4. testing for equality of two prop

4. testing for equality of two proportions
As stated before, taking we have a test for equality between two proportions. Several well- known methods are presented in the literature. Here , our graphical approach reduces to considering the first diagonal and determining the two frontier lines beyond which we will reject equality. THis Fisher” s method is based on the hypergeometric distribution. Normal approximation methods are based on several formulas. and the pooled version , both being approximately
N(0;1) under . Cressie ( 1978) gives conditions under which W2 is better than W1, in terms of power. Previously, Eberhardt and Fligner (1977) studied the same problem for a bilateral test.
The conditional test is usually called Fisher’s exact test and is based on the hypergeometric distribution. Under H0 the number of successes coming from pop 1 has the Hyp( n1+n2, t= x1+x2, n1,x) distribution. The argument is: in the combined sample of size n1 +n2, with x1 successes from pop1 out of t= x1+x2 successes , the prob of a x successes coming fromPop1 is hyperg.
3. FISHER’S EXACT TEST
To compute the significance of the observation we have to compute several tables corresponding to more extreme results than the observed table. It is known that the conditional test is less powerful than the unconditional one.
The problem is often associated with a 2x 2 table where there are three possibilities: constant column sums and row sums, one set constant the other variable and both variables. These correspond to different urn models, as pointed out by Barnard. Other measures can then be introduced, odds ratio ,….. A Bayesian approach has been carried out by several authors ( Howard) .Pham Gia and Turkkan ( ) computed the associated credible intervals for several of these measures.

5. THE BAYESIAN APPROACH
In this section we deal only with the difference between two proportions . Using the Bayesian approach to treat different inferences on the difference will certainly encounter some serious computational difficulties if we do not have a closed expression for the density of the difference of two independently beta distributed random variables. Such an expression has been obtained by the first author some time ago and is recalled below.
4.1. Bayesian test on the equality of two proportions:
Let us recall first the following theorem:
THEOREM 1: Let be two independent beta distributed random variables with parameters and , respectively. Then the difference has density defined on as follows:

is Appell’s first hypergeometric function, which is defined as
(10)
where . This infinite series is convergent for and ,where, as shown by Euler, it can also be expressed as a convergent integral: (11)
which converges for c-a > 0, a>0. In fact, Pham-Gia and Turkkan (1993) established the expression of the density of the difference using (11) and not the series. Hence, the infinite series (10) can be extended outside the two circles of convergence, by analytic continuation, where it is also denoted by
Here, we denote (9) by .
PROOF: See Pham-Gia and Turkkan (1993).
The prior distribution of is hence , obtained from the two beta priors.
4.1.1 Bayesian testing using a significance level:
a) One-sided test: PROPOSITION 1: To test at the 0.05 significance level, using the two independent samples and , we compute , where and , . This expression of the posterior density of will allow us to compute and compare it with the significance level .
For example, as in the frequentist example of Section 3.1 a), we consider , , , and use two non-informative beta priors, that is, . We obtain the prior and posterior distributions of and (Figure 3). We wish to test: (12)

Kết quả (Việt) 1:

