See also Problems 3.65 a), 13.34 b)

See also Problems 3.65 a), 13.34 b).


§12. Brokar’s points

5.115. a) Prove that inside triangle ABC there exists a point P such that ∠ABP =
∠CAP = ∠BCP .
b) On sides of triangle ABC, triangles CA1B, CAB1 and C1AB similar to ABC are constructed outwards (the angles at the first vertices of all the four triangles are equal, etc.). Prove that lines AA1, BB1 and CC1 meet at one point and this point coincides with the point found in heading a).

This point P is called Brokar’s point of triangle ABC. The proof of the fact that there exists another Brokar’s point Q for which ∠BAQ = ∠ACQ = ∠CBQ is similar to the proof of existence of P given in what follows. We will refer to P and Q as the first and the second Brokar’s points.

5.116. a) Through Brokar’s point P of triangle ABC lines AB, BP and CP are drawn. They intersect the circumscribed circle at points A1, B1 and C1, respectively. Prove that
△ABC = △B1C1A1.

b) Triangle ABC is inscribed into circle S. Prove that the triangle formed by the inter-section points of lines P A, P B and P C with circle S can be equal to triangle ABC for no more than 8 distinct points P . (We suppose that the intersection points of lines P A, P B and P C with the circle are distinct from points A, B and C.)

5.117. a) Let P be Brokar’s point of triangle ABC. Let ϕ = ∠ABP = ∠BCP = ∠CAP . Prove that cot ϕ = cot α + cot β + cot γ.

The angle ϕ from Problem 5.117 is called Brokar’s angle of triangle ABC.

Prove that Brokar’s points of triangle ABC are isogonally conjugate to each other (cf. Problem 5.79).

The tangent to the circumscribed circle of triangle ABC at point C and the line passing through point B parallel to AC intersect at point A1. Prove that Brokar’s angle of triangle ABC is equal to angle ∠A1AC.

5.118. a) Prove that Brokar’s angle of any triangle does not exceed 30◦.
Inside triangle ABC, point M is taken. Prove that one of the angles ∠ABM , ∠BCM and ∠CAM does not exceed 30◦.

5.119. Let Q be the second Brokar’s point of triangle ABC, let O be the center of its circumscribed circle; A1, B1 and C1 the centers of the circumscribed circles of triangles CAQ, ABQ and BCQ, respectively. Prove that △A1B1C1 ∼ △ABC and O is the first Brokar’s point of triangle A1B1C1.

5.120. Let P be Brokar’s point of triangle ABC; let R1, R2 and R3 be the radii of the circumscribed circles of triangles ABP , BCP and CAP , respectively. Prove that R1R2R3 = R3, where R is the radius of the circumscribed circle of triangle ABC.

5.121. Let P and Q be the first and the second Brokar’s points of triangle ABC. Lines CP and BQ, AP and CQ, BP and AQ meet at points A1, B1 and C1, respectively. Prove that the circumscribed circle of triangle A1B1C1 passes through points P and Q.

5.122. On sides CA, AB and BC of an acute triangle ABC points A1, B1 and C1, respectively, are taken so that ∠AB1A1 = ∠BC1B1 = ∠CA1C1. Prove that △A1B1C1 ∼ △ABC and the center of the rotational homothety that sends one triangle into another coincides with the first Brokar’s point of both triangles.

Kết quả (Việt) 1:

Xem thêm vấn đề 3,65 một), 13.34 b).§12. Của Brokar điểm5.115. một) chứng minh rằng trong tam giác ABC có tồn tại một điểm P như vậy mà ∠ABP =∠CAP = ∠BCP.b) trên các cạnh của tam giác ABC, hình tam giác CA1B, CAB1 và C1AB tương tự như ABC được xây dựng outwards (góc ở đỉnh đầu tiên của tất cả các bốn hình tam giác đều bình đẳng, v.v..). Chứng minh rằng dòng AA1, BB1 và CC1 gặp gỡ tại một thời điểm và thời điểm này trùng với thời điểm tìm thấy trong tiêu đề một).Này điểm P được gọi là Brokar của điểm của tam giác ABC. Bằng chứng của một thực tế rằng có tồn tại một Brokar điểm Q cho đó ∠BAQ = ∠ACQ = ∠CBQ là tương tự như bằng chứng về sự tồn tại của P được đưa ra trong những gì sau. Chúng tôi sẽ gọi P và Q là người đầu tiên và thứ hai Brokar của điểm.5.116. một) thông qua Brokar của điểm P của tam giác ABC đường AB, BP và CP được rút ra. Họ cắt đường tròn tại điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng△ABC = △B1C1A1.b) tam giác ABC được tạc vào vòng tròn S. chứng minh rằng tam giác được hình thành bởi các điểm giữa hai phần của dòng P A P B và C P với circle S có thể tương đương với tam giác ABC cho không nhiều hơn 8 khác biệt điểm P. (Chúng tôi giả sử rằng điểm giao lộ của đường P A P B và P C với các vòng tròn là riêng biệt từ điểm A, B và C.)5.117. một) cho phép P là của Brokar điểm của tam giác ABC. Hãy để ϕ = ∠ABP = ∠BCP = ∠CAP. Chứng minh rằng cot ϕ = cot α + cot β + cot γ.Góc ϕ từ vấn đề 5.117 được gọi là Brokar của góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng Brokar của điểm của tam giác ABC isogonally liên hợp với nhau (x. 5,79 vấn đề). Tiếp tuyến với đường tròn của tam giác ABC tại điểm C và dòng đi qua điểm B song song với AC cắt nhau tại điểm A1. Chứng minh rằng Brokar của góc của tam giác ABC là tương đương với góc ∠A1AC.5.118. bản) chứng minh rằng Brokar của góc của tam giác bất kỳ không vượt quá 30◦. Bên trong tam giác ABC, điểm M cũng được. Chứng minh rằng một góc ∠ABM, ∠BCM và ∠CAM không vượt quá 30◦.5.119. Hãy để Q có Brokar thứ hai điểm của tam giác ABC, hãy để O là trung tâm của vòng tròn đường; A1, B1 và C1 các trung tâm của đường tròn của tam giác CAQ, ABQ và BCQ, tương ứng. Chứng minh rằng △A1B1C1 ∼ △ABC và O là Brokar đầu tiên của điểm của tam giác A1B1C1.5.120. Hãy để P của Brokar điểm của tam giác ABC; Hãy để R1, R2 và R3 là bán kính của vòng tròn đường tam giác ABP, BCP và CAP, tương ứng. Chứng minh rằng R1R2R3 = R3, nơi R là bán kính của đường tròn của tam giác ABC.5.121. để cho P và Q là người đầu tiên và thứ hai Brokar's điểm của tam giác ABC. Dòng CP và BQ, AP và CQ, BP và AQ gặp nhau tại điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh đường tròn của tam giác A1B1C1 đi qua điểm P và Q.5.122. bên cạnh CA, AB và BC một cấp tam giác ABC điểm A1, B1 và C1, tương ứng, được thực hiện như vậy đó ∠AB1A1 = ∠BC1B1 = ∠CA1C1. Chứng minh rằng △A1B1C1 ∼ △ABC và Trung tâm của homothety quay sẽ gửi một hình tam giác vào nhau trùng hợp với quan điểm của Brokar đầu tiên của cả hai hình tam giác.

