s (1) + - / s (0) + -. (3) s1 = -1, s2 = + 1. Chúng tôi có lnQ - + 1 (t) = - πion exp wholeΓ1and [- ? g - + h ] có một cực của tự 1/2 ATW = 0. Như một hệ quả, s - + (w) phải có một cực của trật tự hai ATW = 0. Chúng tôi nhận được s - + (w) = s (0) - ++ s (1) - + w + s (2) - + w2 . Trong trường hợp này, g (0) - + = 1, g (1) - + = - 1 2w1 + I (1) - +, g (2) - + = - 1 4w 2 1 + I (2) - ++ 1 2 ? 1 2w1-I (1) - + ? 2 . Chúng tôi kết luận thatF - + (w) có hai số không, w (1) - +, w (2) - +. (4) s1 = s2 = + 1. Như trong caseF đầu ± ++ (t) biến mất tại một pointw nội bộ * 1 ofΓ1. Do đó, chúng tôi đặt ra một lần nữa Γ1 = Γ11∪Γ12and được lnQ ++ 11 (t) = - πi, lnQ ++ 12 (t) = πi. Các chức năng exp [- ? h g ++ h ] hóa ra có một cực của thứ tự 1 / 2atw = 0 và một điểm không để 1 ATW * 1 . Sincew * 1 cũng là một off zero ++ ++ chức năng có ít nhất một điểm không để twow = w * 1 . Sincew = 0 lượt ra được một cực của trật tự hai fors ++, chúng ta có được s ++ (w) = s (0) +++ s (1) ++ w + s (2) ++ W2 Nó sau thatw * 1 là một ofs gốc đôi ++ = 0 và, do đó, nó thỏa mãn phương trình w * 1 = - s (1) ++ 2s (0) ++ , wheres (1) ++ phải được định giá bởi takingg (1) ++ = 1 2 (w1-2w * 1 ) + I (1) ++. Do đó, F ++ (w) = 0 chỉ có một gốc w ++ = w * 1 . Tóm lại, chúng tôi đã tìm thấy sáu nhân của phương trình: Fs1s2 (w) = 0. Các giá trị tương ứng của các gốc của phương trình. (3.15) sẽ được ký hiệu byz (1) -, z (2) -, z + -, z (1) - +, z (2) - +, z ++. Chúng ta có thể thấy rằng chỉ có một trong những nhân đại diện cho một làn sóng bề mặt hiệu quả. Theo quan điểm của sự chuyển đổi Mobius (4.2), các rootw (1) --corresponds toz (1) - <1. Nhờ vào (3.14) này ngụ ý rằng κA, κψandκeare tưởng tượng và phải được thực hiện cùng một dấu. Do đó, sự bất bình đẳng (3.3) được thỏa mãn bởi một sự lựa chọn đúng đắn của các dấu hiệu. Các rootw (2) --corresponds toz (2) -> 1 và makesκAreal. Điều này mâu thuẫn với các hạn chế (3.3) và không đưa ra các sóng bề mặt. Điều tương tự cũng forw + -which givesz + -> 1. Các rootsw (1) - +, w (2) - + có thể được thực hoặc phức liên hợp. Trong trường hợp đầu tiên chúng tương ứng với một lần nữa toz (1) - +> 1 andz (2) - +> 1 mà phải từ chối. Trong trường hợp thứ hai những phần tưởng tượng của các gốc trong tay phải bên ofEq. (3.14) có những dấu hiệu tương tự nhưng sự lựa chọn của các dấu hiệu ngăn cản chúng tôi để obtainκA, κψandκewith cùng dấu. Một lần nữa, trong trường hợp này không có sóng bề mặt được thừa nhận. Các rootw cuối ++ tương ứng toz ++ <1 andκA, κψ, κeturn ra là tưởng tượng, nhưng với các dấu hiệu khác nhau. M. Romeo / Làn sóng chuyển động 39 (2004) 93-110 103 Chúng tôi kết luận thatEq. (3.15) thừa nhận chỉ có một gốc đại diện cho một SH sóng bề mặt electromagnetoacoustic. Rõ ràng, đó là do z (1) - = 1 α1 2 ? 1 α2 - 1 α1 ?? 1- 2 α- a 2-4β , (4.12) trong đó α = F (1) F (0) - 1 2 w1 + I (1) -, β = - 1 2 W1 ? F (1) F (0) + 1 4 W1 + I (1) - + ? F (1) F (0) + 1 2 I (1) - I (1) - + F (2) F (0) + I (2) -.