intersection point of lines P2A1 an

intersection point of lines P2A1 and CA, let P4 be the intersection point of P3C1 and BC, etc. Prove that points P7 and P1 coincide.

See also Problem 6.98.

§8. Ceva’s theorem

5.70. Triangle ABC is given and on lines AB, BC and CA points C1, A1 and B1, respectively, are taken so that k of them lie on sides of the triangle and 3 − k on the extensions of the sides. Let
R = BA1 • CB1 • AC1 .
CA1 AB1 BC1
Prove that

points A1, B1 and C1 lie on one line if and only if R = 1 and k is even. (Menelaus’s theorem.)

lines AA1, BB1 and CC1 either meet at one point or are parallel if and only if R = 1 and k is odd. (Ceva’s theorem.)

5.71. The inscribed (or an escribed) circle of triangle ABC is tangent to lines BC, CA and AB at points A1, B1 and C1, respectively. Prove that lines AA1, BB1 and CC1 meet at one point.

5.72. Prove that the heights of an acute triangle intersect at one point.

5.73. Lines AP, BP and CP meet the sides of triangle ABC (or their extensions) at points A1, B1 and C1, respectively. Prove that:

lines that pass through the midpoints of sides BC, CA and AB parallel to lines AP , BP and CP , respectively, meet at one point;

lines that connect the midpoints of sides BC, CA and AB with the midpoints of segments AA1, BB1, CC1, respectively, meet at one point.

5.74. On sides BC, CA, and AB of triangle ABC, points A1, B1 and C1 are taken so that segments AA1, BB1 and CC1 meet at one point. Lines A1B1 and A1C1 meet the line that passes through vertex A parallel to side BC at points C2 and B2, respectively. Prove that AB2 = AC2.

5.75. a) Let α, β and γ be arbitrary angles such that the sum of any two of them is not less than 180◦. On sides of triangle ABC, triangles A1BC, AB1C and ABC1 with angles at vertices A, B, and C equal to α, β and γ, respectively, are constructed outwards. Prove that lines AA1, BB1 and CC1 meet at one point.

Prove a similar statement for triangles constructed on sides of triangle ABC inwards.

5.76. Sides BC, CA and AB of triangle ABC are tangent to a circle centered at O at points A1, B1 and C1. On rays OA1, OB1 and OC1 equal segments OA2, OB2 and OC2 are marked. Prove that lines AA2, BB2 and CC2 meet at one point.

5.77. Lines AB, BP and CP meet lines BC, CA and AB at points A1, B1 and C1, respectively. Points A2, B2 and C2 are selected on lines BC, CA and AB so that

Kết quả (Việt) 1:

giao điểm của đường P2A1 và CA, để P4 là giao điểm của P3C1 và trước công nguyên, vv. Chứng minh rằng điểm P7 và P1 trùng.Xem thêm vấn đề 6,98.§8. Định lí Ceva5,70. tam giác ABC được đưa ra và trên đường AB, BC và CA điểm C1, A1 và B1, tương ứng, được thực hiện do đó k của chúng nằm trên các cạnh của tam giác và 3 − k trên các phần mở rộng của các bên. Để choR = BA1 • CB1 • AC1.CA1 AB1 BC1Chứng minh rằng điểm A1, B1 và C1 nằm trên cùng một dòng nếu và chỉ nếu R = 1 và k là số chẵn. (Định lý Menelaus's.) dây chuyền AA1, BB1 và CC1 hoặc gặp gỡ tại một điểm hay là song song khi và chỉ khi R = 1 và k là số lẻ. (Định lí Ceva.)5,71. ghi (hoặc một escribed) vòng tròn của tam giác ABC là ốp với dòng BC, CA và AB tại điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng dòng AA1, BB1 và CC1 gặp gỡ tại một thời điểm.5.72. chứng minh rằng chiều cao của một tam giác cấp tính cắt nhau tại một thời điểm.5,73. dòng AP, BP và CP gặp nhau ở hai bên của tam giác ABC (hoặc tiện ích mở rộng của họ) tại điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng: đường mà đi qua midpoints cạnh BC, CA và AB song song với đường dây AP, BP và CP, tương ứng, gặp gỡ tại một thời điểm; dây chuyền kết nối midpoints cạnh BC, CA và AB với midpoints đoạn AA1, BB1, CC1, tương ứng, gặp gỡ tại một thời điểm.5,74. bên cạnh BC, CA, và AB của tam giác ABC, các điểm A1, B1 và C1 được lấy để phân đoạn AA1, BB1 và CC1 gặp gỡ tại một thời điểm. Dòng A1B1 và A1C1 đáp ứng các dòng đi qua đỉnh một song song với cạnh BC tại điểm C2 và B2, tương ứng. Chứng minh rằng AB2 = AC2.5.75. một) cho α, β và γ là góc độ tùy ý sao cho tổng của hai trong số bất kỳ của họ không phải là ít hơn so với 180◦. Trên các cạnh của tam giác ABC, hình tam giác A1BC, AB1C và ABC1 với góc ở đỉnh A, B và C tương đương với α, β và γ, tương ứng, được xây dựng outwards. Chứng minh rằng dòng AA1, BB1 và CC1 gặp gỡ tại một thời điểm. Chứng minh một tuyên bố tương tự cho các hình tam giác được xây dựng trên các cạnh của tam giác ABC inwards.5.76. cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC đang ốp vào một vòng tròn trung tâm tại O tại điểm A1, B1 và C1. Trên tia OA1, OB1 và OC1 bằng các phân đoạn OA2, OB2 và OC2 được đánh dấu. Chứng minh rằng dòng AA2, BB2 và CC2 gặp gỡ tại một thời điểm.5.77. đường AB, BP và CP gặp dòng BC, CA và AB tại điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Điểm A2, B2 và C2 được lựa chọn trên dòng BC, CA và AB để