Kết quả (Việt) 2:

Xem thêm vấn đề 3,65 a), 13,34 b).


§12. Brokar của chỉ

5,115. a) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có tồn tại một điểm P mà ∠ABP =
∠CAP = ∠BCP.
b) Trên cạnh của tam giác ABC, tam CA1B, CAB1 và C1AB tương tự ABC được xây dựng hướng ra ngoài (các góc ở đỉnh đầu tiên của tất cả bốn hình tam giác bằng nhau, vv). Chứng minh rằng đường AA1, BB1 và CC1 gặp nhau tại một điểm và thời điểm này trùng với thời điểm phát hiện trong nhóm một).

Điểm P này được gọi là điểm của tam giác ABC Brokar của. Các bằng chứng thực tế rằng có tồn tại Q điểm khác của Brokar mà ∠BAQ = ∠ACQ = ∠CBQ tương tự như các bằng chứng về sự tồn tại của P được đưa ra trong những gì sau. Chúng tôi sẽ đề cập đến P và Q là người đầu tiên và thứ hai điểm Brokar của.

5,116. a) Thông qua điểm P của tam giác ABC đường Brokar của AB, BP và CP được rút ra. Họ giao với đường tròn ngoại tiếp tại các điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng
△ ABC = △ B1C1A1.

B) Tam giác ABC được ghi vào vòng tròn S. Chứng minh rằng tam giác hình thành bởi các điểm liên phần của dòng PA, PB và PC với vòng tròn S có thể bằng hình tam giác ABC không quá 8 điểm phân biệt P. (Chúng tôi cho rằng các điểm giao nhau của các đường PA, PB và PC với các vòng tròn được phân biệt với các điểm A, B và C.)

5,117. a) Gọi P là điểm của tam giác ABC Brokar của. Hãy φ = ∠ABP = ∠BCP = ∠CAP. Chứng minh rằng γ β α cot φ = cot + cot + cot.

Các góc φ từ Problem 5,117 được gọi là góc của tam giác Brokar của ABC.

Chứng minh rằng điểm của tam giác Brokar của ABC là liên hợp isogonally với nhau (x Problem 5.79).

Các tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm C và các tuyến đi qua điểm song song B đến AC cắt nhau tại điểm A1. Chứng minh rằng góc của tam giác ABC Brokar là bằng với góc ∠A1AC.

5,118. a) Chứng minh rằng góc Brokar của bất kỳ hình tam giác không vượt quá 30◦.
Bên trong tam giác ABC, điểm M được lấy. Chứng minh rằng một trong những góc ∠ABM, ∠BCM và ∠CAM không vượt quá 30◦.

5,119. Gọi Q là điểm của tam giác ABC các Brokar thứ hai, chúng ta hãy O là trung tâm của đường tròn ngoại tiếp của nó; A1, B1 và C1 các trung tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác CAQ, ABQ và BCQ, tương ứng. Chứng minh rằng △ A1B1C1 ~ △ ABC và O là điểm của tam giác A1B1C1. Các Brokar đầu tiên của

5.120. Gọi P là điểm của tam giác ABC Brokar của; để cho R1, R2 và R3 là bán kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABP, BCP và CAP, tương ứng. Chứng minh rằng R1R2R3 = R3, trong đó R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

5.121. Cho P và Q là người đầu tiên và những điểm Brokar thứ hai của tam giác ABC. Dòng CP và BQ, AP và CQ, BP và AQ đáp ứng tại các điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác A1B1C1 đi qua điểm P và Q.

5,122. Trên các cạnh CA, AB và BC của một tam cấp ABC điểm A1, B1 và C1, tương ứng, được lấy để ∠AB1A1 = ∠BC1B1 = ∠CA1C1. Chứng minh rằng △ A1B1C1 ~ △ ABC và các trung tâm của homothety quay mà sẽ gửi một hình tam giác vào một trùng với quan điểm của cả hai hình tam giác các Brokar đầu tiên.