4. thử nghiệm cho sự bình đẳng của hai tỷ lệNhư đã nêu trước đó, việc chúng tôi có một thử nghiệm cho sự bình đẳng giữa hai tỷ lệ. Một số phương pháp nổi tiếng cũng được trình bày trong các tài liệu. Ở đây, chúng tôi tiếp cận đồ họa làm giảm đường chéo đầu tiên xem xét và xác định đường biên giới hai vượt ra ngoài mà chúng tôi sẽ từ chối bình đẳng. Này Fisher"s phương pháp dựa trên việc phân phối hypergeometric. Phương pháp xấp xỉ thông thường được dựa trên một số công thức. và các phiên bản tới, cả hai đều xấp xỉN(0;1) theo. Cressie (1978) cho điều kiện theo đó W2 là tốt hơn so với W1, về quyền lực. Trước đó, Eberhardt và Fligner (1977) nghiên cứu cùng một vấn đề cho một bài kiểm tra song phương.Có điều kiện thử nghiệm thường được gọi là của Fisher thử nghiệm chính xác và được dựa trên việc phân phối hypergeometric. Theo H0 số thành công đến từ pop 1 có Hyp (n1 + n2, t = x 1 + x 2, n1, x) phân phối. Các đối số là: trong mẫu kết hợp kích thước n1 + n2, với x1 thành công từ pop1 ra khỏi t = x 1 + x 2 thành công, prob một thành công x đến fromPop1 là hyperg. 3. FISHER THỬ NGHIỆM CHÍNH XÁCĐể tính toán ý nghĩa của các quan sát, chúng ta phải tính toán một số bảng tương ứng với kết quả cực đoan hơn so với các bảng quan sát. Được biết, có điều kiện thử nghiệm là ít mạnh mẽ hơn một vô điều kiện. Vấn đề là thường xuyên liên kết với một bảng 2 x 2 nơi có 3 khả năng: hằng số cột các khoản tiền và hàng tiền, một hằng số thiết lập các biến khác và cả hai biến. Này tương ứng với các mô hình khác nhau urn, như được chỉ ra bởi Barnard. Các biện pháp khác có thể được giới thiệu sau đó, tỷ lệ cược tỷ lệ,... Một cách tiếp cận Bayes đã được thực hiện bởi nhiều tác giả (Howard). Phạm Gia và Turkkan () tính khoảng thời gian đáng tin cậy liên kết cho một số trong những biện pháp này. 5. PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BAYESTrong phần này chúng ta chỉ đối phó với sự khác biệt giữa hai tỷ lệ. Bằng cách sử dụng phương pháp tiếp cận Bayes để điều trị suy luận khác nhau về sự khác biệt sẽ chắc chắn gặp phải một số khó khăn nghiêm trọng tính toán nếu chúng ta không có một biểu thức đóng cho mật độ của sự khác biệt của hai độc lập phân phối phiên bản beta biến ngẫu nhiên. Một biểu hiện đã thu được tác giả đầu tiên của một số thời gian trước đây và nhớ lại dưới đây.4.1. Bayes các thử nghiệm về sự bình đẳng của hai tỷ lệ: Chúng ta hãy nhớ lại lần đầu tiên các định lý sau đây:Định lý 1: Hãy để là phân phối phiên bản beta độc lập hai biến ngẫu nhiên với tham số, và tương ứng. Sau đó, sự khác biệt có mật độ xác định như sau: là của Appell đầu tiên hypergeometric chức năng, được xác định như (10)ở đâu. Loạt bài này vô hạn là hội tụ cho, và ở đâu, như được hiển thị bởi Euler, nó có thể cũng được thể hiện như là một tích phân hội tụ: (11)mà hội tụ cho c-a > 0, một > 0. Trong thực tế, phạm Gia và Turkkan (1993) thiết lập biểu thức mật độ của sự khác biệt bằng cách sử dụng (11) và không phải là bộ truyện. Do đó, Chuỗi vô hạn (10) có thể được mở rộng bên ngoài hai vòng tròn của tụ, bởi tiếp tục phân tích, nơi nó cũng được biểu thị bằng Ở đây, chúng tôi biểu thị (9) bởi.Bằng chứng: Thấy phạm Gia và Turkkan (1993).Phân phối trước là vì thế, thu được từ priors hai beta. 4.1.1 Bayes thử nghiệm bằng cách sử dụng một mức độ ý nghĩa: a) thử nghiệm một mặt: đề xuất 1: để kiểm tra tại 0,05 tầm quan trọng cấp, sử dụng hai mẫu độc lập, và chúng tôi tính toán, nơi, và. Biểu hiện này của mật độ hậu nghiệm của sẽ cho phép chúng tôi để tính toán và so sánh nó với mức ý nghĩa.For example, như trong ví dụ frequentist của phần 3.1 một), chúng tôi xem xét việc,,, và sử dụng hai priors không thông tin Phiên bản beta, có nghĩa là,. Chúng ta có được phân phối trước và sau của và (hình 3). Chúng tôi muốn kiểm tra: (12)