Kết quả (Việt) 2:

giao điểm của đường P2A1 và CA, chúng ta hãy P4 là giao điểm của P3C1 và BC, vv Chứng minh rằng điểm P7 và P1 trùng.

Xem thêm vấn đề 6.98.

§8. Định lý Ceva của

5,70. Tam giác ABC được đưa ra và trên đường AB, BC và CA chỉ C1, A1 và B1, tương ứng, được lấy để k của chúng nằm trên các cạnh của tam giác và 3 - k trên các phần mở rộng của các bên. Hãy
R = BA1 • CB1 • AC1.
CA1 AB1 BC1
Chứng minh rằng

các điểm A1, B1 và C1 nằm trên một dòng khi và chỉ khi R = 1 và k là số chẵn. (Định lý Menelaus.)

Dòng AA1, BB1 và CC1 hai gặp nhau tại một điểm hay là song song khi và chỉ khi R = 1 và k là số lẻ. (Định lý Ceva của.)

5.71. Các ghi (hoặc bàng) vòng tròn của tam giác ABC là tiếp tuyến với đường BC, CA, AB tại các điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng đường AA1, BB1 và CC1 gặp nhau tại một điểm.

5.72. Chứng minh rằng chiều cao của một tam cấp giao nhau tại một điểm.

5.73. Dòng AP, BP và CP đáp ứng các cạnh của tam giác ABC (hoặc phần mở rộng của họ) tại các điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng:

đường đi qua trung điểm các cạnh BC, CA, AB song song với dòng AP, BP và CP, tương ứng, gặp nhau tại một điểm;

đường nối trung điểm các cạnh BC, CA, AB với trung điểm của đoạn AA1 , BB1, CC1, tương ứng, gặp nhau tại một điểm.

5,74. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC, các điểm A1, B1 và C1 được lấy để phân đoạn AA1, BB1 và CC1 gặp nhau tại một điểm. Dòng A1B1 và A1C1 đáp ứng các dòng đi qua đỉnh A song song với bên BC tại điểm C2, B2, tương ứng. Chứng minh rằng AB2 = AC2.

5,75. a) Hãy α, β và g là góc tùy ý sao cho tổng của hai trong số họ không phải là ít hơn 180◦. Trên các cạnh của tam giác ABC, tam A1BC, AB1C và ABC1 với góc ở đỉnh A, B, và C bằng a, β và γ, tương ứng, được xây dựng hướng ra ngoài. Chứng minh rằng đường AA1, BB1 và CC1 gặp nhau tại một điểm.

Chứng minh một tuyên bố tương tự cho các tam giác được xây dựng trên các cạnh của tam giác ABC vào bên trong.

5,76. Cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC là tiếp tuyến của một đường tròn tâm tại O tại các điểm A1, B1 và C1. Trên tia OA1, phân đoạn bằng OB1 và OC1 OA2, OB2 và OC2 được đánh dấu. Chứng minh rằng đường Aa2, BB2 và CC2 gặp nhau tại một điểm.

5,77. Đường AB, BP và các dòng CP đáp ứng BC, CA, AB tại các điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Điểm A2, B2 và C2 được lựa chọn trên dòng BC, CA, AB sao cho