6.1 Shooting methodsLet us consider

6.1 Shooting methods
Let us consider the two-point boundary value problem
y
′′ = f(x, y, y′
) , y(a) = A , y(b) = B , (97)
with a < b and x ∈ [a, b]. We shall suppose that (97) has a unique solution. The motivation
behind shooting methods is to convert the two-point boundary value problem into solving
a sequence of initial value problems whose solutions converge to that of the boundary
value problem, so that one can use existing software developed for the numerical solution
of initial value problems: observe that an attempt to solve the boundary value problem
(97) directly will lead to a coupled system of nonlinear equations whose solution may be
a hard problem.
62
Let us make an initial guess s for y
′
(a) and denote by y(x; s) the solution of the initial
value problem
y
′′ = f(x, y, y′
) , y(a) = A , y′
(a) = s . (98)
Introducing the notation u(x; s) = y(x; s), v(x; s) = ∂
∂x y(x; s), we can rewrite (98) as a
system of first-order ordinary differential equations:
∂
∂xu(x; s) = v(x; s) , u(a; s) = A ,
(99)
∂
∂xv(x; s) = f(x, u(x; s), v(x; s)) , v(a; s) = s .
The solution u(x; s) of the initial value problem (99) will coincide with with the solution
y(x) of the boundary value problem (97) provided that that we can find a value of s such
that
φ(s) ≡ u(b; s) − B = 0 . (100)
The essence of the shooting method for the numerical solution of the boundary value
problem (97) is to find a root to the equation (100). Any standard root-finding technique
can be used; here we shall consider two: bisection of the interval which is known to contain
the root and Newton’s method.

Kết quả (Việt) 1:

6.1 bắn phương phápChúng ta hãy xem xét vấn đề giá trị hai điểm biêny′′ = f (x, y, y′), y(a) = A, y(b) = B, (97)với một < b và x ∈ [a, b]. Chúng tôi sẽ giả sử rằng (97) có một giải pháp duy nhất. Động lựcphía sau bắn phương pháp là để chuyển đổi vấn đề giá trị hai điểm biên giới vào giải quyếtmột chuỗi các vấn đề về giá trị ban đầu các giải pháp mà hội tụ của các ranh giớivấn đề giá trị, do đó, rằng ai có thể sử dụng phần mềm hiện có được phát triển cho các giải pháp sốvấn đề giá trị ban đầu: quan sát là một nỗ lực để giải quyết vấn đề giá trị biên giới(97) trực tiếp sẽ dẫn đến một hệ thống cùng các phương trình phi tuyến, giải pháp mà có thểmột vấn đề khó khăn.62Hãy để chúng tôi làm cho một đoán ban đầu, y s′(a) và biểu thị bởi y (x; s) giải pháp ban đầuvấn đề giá trịy′′ = f (x, y, y′), y(a) = A, y′(a) = s. (98)Giới thiệu các ký hiệu u (x; s) = y (x; s) v (x; s) = ∂∂x y (x; s), chúng tôi có thể viết lại (98) như là mộthệ phương trình vi phân thường đặt hàng đầu tiên:∂∂xu (x; s) v (x; s) = u(a; s) = A,(99)∂∂XV (x; s) = f (x, u (x; s) v (x; s)), v(a; s) = s.Giải pháp u (x; s) về vấn đề giá trị ban đầu (99) sẽ trùng với với các giải phápy(x) vấn đề giá trị biên (97) cung cấp rằng rằng chúng tôi có thể tìm thấy một giá trị của s như vậymàΦ(s) ≡ u (b; s) − B = 0. (100)Bản chất của phương pháp chụp hình cho các giải pháp số của các giá trị biên giớivấn đề (97) là để tìm một gốc để phương trình (100). Bất kỳ kỹ thuật gốc-tìm kiếm tiêu chuẩncan be used; here we shall consider two: bisection of the interval which is known to containthe root and Newton’s method.