It is of importance to exclude sets

It is of importance to exclude sets like this, because there is not a well
defined tangent line in the point p of self-intersection. If a parametrization
is given, we can distinguish the passages through p, and thus determine a
tangent line for each branch. However, without a chosen parametrization
both branches have to be taken into account, and then there is not a unique
tangent line in p.
The definition of a curve allows the following useful reformulation.
Lemma 1.3. Let C ⊂ R2 be non-empty. Then C is a curve if and only if it
satisfies the following condition for each p ∈ C:
There exists an open neighborhood W ⊂ R2 of p, such that C ∩ W is the
graph of a smooth function h, where one of the variables x1, x2 is considered
a function of the other variable.
Proof. Assume that C is a curve and let p ∈ C. Let γ: I → R2 be an embedded
parametrized curve satisfying (1.2) and with γ(t0) = p. By Theorem 1.1, in
the special case m = 1, we find that there exists a neighborhood V of t0
in I such that γ|V allows a reparametrization as a graph. It follows from
(1.1) and (1.2) that there exists an open set W ′ ⊂ R2 such that γ(V ) =
γ(I) ∩ W ′ = C ∩ W ∩ W ′. The set W ∩ W ′ has all the properties desired of
W in the lemma.
Conversely, assume that the condition in the lemma holds, for a given
point p say with
C ∩ W = {(t, h(t)) | t ∈ I},
where I ⊂ R is open and h: I → R is smooth. The curve t 7→ (t, h(t)) has
image C∩W , and according to Example 1.2.1 it is an embedded parametrized
curve. Hence the condition in Definition 1.3 holds, and C is a curve. 
The most common examples of plane curves are constructed by means of
the following general theorem, which frees us from finding explicit embedded
parametrizations that satisfy (1.2). For example, the proof in Example 1.3.2,
that the circle is a curve, could have been simplified by means of this theorem.
Recall that a point p ∈ Ω, where Ω ⊂ Rn is open, is called critical for a
differentiable function f: Ω → R if
fx ′ 1(p) = · · · = fx ′ n(p) = 0.
Theorem 1.3. Let f: Ω → R be a smooth function, where Ω ⊂ R2 is open,
and let c ∈ R. If it is not empty, the set
C = {p ∈ Ω | f(p) = c, p is not critical }
is a curve in R2.

Kết quả (Việt) 1:

Nó là quan trọng để loại trừ các bộ như thế này, bởi vì có không một tốtđịnh nghĩa ốp dòng trong điểm p của tự ngã tư. Nếu một parametrizationlà được đưa ra, chúng tôi có thể phân biệt các đoạn thông qua p, và do đó xác định mộtốp dòng cho mỗi chi nhánh. Tuy nhiên, mà không có một lựa chọn parametrizationcả hai chi nhánh đã được đưa vào tài khoản, và sau đó có không phải là một độc đáoốp dòng trong p.Định nghĩa của một đường cong cho phép reformulation hữu ích sau đây.Bổ đề 1.3. Hãy C ⊂ các R2 được phòng không có sản phẩm nào. Sau đó C là một đường cong nếu và chỉ nếu nóđáp ứng các điều kiện sau đây cho mỗi p ∈ C:Có tồn tại một khu phố mở W ⊂ R2 p, như vậy mà C ∩ W là cácđồ thị của một hàm trơn h, nơi một trong biến x 1, x 2 được coi làmột chức năng của biến khác.Bằng chứng. Giả sử C là một đường cong và để cho p ∈ C. Hãy để γ: tôi → R2 là một nhúngparametrized đường cong đáp ứng (1,2) và với γ(t0) = p. Theo định lý 1.1, trongđặc biệt trường hợp m = 1, chúng tôi tìm thấy rằng có tồn tại một khu phố V của t0trong tôi như vậy mà γ| V cho phép một reparametrization như là một đồ thị. Nó sau từ(1.1) và (1,2) rằng có tồn tại một thiết lập mở W ′ ⊂ R2 như vậy đó γ (V) =Γ(I) ∩ W ′ = C ∩ W ∩ W ′. Thiết lập W ∩ W ′ có tất cả các thuộc tính mong muốn củaW trong bổ đề.Ngược lại, giả định rằng các điều kiện trong bổ đề giữ, cho một nhất địnhđiểm p nói vớiC ∩ W = {(t, h(t)) | t ∈ I},nơi tôi ⊂ R là mở và h: tôi → R được trơn tru. Đường cong t 7→ (t, h(t)) cóhình ảnh C∩W, và theo ví dụ 1.2.1, nó là một parametrized nhúngđường cong. Do đó các điều kiện trong định nghĩa 1.3 nắm giữ, và C là một đường cong. Những ví dụ phổ biến nhất của máy bay đường cong được xây dựng bởi means củađịnh lý tổng quát sau đây có thể gỡ gạc lại tìm thấy rõ ràng nhúngparametrizations đáp ứng (1,2). Ví dụ, bằng chứng trong ví dụ 1.3.2,vòng tròn là một đường cong, có thể có được đơn giản hóa bằng phương tiện của định lý này.Nhớ lại rằng một p điểm ∈ Ω, nơi Ω ⊂ Rn được mở ra, được gọi là quan trọng cho mộttrơn hàm f: Ω → R nếuFX ′ 1(p) = · · · = fx ′ n(p) = 0.Định lý 1.3. F: cho các Ω → R là một hàm trơn tru, trong đó Ω ⊂ R2 mở,và để cho c ∈ R. Nếu nó là sản phẩm nào không, các thiết lậpC = {p ∈ Ω | f(p) = c, p là không quan trọng}là một đường cong trong R2.

Kết quả (Việt) 2:

Nó có tầm quan trọng để loại trừ các bộ như thế này, bởi vì không có một tốt
đường tiếp tuyến quy định tại điểm p của tự ngã. Nếu một parametrization
được đưa ra, chúng ta có thể phân biệt được các đoạn qua p, và do đó xác định một
đường tiếp tuyến cho từng ngành. Tuy nhiên, không có một parametrization chọn
cả hai ngành phải được đưa vào tài khoản, và sau đó không có một độc đáo
đường tiếp tuyến tại p.
Các định nghĩa của một đường cong cho phép sau tái lập hữu ích.
Bổ đề 1.3. Cho C ⊂ R2 là không có sản phẩm nào. Sau đó, C là một đường cong nếu và chỉ nếu nó
đáp ứng các điều kiện sau đây cho mỗi p ∈ C:
Có tồn tại một khu phố mở W ⊂ R2 của p, như vậy mà C ∩ W là
đồ thị của một hàm h mịn, nơi một trong các biến x1, x2 được coi là
một chức năng của các biến khác.
Proof. Giả sử C là một đường cong và để p ∈ C. Hãy γ: I → R2 là một nhúng
đường cong parametrized thỏa mãn (1.2) và với γ (t0) = p. By Định lý 1.1, trong
các trường hợp đặc biệt m = 1, chúng ta thấy rằng có tồn tại một khu phố V của t0
trong tôi như vậy mà γ | V cho phép một reparametrization như một đồ thị. Sau đó từ
(1.1) và (1.2) rằng có tồn tại một bộ W mở '⊂ R2 như vậy mà γ (V) =
γ (I) ∩ W' = C ∩ W ∩ W '. Tập W ∩ W 'có tất cả các đặc tính mong muốn
của. W trong bổ đề
Ngược lại, giả sử rằng các điều kiện trong bổ đề giữ, cho một định
điểm p nói với
C ∩ W = {(t, h (t)) | t ∈ I},
nơi tôi ⊂ R là mở và h: I → R là trơn tru. Đường cong t 7 → (t, h (t)) có
hình ảnh C∩W, và theo ví dụ 1.2.1 nó là một parametrized nhúng
đường cong. Do đó các điều kiện trong định nghĩa 1.3 giữ, và C là một đường cong. ?
Các ví dụ phổ biến nhất của đường cong phẳng được xây dựng bằng các phương tiện của
các định lý tổng quát sau đây, mà giải phóng chúng ta khỏi việc tìm kiếm rõ ràng nhúng
parametrizations đáp ứng (1.2). Ví dụ, bằng chứng trong Ví dụ 1.3.2,
rằng vòng tròn là một đường cong, có thể đã được đơn giản hóa bằng phương tiện của định lý này.
Nhớ lại rằng một điểm p ∈ Ω, nơi Ω ⊂ Rn là mở, được gọi là quan trọng đối với một
hàm khả vi f: Ω → R nếu
fx '1 (p) = · · · = fx' n (p) = 0.
Định lý 1.3. Cho f: Ω → R là một hàm trơn, nơi Ω ⊂ R2 là mở,
và để cho c ∈ R. Nếu nó không phải là trống rỗng, tập
C = {p ∈ Ω | f (p) = c, p là không quan trọng}
là một đường cong trong R2.